Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Доброхотов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

445.86 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Ind

Рис. 2: Индекс

только нулевые решения, что противоречит свойству sin η, cos η. Теперь мы положим

σ(0) t, α

σ(0)

t, α) +

lim Arg J (η, t, α)

η=π/2.

(4.29)

IndP

Заметим, что если и

имеют одинаковый знак, то

для любого

( ) =

(

ε→+0

η=0

B C

Cε ̸= 0

η [0, π/2]

Тогда в последней формуле во втором слагаемом можно сразу положить ε = 0 è âñå ýòî

слагаемое обратится в ноль. Поэтому в случае, когда

B è C имеют одинаковый знак,

справедливо равенство

σ(0)(t, α) = σ(0)(t, α).

(4.30)

IndP

сделано при вычислении изменения

σ, воспользовавшись равенством

Вычисление limε→+0 Arg Cε(η, t, α)

η=π/2

η=0 можно алгоритмизировать, также как это было

π/2 Im(

εd Jε)

η=π/2

∫0

lim Arg J

(η, t, α

) η=0

= lim

|Jε|2

ε→+0

где черта означает означает комплексное сопряжение. Проиллюстрируем сказанное на

примере функций J,J(0), связанных с семейством прямых Λ Osc6a La

t вида (4.17),(4.18). Тогда

B = cos t, C = sin t, Jε = (sin t cos η + sin η cos t) − iε(cos t cos η − sin t sin η) = sin(t + η) − iε(cos(t + η), |J2ε| = sin2(t + η) + ε2 cos2(t + η), Im(Jεd Jε) = εdt è

lim Arg J (η, t, α)			η=π/2	= lim ε	∫0	π/2	dt	.

ε→+0	ε	η=0		ε→+0			sin2(t + η) + ε2 cos2(t + η)

Ясно, что интеграл ограничен при ε → 0, åñëè sin(t + η) ≠ 0 ïðè 0 ≤ η ≤ π/2. Легко проверить, что этот факт имеет место для таких t ≠ πn/2, ÷òî sin t cos t > 0. Также нетрудно проверить, что это неравенство имеет место для t (πn, πn + δ), δ < π/2.

Выводы Мы видим, что конструкция функции Грина уравнения Шредингера для гармонического осциллятора полностью определяется семейством прямых Λt, ïîëó- ченных сдвигом по времени t вдоль траекторий гамильтоновой системы для гармо-

нического осциллятора, и функций на Λt. Ниже мы покажем, что и для более общего случая аналогичные факты имеют имеют место, только наши конструкции будут давать асимптотические по параметру h решения.

5.Канонический оператор Маслова в одномерном

случае.

WKB Act0 Ampl0

Вернемся к формулам (1.3), (1.21), (1.22) для ВКБ-решений. Мы можем переписать их в несколько ином виде связав с кривой ( лагранжевым многообразием ) Λt = {p = P (α, t), x = X(α, t)} на фазовой плоскости. Параметр α можно рассматривать в каче-

стве координаты на кривых Λt. Определим на кривых Λt функции

		α
s(α, t) = S0(α0) + ∫0 t(pHp − H)	p=P (α0	,τ),x=X(α0,τ) dτ + ∫α0	P (α, t)dX(α, t),
s(α, t) = S0(α0) + ∫0 t(pHp − H)	p=P (α0	,τ),x=X(α0,τ) dτ + ∫α0	P (α, t)dX(α, t),	(5.1)	act1

где в последнем выражении интегрирование ведется при фиксированном t. Меняя на плоскости интегрирования (α, τ) путь интегрирования эту функцию можно переписать

по другому:
s(α, t) = S0(α) + ∫ t(pHp − H)	dτ.	(5.2)
s(α, t) = S0(α) + ∫ t(pHp − H)	dτ.	(5.2)

0p=P (α,τ),x=X(α,τ)

Доказательство того факта, что эти две формулы определяют одну и ту же функцию

основано на формуле Грина.
Задача. Доказать это утверждение.
Далее определим якобианы J(α, t) = ∂X				è	J(0)	= ∂P		Λt
			∂α	è		∂α , и определить амплитуду на
t	1
A(α, t) = A0(α) exp ∫0	(		trHpx − G)(P(α, τ), X(α, τ), τ))dτ.				(5.3)
A(α, t) = A0(α) exp ∫0	(	2	trHpx − G)(P(α, τ), X(α, τ), τ))dτ.				(5.3)

Здесь G(p, x, t) некоторая заданная функция. Эта функция, как и trHpx равны ну- лю в рассматриваемом примере, мы их включаем в формулу для A для последующих

обобщений.

Напомним, что точки на Λt в которых J(α, t) ≠ 0 называются не особыми, а точки в которых J(α, t) = 0 называются особыми или фокальными. Заметим, что все введенные

выше функции на Λt определены независимо от того, имеются ли на Λt фокальные точки или нет.

Если при некотором фиксированном t якобиан J не равен нулю на носителе функции A0, то при таком t мы можем определить ВКБ-функцию на Λt:

ϕ(α, t) =	A(α, t)		e	i	s(α,t)		(5.4)
	A(α, t)			h		A	(5.4)
				h
Кроме того, при этом же предположении√
		\|J(α, t)\|
	на носителе функции						0 однозначно и гладко
	на носителе функции
разрешимо уравнение относительно α:
X(α, t) = x.							(5.5)

act1a

ampl2

WKBLa

xeq

Как и раньше мы обозначим его α(x, t). Тогда функцию ϕ(α, t) мы можем опустить с кривой Λt íà îñü Ox и переписать ее в координате x:

	A(α, t) i

	√
ψ(x, t) =		\|J(α, t)\|eh s(α,t)	α=α(x,t).	(5.6)

Понятно, что эта функция есть старшая часть (главный член) асимптотического реше-

act1

ния уравнения Шредингера (с учетом равенств trHpx = G = 0). Из формулы (5.1) легко

получить равенства

∂s(α(x, t))	\|x=X(α,t) = P (α, t),	∂2s(α(x, t))	\|x=X(α,t) =	∂P (α, t)	/	∂X(α, t)	(5.7)
∂x		∂x2		∂α		∂α

Задача. Доказать эти равенства.

Теперь мы получим другое представление этого решения, записав его в таком виде,

что оно будет работать и в случае, когда обращается в ноль якобиан

J. Äëÿ

этого

âåð-

psi7

Lej

немся к преобразованию

Фурье и методу стационарной фазы- к формулам (

5.8)-

(3.22).

mom

psi7

Lej

(0)

∂P (α,t)

Èç

(5.7) следует, что

(5.8)-

(3.22) можно применять, если

. Поэтому сей-

∂α

̸= 0

час мы предполагаем, что на носителе функции A

(α) одновременно не обращаются

в ноль якобианы J(α, t), J(0)

(α, t). Тогда учитывая введенные обозначения и формулы

mom

(5.7) мы можем переписать эти формулы для ψ(x, t) â âèäå

∞

A(α, t)

[Fxh→pψ(x, t)](p) =

√

∫−∞ e−h

s(α,t)

α=α(ξ,t)dξ =

2πh

√

J(α, t)

eiq 4 A(α, t)

is( ;t)−pX( ;t)

√

+ O(h))

(5.8)

∂P (α,t)

(α,t)

α=α(p,t)

J(α, t)

(α(p))/

∂X

∂α

Здесь α(p, t) есть решение уравнения

P (α, t) = p,

mom

∂∂αP /∂∂αX ) = sign(J(0)(α(p, t)/J(α(p, t)). Вычтем из

и с учетом

(5.7) q = sign(

включим множитель e−i 4

в преобразование Фурье, положив для любой

∞

χ˜(p)

≡ Fxh→pχ(x)](p) =

√

∫−∞ e−h χ(ξ)dξ,

2πih

∫−∞ e h

χ˜(p)dp,

√i = ei 4 .

χ(x) ≡ Fph→xχ˜(x)](x) = √2πh

√i

∞ ipx

(5.9)

σ число π/4 è

χ(x)

(5.10)

(5.11)

psi7

Тогда после применения обратного преобразования Фурье к формуле ( 5.8) мы можем написать

A(α, t)

i s(α,t)

is( ;t)−pX( ;t)

, если знаки у

ãäå

√

совпадают и в противном

случае.

число

равно

√è

|J(α, t)|eh

α=α(x,t)

= e−i

σFp→x

|J(0)(α, t)|

+ O(h)) α=α(p,t)

(5.12)

J(α, t) J(0)(α, t)

Мы видим, что число σ определяется также, определенное нами выше изменение индекс Маслова при переходе от переменной x переменной p.

WKBx

mom

psi7

alpha21

NFourier

InvNFourier

WKBxp

Правая часть в равенстве ( 5.12) задает, таким образом, другое асимптотическое решение (с помощью преобразования Фурье), при этом она определена и в том случае, когда якобиан J(α, t) обращается в ноль, и именно тогда и следует использовать это

представление для описания асимптотического решения. Разумеется, следует доказать,

WKBxp

что функция в правой части (5.12) есть асимптотическое решение при всех p (â ïðåä-

положении, что J(0)(α(p, t), t) ≠ 0 на образе носителя A0). Доказательство состоит в преобразовании Фурье исходного уравнения (переходу к p− представлению) и последующем применении в переменных p метода ВКБ).

Задача. Доказать это утверждение. Указание. Сначала нужно доказать, что

для псевдодифференциального оператора ˆ

∂

= L(−ih

, x, h) с символом L(p, x, h)

∂x

∂

Fxh→pL(−ih

, x, h)χ(x)](p)

= L(p, ih

, h)χ˜(p), затем записать оператор L(p, ih

, h) â

∂x

∂p

∂

виде оператора L′(p, ih

, h), вычислив разложение символа L′ по параметру h, а затем

∂p

WKBxp

убедиться, что фаза и амплитуда правой части в (

5.12) - будут решениями уравнений

∂

Гамильтона-Якоби и переноса, соответствующих оператору L′(p, ih

, h), (â p представ-

∂p

лении).

6.Представление решения в p− представлении и

функция Эйри

Решение в p− представлении разумно использовать, если на носителе функции A èìå-

ются фокальные точки. В одномерном случае при некоторых слабых ограничениях можно выразить эту асимптотику через специальную функцию-функцию Эйри. Наиболее часто используется функция Эйри

	1	∞		η3		1	∞	η3
Ai(y) =		∫0	cos(		+ yη)dη =		∫−∞ exp(i(		+ yη))dη.	(6.1)
	π			3		π		3

Эта функция (как и все функции Эйри) является решением уравнения Эйри

d2z

+yz = 0,

и имеет следующие асимптотики

Ai(y) =

exp (−

y3/2)(1 + O(y−3/2), y → +∞,

(6.2)

π√4

Ai(y) =

sin(

|y|3/2 +

)(1 + O(|y|−3/2), y → −∞.

(6.3)

π√4

|y|

Мы имеем функцию

pX( ;t)

x X( ;t))

√i

α=α(p,t)dp.

I = Fph→x

A(α, t)ei

s( ;t)−h

∞

A(α, t)ei

s( ;t)+p(h−

|J(0)(α, t)|

= √2πh ∫−∞

|J(0)(α, t)|

фиксированным числом. В последнем равенстве от переменной инте-

Будем считать t

√

грирования p удобно перейти к интегрированию по переменной α, положив p = P (α, t). Имеем dp = J(0)(α, t)dα. Ïðè ýòîì åñëè J(0)(α, t) положителен, то пределы интегрирования по α с учетом финитности A(α, t) будут −∞, ∞, åñëè æå J(0)(α, t)-отрицателен, то

Ai0

Ai1

Ai2

пределы интегрирования становятся равными ∞, −∞. Во втором случае мы заменим их на −∞, ∞, одновременно заменяя J(0)(α, t) íà −J(0)(α, t). Поэтому при переходе к интегрированию по α, получим

√

√i

∞

s( ;t)+P ( ;t)(x X( ;t))

I =

√

∫−∞ A(α, t)ei

h −

|J(0)(α, t)|dα.

2πh

Найдем стационарные точки у фазы Φ(α, t) = s(α, t) + P (α, t)(x − X(α, t)) Имеем

∂Φ(α, t)

∂X

∂P

(x − X) − P

∂X

= J(0)(x − X).

= P

∂α

Отсюда, что и естественно, уравнение для стационарной точки имеет вид

X(α, t) = x.

Вычислим вторую производную

∂2Φ(α, t)

∂J(0)

(x − X) − J(0)J,

∂α2

∂α

и в стационарной точке

∂2

Φ(α,t)

= −J(0)J. Таким образом, что опять же естественно, ста-

∂α2

ционарная точка вырождена, если J(α, t) = 0 и мы имеем фокальную точку. Именно

тогда мы не можем пользоваться методом стационарной фазы и перейти от асимптотики в виде интеграла к ВКБ-асимптотике. Будем считать, что на носителе A имеется всего одна фокальная точка и ей соответствует координата αtf . Вычислим еще одну производную от фазы Φ по переменной α:

∂3Φ(α, t)

∂2J(0)

∂J(0)

∂J

(x − X) − 2

J − J(0)

∂α2

∂α

В фокольной точке

∂3Φ

∂2J(0)

(0) ∂J

(αt

, t) =

(αt , t)(x − X) − J

(αt , t).

∂α2

∂α

Обозначим

получим разложение в окрестности

β = α − αt . Тогда

4äëÿ ôàçû Φ(α, t)

точки αt

Φ(β, t) = Φ(β, t) + O(β )

˘(0)

2 ˘(0)

˘(0)

∂J

∂ J

˘(0)

∂J

Φ(β, t) = s˘ + P (x

− X) + βJ

(x − X) +

∂α

(x − X) +

(

∂α2

(x − X) − J

∂α

ãäå çíàê

˘ означает, что α полагается равным αt . Аналогично имеем A = A + O(β)

√

˘ в малых пределах коэффициент при

не обращаетсяt

â íîëü è

изменении

√

(0)

∂J

∂2X

= J

(0)

+ O(β). Предположим теперь, что ∂α

∂α2

̸= 0. Тогда при

−

α=αf

∆ = x

асимптотика функции I будет определяться интегралом

√

˘ = √ i

√

˘ ˘(0)

A |J |

∫ ∞

( ;t)

ei h dβ.

2πh −∞

η √h

Перейдем от переменной β к переменной η, положив β = −

√3

Тогда в

18(J˘(0)J˘

−

J˘(0)

∆)

новых переменных фаза примет вид

+ yη +

Φ0

˘(0)

˘(0) 2

˘(0)

∆

Jα

∆

4(Jα

)

Φ0

= s˘ + P ∆ +

(0)

9(J

(0)

Jα

Jα − Jαα ∆) 3 (J

− Jαα ∆)

y =

˘(0) ˘(0)

˘(0)

∆ −

˘(0)

∆(9J

Jα

+ 2(Jα

)

Jαα ∆),

h2/3

√3

˘(0)

∆)

4/3

18(−J

Jα

+ Jαα

и интеграл ˘

I становится равным

˘ =

√h√iA√

∞ ei( 3 +yη)dη =

π√h√iA√

Ai(y).

∫−∞

(0)

√

18 J˘(0)J˘α

−

J˘αα(0)∆ )

18 J˘(0)J˘α

−

J˘αα(0)∆

2πh

√ |

√

Если считать, что |∆| << Ch2/3, например, что

|∆| ≤ Ch1/2

то эти формулы можно еще упростить, положив

√

˘(0)

)

2/3

iπ/4

˘ ˘(0)

2/3

y =

(∆

+ O(∆2)),

πA|J

(1 + O(∆))Ai(y).

−h2/3

√3 18J˘α

√6 h

√

√3 18|J˘α|

7.Диаграмма решения задачи Коши

solution to(

EQ1

EQ2

Ψ|t=0

),(

)

Ψ(x, t)

√

V˜

√

KΛh0

KΛht

2πi

gHt

Λ0, V

{Λt, A}

diagram

Коммутация псевдодифференциального оператора и экспоненты. Согласно методу ВКБ, (см [3,11,13]) асимптотическое решение исходного уравнения ищется в виде искаженной плоской волны: ψ(x, t) = φ(x, t)exp{iS(x, t)/h}, ãäå ôàçà S(x, t) è àì-

плитуда φ(x, t) новые неизвестные функции. S(x, t) è φ(x, t) определяются в результате

подстановки ВКБ-решения в исходное уравнение с последующей коммутацией быстроосциллирующей экспоненты с h−псевдодифференциальным оператором и приравнива-

ния нулю коэффициентов при h0 è h1. Центральным моментом в выводе уравнений для

S(x, t) è φ(x, t) является формула коммутации:

	2	1
L(x, −ih∂/∂x)[φ exp(iS/h)] = exp(iS/h){L(x, S)φ−
−ih[	∂φ ∂L		1		∂2S ∂2L	(x, S))]} + O(h2)
−ih[	∂x ,	∂p (x, S) +	2	φSp(	∂x2 ∂p2	(x, S))]} + O(h2)	(7.1) 3.1

справедливая для h−псевдодифференциального оператора с произвольным символом L(x, p), удовлетворяющим приведенному в Ÿ2 условию (A), в том числе и для оператора из уравнения (1.5). В (3.1)

				∑
	∂2S ∂2L			n	∂2S ∂2L
Sp(	∂x2	∂p2	) =	i,j=1	∂xi∂xj ∂pi∂pj
				i,j=1

Существует много различных выводов формулы (3.1). Мы не будем приводить эти выводы, а лишь поясним формулу (3.1) на одномерном примере, считая L(x, p) полиномами

ïî p. Очевидно, (−ih∂/∂x)exp(iS/h) = exp(iS/h)(Sx − ih∂/∂x); действуя по индукции, получаем


	∂		m iS/h		iS/h	∂		m	(7.2)
(−ih		)	e		= e (Sx − ih		)
	∂x					∂x
В последнем равенстве (Sx − ih			∂	)m оператор, действие					∂которого заключается в m-
			∂x
кратном последовательном применении оператора (Sx −ih										). Если этот оператор при-
									∂x

меняется к функциям φ, не зависящим от параметра h (или регулярно зависящим от него), то его можно представить в виде:

−

∂

)m = Sm

−

ih(mSm−1

∂

m(m − 1)

Sm−2) + Oˆ

(h2),

(7.3)

∂x

x ∂x

ãäå ïîä ˆ

). Ïîä-

O(h

) понимается оператор, переводящий функцию O(1) в функцию O(h

ставляя теперь (3.2) с учетом (3.3) в явную формулу для оператора ˆ

L, производя нуж-

ное сложение, получим искомую формулу коммутации. Устремление степени полинома к бесконечности объясняет"эту формулу для случая неполиномиальных символов, поскольку при аналитической зависимости L(x, p) îò p оператор можно представить в

виде ряда Тейлора по степеням pˆ.

3.2

3.3

8.Лагранжевы многообразия и их свойства

Лагранжевы многообразия. В предыдущем параграфе отмечалось, что гамильтоно-

ва система (3.10) с начальными условиями (3.11) опредяляет в фазовом пространстве R2x,pn лагранжево многообразие. Подобные сведения о многообразиях можно найти, на-

пример, в [6,7]. Мы приведем здесь лишь простейшие факты, необходимые нам для дальнейшего изложения. Гладким многообразием размерности m в пространстве R2x,pn

называется множество, которое можно покрыть подобластями размерности m, называемых картами, каждая из которых гладко и взаимно однозначно проектируется на

t > t0

какую-либо из координатных плоскостей размерности m, определяемых n − m óðàâ-

нениями вида xi = 0, pj = 0, ãäå i, j целые числа из множества (1, . . . , n). Ïðè ýòîì

каждая точка многообразия должна лежать внутри хотя бы одной из карт. В отли- чие от свойства быть поверхностью, свойство быть многообразием при сдвигах вдоль траекторий гамильтоновой системы (3.10) сохраняется, поскольку траектории гамиль-

тоновой системы в фазовом пространстве не пересекаются. Так, в примере 2 предыдущего параграфа начальные условия определяли кривую Λ10 в фазовом пространстве R2x,p : p = k + βα2, x = α, −∞ < α < ∞. Эта кривая, очевидно, является по-

верхностью она взаимно однозначно и гладко проектируется на ось x. В результате

эволюции этой кривой в силу гамильтоновой системы получается кривая Λ1t , ïðè

уже не обладающая свойством поверхности но являющаяся многообразием: ее можно покрыть картами, одна из которых гладко и взаимно однозначно проектируется на ось x, другая на ось p (см. рис.1). Кривые в фазовом пространстве естественно задавать

в параметрической форме Λ10 = (p, x R2x,p : p = P (α), x = X(α), −∞ < α < ∞ с помощью гладких функций P (α), X(α). Параметр α R есть координата на кривой. В принципе кривая Λ10 может быть и замкнутой, тогда можно считать, что что функции P (α), X(α) периодичны по α.

Аналогичным образом мы будем задавать n-мерные многообразия в фазовом пространстве R2x,pn и писать Λn = (p, x R2x,pn : p = P (α), x = X(α). Теперь α = (α1, . . . , αn)- óæå n-мерный параметр, и P (α), X(α)-гладкие n-мерные вектор-функции. Для упрощения изложения мы будем считать, что α изменяются во всем Rn, при необходимости будем предполагать, что функции P (α), X(α) периодичны по некоторым αj. (Строго говоря, уравнения p = P (α), x = X(α) задают многообразие лишь локально и в общем случае Λn следует покрыть картами, в каждой из которых вводятся свои собственные

функции, согласованные между собой в областях пересечения карт, см. [6,7]). Точки на лагранжевом многообразии будем обозначать σ, таким образом σ = (P (α), X(α)),

è σ соответствует набор координат α1, . . . , αn. Если мы имеем семейство лагранжевых многообразий, зависящих от параметра, например времени t, то будем снабжать точки

σ индексом t снизу, и приписывать t в аргументы функций (P, X: σt = (P (α, t), X(α, t)). Номера j точек будем писать сверху, например σj.

Вектор-функции P (α) è X(α) порождают n × n матрицы

B =	∂P	,	C =	∂X	(8.1)
						4.1

	∂α			∂α
			n		B
Тот факт, что размерность многообразия
			Λ равна n, означает что ранг матрицы (C)
равен n.

Лагранжевыми многообразиями называются гладкие многообразия размерности n

âR2x,pn , обладающие следующими эквивалентными свойствами: а) на них обращаются в нуль скобки Лагранжа:

	∂P		∂X		∂P		∂X
[p, x]i,j = (		,		) − (		,		)	i, j = 1, . . . n,
	∂αi		∂αj		∂αj		∂αi
Простейшим примером лагранжева многообразия									∫является многообразие, опреде-
б) на многообразии локально определен интеграл									P dX.

ляемое условиями (3.11). Другие примеры мы приведем ниже.

фазовый поток, от-

Замечательным является тот факт, что свойство лагранжевых многообразий оказы-

вается инвариантным относительно канонических преобразований, т. е. сдвигов вдоль траекторий гамильтоновой системы [3]. Именно, обозначим gHt

вечающий гамильтоновой системе (3.10) т. е. gHt это отображение, ставящее в соот- ветствие начальным условиям p|t=0 = p0, x|t=0 = x0 решение системы (3.10) с этими начальными условиями в момент времени t: (p, x) = gHt (p0, x0). Фазовый поток переносит"объекты вдоль траекторий системы (3.10): можно в качестве начальных условий взять n-параметрическое семейство точек. Указанное свойство означает, что многообра-

çèÿ Λnt = gHt Λn0 , полученные с помощью сдвигов произвольного начального многообразия вдоль траекторий системы (3.10), также являются лагранжевыми многообразиями при всех t.

Поскольку∫ определение лагранжева многообразия гарантирует существование интеграла P dX, òî íà Λnt ( вообще говоря, локально) определена функция s, называемая

действием, удовлетворяющая условию

			ds = P dX				(8.2)	4.2
Hетрудно проверить, что функция s(α, t), определяемая посредством (3.12), является
действием, т. е. удовлетворяет уравнению (4.2). Легко показать, что							s(α, t) можно пред-
ставить в виде:
			s = ∫0 t(P X˙ − H)\|α=α0 dτ + S0(α0) +			∫γ P dX,
							(8.3)	4.3

ãäå α0 произвольное фиксированное значение параметра α, определяющее точку σ0 =
(P (α0, 0), X(α0, 0)) на лагранжевом многообразии Λn, γ ïóòü íà Λn							0
							соединяющий точки
					t	t
σ0	= (P (α0, t), X(α0, t)) è σt = (P (α, t), X(α, t)). Поскольку решение уравнения (4.2) не
t
единственно (например, s′ = s+f(t) также решение), то формулы (3.12) или (4.3) дают
условия согласования действий на Λtn. Всюду ниже мы будем полагать, что действие на
Λn	согласованы посредством этих формул.
t	Hачальное лагранжево многообразие Λ0n определяет действие на нем и поэтому на-

чальные условия для уравнения Гамильтона-Якоби можно ставить в терминах лагран-
жевых многообразий. Действительно, пусть лагранжево многообразие задано в виде
n	= {p = P0(α), x = X0(α)}. Выберем				0. Тогда действие можно определить по форму-
Λt	= {p = P0(α), x = X0(α)}. Выберем				0. Тогда действие можно определить по форму-
				некоторую точку на этом многообразии, отвеча-
ющую фиксированному значению α = α
è σ0		= (P0	(∫α), X0(α)). Таким образом, задание Λ0n определяет начальные условия для
ëå s0		(α) =	γ P0dX0 + s0(α0), ãäå γ ïóòü íà Λ0n соединяющий точки				σ00 = (P (α0), X(α0))

уравнения Гамильтона-Якоби с точностью до аддитивной постоянной.

Фокальные точки и каустики. В геометрической оптике кривые или поверхно- сти в конфигурационном пространстве Rnx, состоящие из фокальных точек, называются

каустиками или каустическими поверхностями. Амплитуда ВКБ-решений в этих точ- ках обращается в бесконечность. С точки зрения геометрии лагранжевых многообразий

смысл фокальных точек следующий это точки, особые относительно проектирования многообразия Λnt на конфигурационное пространство, т. е. n-мерную плоскость Rnx, çà-

данную n уравнениями pi = 0, i = 1, . . . , n.

Другое название фокальных точек (или их совокупностей) лагранжевы особенности. Их изучение представляет собой одно из направлений теории катастроф (см., например [8]). В фокальных точках амплитуда асимптотического решения неограни- ченно возрастает при h → 0, причем порядок роста решения по параметру h зависит от

типа особенности. Тип особенности определяется геометрией лагранжева многообразия в окрестности фокальной точки. Классификация лагранжевых особенностей произведена в [9]. Оказывается, что малой деформацией в классе лагранжевых многообразий данной лагранжево многообразие может быть переведено в такое, что в окрестности каждой из своих точек полученное многообразие приводится гладким взаимно однозначным отображением фазового пространства к одной из простых стандартных форм. В частности, при n = 2 эти стандартные формы имеют вид:

A1 : x1 = −2p1,	p2 = x2;
A2 : x1 = ±3p12,	p2 = x2;

A3 : x1 = ±4p31 − 2p1x2, p2 = p21;

Во всех трех случаях координаты на лагранжевом многообразии (локальные) это (p1, x2), òàê ÷òî α1 = p1, α2 = x2. В случае A1 лагранжево многообразие гладко и взаимно однозначно проектируется на плоскость (x1, x2), фокальные точки отсутствуют; в случае A2 каустика это прямая; в случае A3 каустика кривая типа клюва на плоскости (x1, x2).

Фокальные координаты и канонический атлас. Второе замечательное свойство лагранжевых многообразий заключается в том, что окрестность фокальной точки может быть гладко и взаимно однозначно спроектирована на некоторую n-мерную ко-

ординатную плоскость. Более точно, существуют два непересекающихся и дополняю-

щих друг друга до (1, . . . , n) набора индексов I è I, таких, что некоторая окрестность любой точки из многообразия Λn локально гладко и взаимно однозначно проектируется на некоторую n-мерную координатную плоскость RnI , задаваемую уравнениями

xi = 0, i I, pj = 0, j I.

Наборы индексов I, I и порожденные ими координаты играют важную роль в по-

следующих конструкциях. Поговорим о них более подробно, имея в виду возможное использование связанных с ними объектов в компьюторных алгоритмах и програм-

мах. Наборы индексов I, è I состоят из различного числа элементов; нам удобно счи-

òàòü I, I n− мерными векторами, заполнив места с отсутствующими элементами ну-

лями. Например для n		¯
лями. Например для n	= 2 имеем следующие наборы пар: I = (1, 2), I = (0, 0);
¯	¯	¯
I = (1, 0), I = (0, 2); I	= (0, 2), I = (1, 0);	I = (0, 0), I = (1, 2). Условимся, что запись

i I будет означать, что i пробегает все ненулевые элементы вектора I.

В теории гамильтоновых систем и лагранжевых многообразий важную роль играет

(стандартная симплектическая) матрица ˆ

J размера 2n × 2n. Эта матрица определя-

ется следующим образом. Пусть	Em-единичная m × m матрица, через O будем обо-
значать нулевые матрицы нужного размера. Тогда Jˆ = (En			−0 n). Наряду с матри-
		0	E
öåé ˆ	ˆI	. Рассмотрим единичную 2n × 2n-
J введем другие (симплектические) матрицы J
				ˆ
матрицу E2n; ее вектор-строки E2n обозначим через lj, à вектор-строки матрицы J через
	ˆI мы понимаем матрицу составленную из строк
fj, j = 1, 2, . . . 2n. Тогда под матрицей J
	¯		ˆI	äëÿ n = 2
lj è lj+n, åñëè j I, и строк fj, fj+n, åñëè j I. Выпишем все матрицы J

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.09.2019154.62 Кб3Дерево решений.doc
#
03.06.2015882.8 Кб33Динамика.pdf
#
03.06.2015177.04 Кб15Динамические массивы.pdf
#
27.03.20161.25 Mб17диплом (1).docx
#
03.06.2015630.67 Кб57Длинные задачи.pdf
#
03.06.2015445.86 Кб24Доброхотов.pdf
#
27.03.2016100.86 Кб3доклад философия.doc
#
03.06.20152.18 Mб5Документ Microsoft Office Word.docx
#
21.07.201962.98 Кб2Документ Microsoft Office Word.docx
#
03.06.201575.78 Кб5Документ Microsoft Word.doc
#
03.06.201594.21 Кб16Документ Microsoft Word.doc