Доброхотов

ãäå δ(x − ξ) iδ-функция Дирака. Преобразование Фурье (с параметром h)îò δ(x − ξ)

равно exp{−

kξ} è

h

1

∞

i

δ(x − ξ) =

∫−∞ exp{

k(x − ξ)}dk.

2πh

h

представляется в виде

∫ ∞

ψ =

G(x, ξ, t)ψ0(ξ)dξ.

(3.2)

ih

∂Ψ

=

−

h2 ∂2Ψ

+ V (x)Ψ + F (x, t), ψ|t=0 = 0.

(3.3)

∂t

2 ∂x2

Имеем

∫ t ∫ ∞

Ψ =

dτ

dξ G(x, ξ, t − τ)F (ξ, τ).

(3.4)

достаточно произвольным

потенциалом, но уже не в точном, а асимптотическом смысле.

psiosc

Osc1a

Вернемся к формулам

(1.40) -

(1.44) и рассмотрим пример, когда b = 0 è

S0 = k(x − ξ), A0 = 1,

ãäå k, ξ R-параметры. Тогда p0 = k, A0 = 1 и формулы

Osc1

(1.35) принимают вид

P (α, t) = −(α − ξ) sin t + k cos t,

X(α, t) = (α − ξ) cos t + k sin t,

α(x, t) = ξ + x/ cos t − k tan t,

(3.5)

J = cos t,

1

S(x, t) = [k(α

ξ)

k(α

ξ) sin2 t +

k2

− (α − ξ)2

sin 2t]

α=ξ+x/ cos t

k tan t = (3.6)

4

−

−

−

1

(

2

2

)

−

(2kx − (k

+ x

) sin t),

2 cos t

Поэтому при t (−π/2, π/2)

1

i

kx

1

Ψ =

√

exp{

(−kξ +

−

(k2 + x2) tan t)}.

(3.7)

h

cos t

2

cos t

Умножим Ψ

íà

1

и проинтегрируем результат по k îò −∞ äî −∞. Получим функ-

2πh

öèþ

1

∞

i

kx

1

G(x, ξ, t) =

2πh√

∫−∞ exp{

(

− kξ −

(k2 + x2) tan t)}dk.

(3.8)

h

cos t

2

cos t

Поскольку фаза в этом интеграле квадратичный полином по k, то интеграл вычисля-

ется точно. Вычислим этот интеграл. Сделаем замену k → z:

x

k = (z√h√| cot t| − ξ cot t +

).

cos t

Тогда

1

i

ξ2 + x2

∞

z2

G(x, ξ, t) =

exp {

(

cos t − xξ } ∫−∞ dz exp{−isign(tan t)

}.

h sin t

2

2

2π

h

|

sin t

√

|

)

(3.9)

Таким образом задача сводится к вычислению интеграла

∞

2

I± = ∫−∞ dz exp{±i

z

}.

2

Очевидно, I+ =

, где черта означает комплексное сопряжение. Далее имеем

I−

I+ = 2

∫0

∞ dz exp{i

z2

} = 2limR→∞ ∫0

∞ dz exp{i

z2

}

2

2

Рассмотрим на комплексной плоскости C c координатой z = x + iy контур Γ =

{(z = x, x [0, R])

(z = Reiφ, φ [0, π/4])

iz2

(z = ζeiπ/4, ζ [R, 0])}. Поскольку e

2

аналитическая

функция

на комплексной

плоскости, то

0 = ∫Γ dz exp{i

2

∫0

∞

x2

z

} =

dx exp{i

}+

2

2

π/4

i

i

0

ζ2

iR ∫0

dφeiφ exp{

(R2(cos(2φ) + i sin(2φ))} + e

4 ∫R

dζ exp{−

}.

(3.10)

2

2

Разобьем отрезок интегрирования второго интеграла на две части: [0,

1

] è [

1

,

π ].

R

3=2

R

3=2

4

Модуль интеграла по φ по первому промежутку, очевидно, не превосходит выраже-

íèÿ

√

. Подинтегральная функция во втором выражении на отрезке , очевидно не

1/

R

√

3lim.10) R ê

, и меняя в третьем интеграле

превосходит e− R/4. Поэтому устремляя в (

∞

пределы интегрирования получим

∫

∫

∞

z2

i

∞

2

i

√

π

dz exp{i

} = e 4

dζ exp{−

ζ

} = e 4

.

(3.11)

0

2

0

2

2

Таким образом

√

i

I± =

.

2πe±

4

И окончательно при 0 < |t| ≤ π

e−

i

sign t

i

(

ξ2 + x2

G(x, ξ, t) =

4

exp {

√

h sin t

2

2πh| sin t|

ψ|t=0 = ψ0(x).

(3.15)

Используя функцию Грина, представим решение в виде

∞

∞

e−

i

sign t

i

ξ2

+ x2

4

ψ|t=0 = ∫−∞ G(x, ξ, t)ψ0(ξ)dξ = ∫−∞

exp {

(

cos t − xξ)}ψ0

(ξ)dξ.

h sin t

2

2πh| sin t|

Положим t = ±π2 . Получим

√

(3.16)

e

i

∞

ixξ

4

ψ(x, t)|t=± 2

=

√

∫−∞ exp {

}ψ0(ξ)dξ

(3.17)

2πh

h

Положим в этой формуле x = ±p. Тогда

i

π

1

∞

ipξ

e± 4

ψ(±p, ±

) =

√

∫−∞ exp {

−

}ψ0(ξ)dξ = ψ˜0(p)

(3.18)

2

h

2πh

Интеграл в правой

части есть

преобразование

Фурье

F h

ñ

параметром

h (h

x→p

преобразование Фурье) от функции

ψ0(x) . Таким образом, вычисление преобразова-

Выберем в задаче

Коши для уравнения Шредингера для гармонического осциллятора

Sch3

Sch2

(3.3) ψ0

(x) â âèäå

(1.2)

ψ|t=0 = ψ0

(x) ≡ A0

iS0(x)

(x)e

,

(3.19)

h

0

∂2S0

̸= 0. Учитывая

psi5

предполагая, что на носителе A

(x)

∂x2

(4.9), получим

iS0(x)

1

∞

ip iS0( )

eiσ 4 A0(α(p))

i (p)

[Fxh→p(A0(x)e

)](p) =

√

∫−∞ e−h e

A0(ξ)dξ =

(e

+ O(h)).

h

h

h

2πh

√|

∂2S0

(α(p))

2

(3.20)

∂x

Здесь α(p) есть решение уравнения

p0(α) ≡

∂S0

(α) = p,

(3.21)

∂x

Φ(p) = [S0(α) − αp0(α)]|α=α(p),

∂2S0

σ = sign(

(α(p))).

(3.22)

∂x2

Если положить в этом равенстве p = 0,

ξ0 = α(0) то мы получим формулу метода

стационарной фазы

√2πh√|∂∂x2S20 (ξ0)

∫−∞ A0(ξ)e

h

dξ =

(e

h

+ O(h)),

(3.23)

∞

iS0( )

eiσ 4 A0(ξ0)

iS0( 0)

2

0

ãäå σ = sign(

∂

S

(ξ0)), è ξ0 есть решение уравнения

2

∂x

∂S0

(ξ) = 0.

(3.24)

∂x

psi7a

psi8

Нетрудно сообразить, что формула (

3.20) может быть получена из (

3.23) в результате

psi7

замены S0(x) → S0(x) − px, для дальнейшего нам понадобиться формула (

5.8).

±1, ±2, . . . , особенностей по времени t.

Покажем, что эти особенности ни что иное, как

psi4

фокальные точки. Очевидно, функция (

3.12) имеет вид ВКБ-решения (зависящего от

параметра ξ). Фаза и амплитуда (с точностью до постоянного множителя) суть

S

x, t

1

ξ2 + x2

1

(4.1)

Для производной ∂S(

) = sin t(

2

cos t − xξ),

A(t) = √| sin t|.

∂x

имеем

∂S

1

(x cos t −

=

ξ)

∂x

sin t

Зафиксируем некоторый момент времени t0 и рассмотрим задачу Коши

S(x;t

)

ψ|t=t0

= A(t0)ei

0

.

(4.2)

h

P (α, t) = −α sin(t − t0) +

1

(α cos t0

− ξ) cos(t − t0),

sin(t0)

X(α, t) = α cos(t − t0) +

1

(α cos t0

− ξ) sin(t − t0).

(4.3)

sin(t0)

Ïðè t = 0 имеем

P (α, 0) = α′ =

α

− ξ cot t0, X(α, 0) = ξ,

sin t0

Osc5

поэтому формулы

(4.3) можно переписать в виде

P (α, t) = α′ cos t − ξ sin t,

X(α, t) = α′ sin t + ξ cos t,

(4.4)

и якобиан J =

∂X(α,t)

=

∂X(α,t) ∂α′

=

sin t

. Поэтому ВКБ решение не справедливо в

∂α

∂α′

∂α

sin t0

точках t = πk. Эти точки и суть фокальные, в частности является фокальной точкой

è t = 0. Нетрудно убедится, что применение формул (

Act1

Ampl1

1.37),(1.27) для решения задачи

Ind4

Ind3

psi4

Êîøè

(4.27) дает те же формулы (

4.26). Таким образом продолжение формулы (

3.12)

на времена большие π связано с переходом через фокальные точки.

смотрим каким образом выглядит

h-преобразование Фурье от функции G(x, ξ, t) ïî

переменной x ïðè t (0, π). Имеем

1

∞

px

G˜(p, ξ, t) = [Fxh→pG(x, ξ, t)](p, ξ, t) =

√

∫−∞ e−i h G(x, ξ, t)dx =

(4.5)

2πh

e−

i

sign t

∞

i

ξ2 + x2

xξ

4

Ïðè

ìû

√

∫−∞ exp {h(

2

cot t − sin t − px)}dx.

фазой

2πh

| sin t|

(4.6)

è

для его вычисления после соответствующих замен можно воспользоваться формулой

int

(3.11). Несложные вычисления дают при t (0, π)

G˜(p, ξ, t) =

e−i4 ei4 sign cos t

exp {−

i

(

ξ2

+ p2

sin t + pξ)}

(4.7)

h cos t

2

√

2πh| cos t|

π

Мы видим, что во-первых, при t = 2 функция G(p, ξ, t) имеет особенность, во-вторых,

знак sign cos t меняется при прохождении точки t =

π

G(p, ξ, t)-

2 и, в-третьих, функция

гладкая при

. Наличие

особенности приводит к тому факту, что при

t (π/2, 3π/2)

e

e

t = π2