Доброхотов

41

42

Пусть в карте ΩIj имеется две точки неособые точки σj è σ˜j è ïóòü γ приходит в точ- ку σj, проходя через точку σ˜j, причем его участок между σ˜j è σj целиком лежит в

карте ΩIj . Тогда, используя непрерывность аргумента якобиана Arg JIε можно показать, что число (7.7) одно и тоже для точек σj è σ˜j. Поэтому его можно назвать индексом

карты ΩIj вдоль пути 1 γαk→ΩIj . Это число с точностью до 4k совпадает с индексом цепочки карт (4.3), введенное в Ÿ4. , и тем самым его можно использовать в качестве эквивалентного определения индекса Маслова. Заметим, что из формулы (7.8) следует корректность определения индекса, в том смысле, что это число по mod4 не зависит

от выбора покрытия картами пути γ. В силу непрерывности функции detCIε(α, η) è

целочисленности индекса (7.8), индекс является гомотопическим инвариантом-не изменяется при непрерывной деформации на Λn ïóòè γ. Тем самым приведенные выше

формулы дают "относительное"определение индекса неособых точек и Ij-особых êàðò.

Заметим теперь, что путь γcl можно выбрать и замкнутым. Пусть такой путь начи- нается и кончается в точке σ′ Тогда ему можно сопоставить число

2

Ind(γcl) = π ∆(γσ′→σ′),

которое называется индексом Маслова замкнутого пути. Очевидно, это есть целое число, при этом в его определении в силу непрерывности функции ArgJε(α) по совокупности переменных α è ε > 0, число ε не обязательно устремлять к нулю (7.8) от ε íå

зависит. Поэтому мы можем положить

Этот факт полезно иметь в виду при решении конкретных задач. Поскольку индекс есть

гомотопический инвариант, то, очевидно индекс замкнутого пути, стягиваемого в точ- ку с помощью непрерывной деформации по Λn (такие пути называются гомотопными

точке), равен нулю. Это, вообще говоря, не так для путей не стягиваемых в точку.

Таким образом, для того чтобы придать индексу Маслова в любой неособой точке αj è â Ij-карте "абсолютное"значение, следует зафиксировать некоторую начальную

неособую точку α0 и класс гомотопных путей на Λn, соединяющих α0 è αj и карту ΩIj .

"Унифицированное"определение канонического оператора. Теперь мы можем дать "унифицированное"определение канонического оператора (безотносительно динамики). По-существу все требуемые объекты для его определения уже были введены, для удобства мы соберем здесь их все вместе, и по ходу их упоминания будем их нумеровать.

Итак, пусть имеется

1) n- мерное лагранжево многообразие Λn, возможно компактное, с глобальными координатами α = (α1 . . . αn). При необходимости будем считать, что некоторые (или

äàæå âñå) αj определяют координаты на единичной окружности, так что точки с координатами αj è αj′ 2π отождествляются. Далее пусть на Λn задана

2)гладкая финитная (если Λn не неограничено) функция φ(α) è

3)центральная (неособая) точка σ0. Канонический оператор K(Λn, σ0), переводит

функцию φ(α) в функцию ψ(x) в конфигурационном пространстве Rnx и определяется следующим образом (эквивалентным (6.4)).

1Оно существует и для случая, когда путь сжимается в точку, тогда j !ΩIj просто определяет согласование аргументов якобианов J è JIj .

43

4)Построим некоторое покрытие (канонический атлас) многообразия Λn картами {ΩIj } и некоторое, соответствующее ему

5)разбиение единицы {ej(α)} (то есть набор гладких неотрицательных функций равных нулю вне карты ΩIj и в сумме составляющих 1; см. Ÿ7). В каждой карте опре-

делим

6) якобиан 2 JIj = det . Поскольку в карте ΩIj якобиан JIj отличен от нуля, то в

ней разрешимо уравнение

XI (α) = xI .

Если решение этого уравнения не единственно (определено с точностью до периодов),

òî

7) мы фиксируем какое-нибудь и обозначаем α(xIj ). Зафиксируем в центральной

точкой точке аргумент якобиана J(α0). Поскольку якобиан Jε(α0)-непрерывная функция, то тем самым мы фиксируем ветвь ArgJε(α0) как функции параметра ε ≥ 0. Соединим центральную точку alpha0 с каждой картой ΩIj некоторым путем γαk→ΩIj .

8)Множество выбранных и фиксированных путей обозначим Γ. Тем самым по формуле (7.8) мы определим в каждой карте ΩIj

9)индекс карты (см. (7.8))

Формула (7.10) определяет функцию, которая, зависит от центральной точки σ0, è вообще говоря, зависит от от выбора карт ΩIj , множества путей Γ и разбиения единицы {ej(α)}. Требование выполнения условий квантования (6.6) как мы уже отмечали ранее,

2Заметим, что координаты на n задают меру D, è JIj = DXI

D .

44

представление хорошо работает при изучении локализованных решений в случае, кода символ (гамильтониан) H изучаемого дифференциального уравнения-гладкая функ-

ция, например в случае уравнения Шредингера: тогда H = p2/2 + v(x).

45

46

˜

Здесь V (y) гладкая убывающая на бесконечности функция, V ее (обычное) преобразование Фурье. В этом случае

14.Связанные состояния.

Пусть L = H = p2/2 + V (x) и потенциал V (x) имеет потенциальную яму. Тогда у гамильтоновой системы имеются замкнутые траектории (P (t+α, E), X(t+α, E), H|Λ = E. Они определяют инвариантные кривые Λ(E) = {p = P (α, E), x = X(α, E)}. Потребуем выполнения условия квантования Бора-Зоммерфельда на Λ. Это даст значения Eν .

Задачи: построить решения задач c V = ω2x2/2, V = X3/3 − βx, V = qx4/4

47