Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Доброхотов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

445.86 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Jˆ(1,2)			E4 =					1	0	0	0					1	0	0	0
Jˆ(1,2)			E4 =		0				1	0	0	, Jˆ(1,0) = 0					0	0	−1		,	(8.4)
	≡																1 0 0
	≡				0 0					0 1				0			1 0 0
								0	0	1						0	0	1	0
								0	0	1	0					0	0	1	0
				0	0			−1		0				0		0	−1		0
Jˆ(0,2)			0 0 0							1		Jˆ(1,2)	0 1				0		0			(8.5)
Jˆ(0,2)		= 0			1			0		0 ,		Jˆ(1,2)	= 0			0	0		−1 .			(8.5)

				1	0			0						1		0	0		0
				1	0			0		0				1		0	0		0
Приведем еще пример матрицы ˆI																				¯
матрица									J		äëÿ n = 3 è I = (1, 0, 3), тогда I = (0, 2, 0) è 6 × 6
матрица
												A1	A2
состоит из блоков									Jˆ(1,0,3) = (A3 A4)
состоит из блоков								1	0	0			0		0		0
					0				0	1			0		0		0
			A1 = 0 0 0 ,									A2 = 0 −1 0 ,
								0	0		0		1		0		0
						0			0		0		0		0		1
			A3 = 0 1 0 ,									A4 = 0			0 0 .
Теперь с помощью матриц							ˆI										p	P (τ)
(xI ) = JˆI						J			построим по векторам (x ), (X(τ) ) векторы
(xI ) = JˆI							(x),				(XI (α))		= JˆI (X(α)).									(8.6) 4.4
	pI							p			P I	(α)			P (α)

Матрица ˆI действует на вектор-столбцы (на матрицы) следующим образом: она сохра-

няет компоненты вектор-столбцов (или вектор-строк матрицы), находящихся на местах с номерами j è j + n, åñëè j I, и переставляет их местами с изменением знака ком-

поненты вектор-столбца с номером

j + n (вектор -строки матрицы), если

частности, для n = 2 имеем

p(1,2)

= p2

p(1,0)

−x2

(x(1,2))

(x(1,0))

−x1

p(0,2)

p(0,0)

= −x2 .

(x(0,2))

(x(0,0))

И, например, в случае n = 3 è I = (1, 0, 3) (тогда I = (0, 2, 0)):

p1 x1

pI = −x2 , xI = p2 . p3 x3

j I. Â

(8.7)

(8.8)

Нам понадобятся также укороченные вектора xˇI è pˇI , имеющие только c компо-

нентами xl è pl. Они получаются из xI è pI удалением элементов pk è xk соответственно.
(p2)	(n3)
Например, x(1,0) = x1	, íî xˇ(1,0) = x1; pˇ(0,2) = p2, xˇ(1,0,3) = xx1 .

Введенную выше n-мерную координатную плоскость RI в фазовом пространстве

можно задать уравнением pI = 0 или (эквивалентным) уравнением xI = 0. Очевидно, xI координаты на ней, такие координаты будем называть I фокальными. Если I = (1, 2, . . . , n), òî xI = x, pI = p и индекс I в этом случае будем опускать.

Из свойства лагранжевости Λn следует, что всякое ограниченное множество на Λn

можно покрыть конечным числом областей ΩjIj						(с номерами j = 1, 2, . . . , m) òàê, ÷òî
Ij						n
каждая Ωj		гладко и взаимно однозначно проектируется на RIj и в ней невырождена
матрица C	I	=	∂XIj	Ω	Ij
			∂α . Области		j называются картами с (фокальными) координатами

xIj , а вся совокупность {ΩIjj } каноническим атласом Λn. Карты с Ij = (1, 2, . . . , n будем называть неособыми. Индекс j это номер карты; для разных j Ij, вообще говоря, могут совпадать. Заметим также,что для каждой точки на лагранжевом многообразии фокальный набор координат I, вообще говоря, не является единственным. Этот же факт имеет место и для областей (карт) ΩI . В частности в неособой карте иногда можно

ввести и фокальные координаты.

В примере 3 предыдущего параграфа Λ1t при закритических временах может быть покрыта тремя картами, две из которых хорошо"проектируются на ось x (неособые

карты) и одна (Ω12) íà îñü p (рис.2). Итак, в одномерном случае область, принадлежащая Λ1t либо хорошо"проектируются на ось x ëèáî íà îñü p. Отсюда вытекает следующее соображение: если асимптотические решение в окрестности фокальной точки записать в координатах p, то оно особенностей иметь не будет.

В квантовой механике запись ответа в импульсных"переменных p называется переходом в импульсное, или p-представление и осуществляется, как известно, с помощью преобразования Фурье. Переход в p-представление позволяет построить, в частности, новый класс асимптотических решений.

9. Асимптотические решения в импульсном и смешанном представлениях

Решение в импульсном представлении. Будем искать решение уравнения (1.5) в виде обратного преобразования Фурье от некоторой функции χ(p, t), т. е. представим

ψ(x, t) â âèäå ψ(x, t) = Fp−→hxχ(p, t). Подставим ψ в таком виде в уравнение (1.5) и применим слева h-преобразование Фурье Fx−→hp. Согласно (1.5) получим уравнение:

ãäå

= (

h) F

L(x,

)

−

. Поскольку преобразование Фу-

χtt + Lχ = 0,

(9.1)

5.1

L ih∂/∂p, p,

умножения в операцию

≡

−

ih∂/∂x, h F

x→p

p→x

рье переводит операцию

дифференцирования и, наоборот, опе-

тельно,

рацию дифференцирования в операцию умножения, то

L = L(ih∂/∂p, p, h). Действи-

∫Rp4n′;p x;x′

Lχ = (2πh)−2n

χ(p t)L(x, p′, h)exp{

(x(pp′) + x′(pp′))}dxdp′dx′dp”

Меняя порядок интегрирования и учитывая, что

δ(pp′) = (2πh)−n ∫Rn exp{			i	(pp′)x}dx,

			h
получим	∫Rx;p2n ′				i
e					i
e
Lχ = (2πh)−n		χ(p′, t)L(x, p′, h)exp{			h	(p′ − p)x}dxdp′.

Заменяя в последнем интеграле x íà −x и изменяя затем пределы интегрирования по x получим по определению

Lχ

F −h

F h

x, p, h

p, t

(−

) =

ih∂/∂p, p, h

x→p

p→x

)

(

)

(

)

Èòàê, (5.1) h-псевдодифференциальное уравнение, и его решение, согласно методу ВКБ, можно искать в виде быстро осциллирующей экспоненты:

χ(p, t) = φ˜(p, t)exp(iS(p, t)/h).

Формула коммутации оператора e

L с быстро осциллирующей экспонентой имеет вид, отличный от (3.1) в силу того, что индексы над операторами умножения и градиента

поменялись местами. Именно, вместо (3.1) имеем формулу [3]

L[2˜ 0e

] =

{

(− p

) ˜+

φeiS/h

eiS/h

S, p φ

(9.2)

∂L

S, p

∂φ˜

∂ L

S, p)φ˜

(9.3)

(

+ [

∂x

−

)

∂p

+ ˜Spe

iL ( p e

−

∂x∂p

2− − e∂

∂2L0

∂2S

Подставляя теперь

â (5.1) è

делаяeзатем

преобразования аналогично Ÿ3 получим

−

2φ˜Sp(

∂x2

(− pS, p)

∂pe2 )]}

+ O(h ),

p =

∂p

(9.4)

уравнение Гамильтона-Якоби и переноса:

St +

±(− pS, p) = 0,

(9.5)

∂

∂φ˜

∂2

φ˜

(

−

S, p),

φ˜Sp

(

S, p)+

(9.6)

t − ∂x

∂2 ±

∂x∂p

∂2Se

∂p

−

− p

где, как и прежде, H±(x, p) = ±{L0

(x, p)}1/2. Ýòè

φ˜Sp(

(− pS, p)

) = 0,

∂x2

∂p2

уравнения имеют тот же вид, что

и (3.6)-(3.7) с точностью до замены

→

S и решаются в точности

− p e →

теми же способами. Гамильтонова система, соответствующая уравнению (3.6') имеет вид x˙′ = −Hx(−x′, p′), x˙′ = Hp(−p′, x′) и переходит в (3.10) при замене x′ → p, p′ → −x′.

Выясним теперь, какие начальные условия для уравнения (5.1) и уравнений (3.6'),(3.7') дают условия (3.8). Оценим h-преобразование Фурье условий (3.8) с помощью метода

стационарной фазы (пример 5 Ÿ3). Имеем:


iπµ/2		∂2S0			−1/2			i
χ\|t=0 e	ψ1(x)\| det	∂x2		\|			exp{	h	(s0(x) − xp)},
hχt\|t=0 eiπµ/2ψ2(x)\| det			∂2S0			\|−1/2exp{				i	(s0(x) − xp)},
hχt\|t=0 eiπµ/2ψ2(x)\| det			∂x2			\|−1/2exp{				h	(s0(x) − xp)},

3.1'

3.6'

3.7'

ãäå µ = −Inerdex

∂2S0

x = x(p) решение уравнения S0(x) = p. Поэтому в качестве

∂x2

начальных условий для уравнений (3.6'), (3.7') следует взять функции (для (3.7') с

точностью до множителя exp(iπµ/2))

S±(p, 0) = S

(p)

S (x(p))

px(p),

φ˜±(p, 0) = φ˜ (x)

det

∂2S0(x)

−1/2 =

=ψ20(x)

−

∂x2

∂2S0(x)

−1/2

(9.7)

3.9'

[ψ1

(x)

]| det

x = x(p).

√

∂x2

L0(− pS, p)

есть с точностью до знака преобразование Лежандра

Мы видим, что функция S0(p)

функции S0(x) (см. например [6,14]). Поэтому начальные данные для гамильтоновой

системы, соответствующейe(3.6'), имеют вид:

x′

t=0 = α′, p′

t=0 =

∂S0(α′)

∂α

′

∂S0(α

′)

Заменяя, как и выше,p′ íà −x è x′ íà p, получим p|t=0

= α′, x|t=0

= −

α′

∂α′

(α1′ , . . . αn′ ) - n-мерный вектор параметр. Следовательно, начальное

лагранжево много-

образие имеет вид

Λ0n = {p = α′, x = −

∂S0

∂α′

Но начальное лагранжево многообразие

представлении, в силу свойств преоб-

Λ0

â x

α′ =

∂S0(α)

разования Лежандра, совпадает с Λn. В самом деле, сделаем замену

∂α . Тогда

∂S0(α)

, x = x(

)

, ãäå x = x(p) решение уравнения

= p. Как нетруд-

Λ0 = { =

∂α

∂S0(α)

∂α

но проверить x(

) ≡ α è Λ0

≡ Λ0 . Таким образом, с точностью до указанной замены

∂α

координат

в фазовом пространстве, гамильтонова система и начальные

p′ → −x, x′ → p

изменились при переходе в

данные для нее не

−

представление, и следовательно, не

изменились и лагранжевы многообразия Λt . Поэтому и решения уравнений (3.6')- (3.7')

определяются тем же семейством многообразий Λtn. Именно, если на отрезке 0

≤

не обращается в нуль якобиан J(0,...,0)(α, t) = det

∂P (α,t)

P (α, t) решение гамиль-

∂α

, ãäå

тоновой системы (3.10), удовлетворяющее при

условиям (3.11), то решение S

p, t

уравнения (3.6) имеет при 0 ≤ t ≤ t0 âèä:

t = 0

)

S(p, t) = s(α, t) − P (α, t)X(α, t).

уравнения

. Аналогично (3.15) получим решение

Здесь α = α(p, t) решение

P (α, t) = p

уравнения переноса (3.7):

φ˜(p, t) = φ0(α)|J(0,...,0)(α, t)|−1/2,

α = α(p, t).

(9.8)

3.13'

Проанализируем полученные формулы. Равенство (3.13') показывает, что в том случае, когда лагранжевы многообразия Λnt = gHt Λn0 гладко и взаимно однозначно проектируют- ся на плоскость Rnp , асимптотическое решение уравнения (1.5) с начальными условиями

(3.8) может быть записано в виде обратного преобразования Фурье от быстро осцилли-

рующей экспоненты φ˜(t)exp(iS(p, t)/h): знаменатель в правой части формулы (3.13') не

обращается в нуль на каустиках и асимптотическое решение не обращается в фокальных точках в бесконечность. Выше, в Ÿ4, мы видели, что в альтернативном случае, когда Λnt

гладко и взаимно однозначно проектируются на плоскость Rnx (конфигурационное про- странство), асимптотическое решение записывается в виде ВКБ-решения (знаменатель в формуле (3.13) не обращается в нуль). Таким образом, мы построили искомое асимп-

тотическое решение для лагранжевых многообразий, которые хорошо"проектируются либо на плоскость Rnx, либо на плоскость Rnp . Такое же утверждение справедливо и для

более общей ситуации, когда носитель suppφ0 принадлежит таким областям лагранже- вых многообразий Λnt , которые хорошо"проектируются на указанные плоскости.

Частичное преобразование Фурье и решение в смешанном представлении.

Может, однако, возникнуть ситуация, когда Λnt не проектируется гладко ни на Rnx, íè íà Rnp . В этом случае, как мы знаем из Ÿ4, существует плоскость RnI , на которую Λnt

(локально) проектируется хорошо". Асимптотическое решение выписывается тогда в виде частичного h-преобразования Фурье.

Частичное преобразование Фурье-это преобразование Фурье лишь по некоторым пе-

ременным xi, мы считаем что по переменным i	¯
ременным xi, мы считаем что по переменным i	I, при этом остальные переменные, то
¯		Фурье
есть переменные xi, i I не трогаются. Обычно для частичного преобразования		h
(с параметром h используется обозначение F h	и обратного преобразования	F − .
xˇI →pˇI		pˇI →xˇI

(Например, для n = 2 Fxh1→pˇ1 , Fp−1h→xˇ1 ). Мы для упрощения и, главным образом, для уни-

фикации обозначений будем использовать обозначения

−h

I .

Fx→x

→x,

подразумевая, что

преобразование производится по несовпадающим компонентам векторов x, x

Тогда частичное h-преобразование Фурье (по компонентам xˇi,

i I вектора x)

определяется формулой

∫ φ(x)exp(−

Fxh→xI φ(x) =

x, p I¯)dxˇI = φI (xI ),

(2πih)k/2

а обратное частичное преобразование Фурье формулой

−h

∫

φ(x) =

FxI →xφ

) =

φ˜ exp(

x, p I )dpˇ .

(−2πih)k/2

Наборы индексов I, I и векторы (ˇx

, pˇ были введены в предыдущем параграфе, k-число

(ненулевых) элементов ¯

I; и мы полагаем

∑

x, p I¯ =

¯ pixi

i I

. Åñëè I = (1, . . . , n) òî

±h тождественные преобразования.

Пусть Λt гладко и взаимно однозначно проектируются на плоскость RI = {xi =

ïðè âñåõ t. Будем искать решение уравнения (1.5) в виде ча-

0, i I, pj = 0, j I}

стичного h-преобразование Фурье по переменным pj, j I. Применяя к (1.5) слева

частичное h-преобразование Фурье по компонентам xj, j I, получим уравнение, ана-

логичное (5.1). К этому уравнению применим стандартный метод ВКБ и получим, как и в Ÿ3, уравнение Гамильтона-Якоби и переноса. Все дальнейшие рассуждения полностью аналогичны приведенным выше (см. [3]). Окончательный ответ имеет вид:

−h

[φ˜0(α)√|J

(9.9)

5.2

ψ(x, t) = FxI →x

(α, t)|exp{h(s(α, t) − P (α, t)X(α, t)}I ],

ãäå JI (α, t) = det

∂XI

α = α(xI

, t) решение системы XI (α, t) = xI .

∂α

При анализе формулы (5.2) естественно возникают следующие вопросы. Предполо- æèì, ÷òî Λnt хорошо"проектируется одновременно на несколько координатных плоско- ñòåé RnI , например, на конфигурационное пространство Rnx и импульсное пространство Rnp . Какое представление (т.е. x èëè p -) выбрать для ответа, и как эти представления

связаны? Ответ на первый вопрос вытекает из элементарного анализа лагранжевых многообразий. Вид получаемого решения, естественно, будет тем проще, чем меньшее число входящих в него интегралов. Оно, в свою очередь, определяется количеством пе-

¯ ¯

ременных pˇi, i I (то есть числом k импульсных компонент набора I) в координатной плоскости RnI , на которую Λnt проектируется хорошо". Минимальное число k импульс-

ных переменных, и, следовательно, интегралов в ответе, определяется типом особенностей многообразий Λnt и равно дефекту матрицы ∂p/∂x, т. е. числу n − rank(∂p/∂x).

В ряде случаев решение задачи (1.5), (3.8) может быть записано с помощью специальных функций ( в случае особенности A2 функции Эйри, A3 функции Пирси, в обоих случаях k = 1). Связь импульсного и координатного представлений будет об-

суждаться в следующем параграфе, а этот параграф мы закончим введением предканонического оператора [3], позволяющего получить асимптотическое решение задачи

(1.5), (3.8) в том случае, когда при всех t

suppφ0(α) лежит в картах ΩI , которые хо-

рошо"проектируются на RI

I не зависит от времени.

Итак, пусть ΩI

принадлежит лагранжеву многообразию

Λn

= {

p(α, t), x =

x(α, t)} и пусть φ0(α)

Ω

I=. Тогда пред-

гладкая финитная функция с носителем в

канонический оператор K(Ω , σ0) определяется формулой

K(ΩI , σt0)[φ0(α)] = Fx−Ih→x[φ0(α)×

σt

(9.10)

exp

(

P dX

−

X(α, t), p

¯)

JI (α, t)

√|

| n

∫σt0

}

ãäå σ

α, 0), x = X(α, 0)

}

, α

отмеченная точка на

- -произвольное

= {0

(t 0

n 0

фиксированное значение параметра

α, σt

= gHσ0, σt

точка на

Λt

с координатами

= {p = P (α, t), x = X(α, t)},

смысл, что и

α, σt

è α = α(x , t) имеют тот же

в формуле (5.2). При условии, что на траектории, выпущенной из точки

σn, отсут-

ствуют фокальные точки, для функций φ±0 , обладающих указанным выше свойством, получим, представляя s(α, t) по формуле (4.2), асимптотику задачи (1.5), (3.8)

	ψ(x, t)		∑		i	δ± +	iπµ	)K(ΩI , σ0t )[φ0±(α)],
	ψ(x, t)		exp(		h	δ± +	2	)K(ΩI , σ0t )[φ0±(α)],	(9.11)
			+,−
	∂2S0		t
ãäå µ = −Inerdex		, δ±(t) = ∫0		(p±x± − H±)\|α=α0 dτ + S0(α0).
ãäå µ = −Inerdex	∂xˇI2	, δ±(t) = ∫0		(p±x± − H±)\|α=α0 dτ + S0(α0).

10.Индекс и канонический оператор

Индекс цепочки карт. Процедура сшивания локальных асимптотик, полученных с

помощью предканонического оператора, приводит к понятию индекса цепочки карт на лагранжевом многообразии. Рассмотрим две пересекающиеся карты ΩI1 è ΩI2 ,è

пусть в области ΩI1 ∩ ΩI2 имеется точка, некоторая окрестность которой, хоро-

шо"проектируюется на конфигурационное пространство. Такие точки называются неособыми. Сравним формулы (5.3) в окрестности этой точки. Воспользуемся для этого

5.3

5.4

методом стационарной фазы. Имеем

K(ΩI1 , σt0)[φ0(α)] = (−2πih)−k1/2

∫Rk1

φ0(α)|JI1 (α, t)|−1/2×

σt

ˇI1

exp

(

pˇ

, xˇ

(α, t)dxˇ

XI1

(α, t)dP

dpˇ

(10.1)

}

∫σt0

− ∫σt0

ãäå α = α(xI1 , t) решение системы xI1 (α, t) = xI1 . Уравнение на стационарную точку

	¯		¯		¯	¯
фазы имеет вид xˇ	I1	ˇI1		(α, t), матрица вторых производных фазы равна (−∂xˇ	I1	I1	)
фазы имеет вид xˇ		= X		(α, t), матрица вторых производных фазы равна (−∂xˇ		/∂pˇ	)

и в силу нашего предположения является невырожденной. По формуле (3.15) получаем

K(ΩI1 , σ0t )[φ0] φ0(α)\|J(α, t)\|−1/2exp{	i		iπ	¯	¯
		(s(α, t) − δ(t)) +		Inerdex(∂xˇI1	/∂pˇI1 )},
	h	(s(α, t) − δ(t)) +	2	Inerdex(∂xˇI1	/∂pˇI1 )},
					(10.2)

ãäå α = α(x, t) решение системы x(α, t) = x. Совершенно аналогично получаем, что

iπ

K(ΩI2 , σt0)[φ0] = φ0(α)|J(α, t)|−1/2 exp{

∂xˇI2

(s(α, t) − δ(t)) +

Inerdex

(10.3)

∂pˇ¯I2

Сравнивая формулы (6.2) и (6.3) мы видим, что

ответы,

записанные в

I1- è I2-

представлениях отличаются численным множителем

iπ

∂xˇI2

∂xˇI1

exp{

[Inerdex

− Inerdex

]}.

∂pˇ¯I2

∂pˇ¯I1

Величина в квадратных скобках в последнем выражении называется индексом Маслова пары карт ΩI1 è ΩI2 .

	¯		¯
Ind(ΩI1 , ΩI2 ) = Inerdex	∂xˇI2	− Inerdex	∂xˇI1
				.
	∂pˇ¯I2		∂pˇ¯I1	.

Индексом цепочки Маслова попарно пересекающихся карт ΩI1 , . . . , ΩIm

1 m называется чис-

ëî:

Ind(ΩI11 , . . . , ΩImm ) = Ind(ΩI11 , ΩI22 ) + · · · + Ind(ΩImm−−11 , ΩImm ).

Такое определение индекса Маслова также называется определением по Чеху . Канонический оператор. Из формул (6.2), (6.3) вытекает, что естественно искать

асимптотику решения в виде

∑

ψ = CjK(ΩIj , σ0t )[φ0(α)ej(α)],

ãäå ej(α) разбиение единицы по атласу {ΩIj }, то есть набор неотрицательных гладких функций, удовлетворяющих условиям (см. рис.3):

∑

1) ej(α) ≡ 1, 2) supp ej ΩIj

Коэффициенты Cj выбираются так, чтобы выражение (6.4) определяло гладкую функцию. Фактически это требование означает, что коэффициенты Cj согласованы с помо-

щью рассуждений, приведших нас к формулам (6.2) и (6.3). Эта конструкция приводит к следующему определению.

6.1

6.2

6.3

Каноническим оператором Маслова K(Λnt , σt0) называется оператор, действующий

на финитные гладкие функции φ(α) на многообразии Λn				по формуле
			t
K(Λtn, σ0t )[φ(α)] = ∑j	exp{−	iπ	Ind(ΩI1 , . . . , ΩIj )}K(ΩIj , σ0t)[φ(α)ej(α)]		(10.4)

		2

Здесь ΩI1 , . . . , ΩIj цепочка карт, в которых лежит путь γ(σt0, σt), вдоль которого ведет-
ся интегрирование в формуле (5.3). При этом предполагается, что точка σ0
					t неособая.
Предположим, что точка σ0	выбрана так, что на траекториях gt				(σ0) нет фокаль-
0				H±	0
ных точек. Тогда асимптотика решения задачи (1.5), (3.8) имеет вид
∑			i
ψ(x, t)		exp(		δ±)K(gHt ±Λ0n, σt0)[φ0(α)]		(10.5)
			h
+,−
Здесь δ± то же, что и в (5.4). В случае, когда на траекториях					gHt ±σ00	имеются

фокальные точки, следует использовать индекс Маслова, вычисленный на лагранжевыхпленках"gHt ±Λn0 , 0 ≤ t ≤ T . В некоторых случаях этот индекс выражается через известный индекс Морса [3].

Формула (6.5) является одним из основных результатов теории канонического оператора. Она позволяет построить асимптотику решения задачи (1.5), (3.8) при наличии каустик и фокальных точек произвольного вида.

Условия квантования Бора-Зоммерфельда. Канонический оператор Маслова (6.4) однозначно определяет функцию ψ(x, t) лишь в том случае, когда для лю-

бого замкнутого пути γ на многообразии Λnt выполнены условия квантования Бора- Зоммерфельда [14]

2	Iγ pdx = Indγ + 4m,	(10.6)
πh

ãäå Indγ индекс цепочки карт, покрывающей путь γ è m− целое число. Для много-

образий gHt ±Λn0 , введенных выше, эти условия выполняются автоматически при m = 0. Как мы увидим в дальнейшем, для многообразий, возникающих в стационарных зада- чах для волн на воде, условия (6.6) определяют частоты так называемых захваченных волн. Выполнение условий квантования обеспечивают корректность определения канонического оператора в том смысле, что с точностью до o(1) ïðè h → +0 оно не зависит

ни от выбора атласа на лагранжевом многообразии, ни от выбора соответствующего разбиения единицы и ни от выбора цепочек карт при определении индекса (при условии выполнения условия квантования (6.6)). Доказательство этого утверждения можно найти в [14]; ниже мы еще вернемся еще к этому вопросу.

Вообще из приведенной конструкции понятно, что канонический оператор может быть определен безотносительно динамики, хотя разумеется одна из основных целей его введения как раз и состоит в возможности построения в целом асимптотики решения задачи Коши. Нетрудно понять, что для определения канонического оператора следует иметь лагранжево многообразие, функцию на нем, некоторую фиксированную точку и, при необходимости, требовать выполнения условия квантования. Мы обсудим этот вопрос более подробно в следующем параграфе.

В заключение этого параграфа заметим, что функция (6.5) удовлетворяет уравнению (1.5) лишь с точностью до o(h). При желании можно построить поправки к этому

6.4

6.5

6.6

решению. Поскольку схема их получения весьма громоздка, и на практике интересуются лишь главным членом асимптотики, мы не излагаем ее здесь, отсылая читателя за

подробностями к работам [2], [3].

Hаконец отметим, что хотя построение на ЭВМ лагранжевых многообразий Λnt â êîí- кретных задачах не составляет особого труда, но их анализ и выявление особенностей (каустик) оказывается, вообще говоря, не простым делом. К настоящему времени, однако, развиты весьма эффективные методы, позволяющие решать и эти задачи [21,25]. Это дает возможность уже в конкретных ситуациях указывать как множества точек, в которых амплитуды волновых полей имеют большие (по параметру 1/h) значения, так

и давать с помощью [9] оценки этих амплитуд.

11. Индексы путей и "унифицированное"определение канонического оператора

Канонический оператор и алгоритм построения асимптотики волновых полей. Из предыдущего параграфа ясно, что канонический оператор-это по-существу алгоритм построения волновых функций (или волновых полей). В конкретных зада- чах его реализация сводится к нахождению семейства траекторий соответствующей гамильтоновой системы, вычислению функции действия, якобиана, амплитуды, индекса Маслова. Для построения волнового поля в окрестности фокальных точек и каустик следует найти некоторые интегралы от быстро осциллирующих функций или, если это возможно, выразить их через некоторые специальные функции. В реальных физиче- ских ситуациях представление волновых полей с помощью элементарных и даже (специальных) функций возможно лишь в весьма ограниченном наборе случаев, причем этот факт, разумеется не связан с дефектом метода . Наоборот, в общей ситуации ответ, определяемый с помощью канонического оператора, представляет собой наиболее простую его форму, и его дальнейшее аналитическое упрощение связано, как мы уже отмечали с тривиализацией задачи или наличием дополнительных свойств типа нали- чия симметрий у гамильтоновой системы и т.д. Если же никакими дополнительными свойствами исходное уравнение или начальные данные не обладают, то можно получить лишь в цифровом или графическом виде, и единственный способ его получения состоит в применении компьютера. Важно только подчеркнуть, что мы не имеем в виду прямое численное исследование исходной задачи (например, с помощью конечно-разностных методов или метода конечных элементов-этому препятствует сингулярность задачи в виде малого параметра при производных). Задача численного моделирования в первую очередь будет заключаться в построении семейства траекторий гамильтоновой системы, которая уже является вполне регулярной, и ее (численное) интегрирование может быть проведено на персональном компьютере. Фаза и амплитуда в формулах типа (5.3) также могут быть получены (попутно) на персональном компьютере. При этом если волновое поле нужно знать лишь в окрестности некоторых точек или на некоторых подмножествах конфигурационного пространства (в окрестностях каустик, например), то задача компьютерного моделирования еще больше упрощается, поскольку количе- ство требуемых траекторий существенно уменьшается. Таким образом определенные трудности в численном моделировании волнового поля с помощью канонического оператора состоит в нахождении индекса Маслова и вычислении быстроосциллирующих интегралов в особых картах. Цель этого параграфа-такое определение индекса Масло-

ва и предканонического оператора в особых картах (5.3), которое легко алгоритмизуется для последующего применения компьютера. Мы уже ввели ряд обозначений и определений для реализации этой цели. Не совсем удобным во введенном определении канонического оператора оказывается определение индекса. Покрытие путей картами и переход из карты в карту не очень хорошо алгоритмизуемая операция. Поэтому мы дадим другое, разумеется эквивалентное, определение индекса, основанное на вычислении приращения аргументов детерминантов некоторых матриц. Мы приводим здесь лишь определения и конструкции без доказательств, которые можно найти в [14].

Индексы Маслова путей на лагранжевых многообразиях. Заметим, что индекс цепочки карт в формуле (6.4) достаточно определить по mod 4 (т.е. с точностью до

целого числа вида 4k). Поэтому весь экспоненциальный множитель, порожденный индексом, есть одно из четырех чисел ±1, ±i. Следовательно, индекс Маслова определяет

правильный выбор корня из якобианов JI , или, по-другому,- (комплексный) аргумент

√

функции JI , а формулы изменения индекса при переходе из карты в карту - "правильное"согласование аргументов. Такое согласование можно провести, используя сле-

дующий прием из комплексном анализе и топологии. Cконструируем на лагранжевом многообразии комплексные функции F I (α, ε, η), зависящие от дополнительных пере-

менных (параметров) ε ≥ 0 è η, такие, что они, во-первых, при ε > 0 для любых α è η [0, π/2] не обращаются в ноль ε > 0 и, во-вторых, при значениях η = 0 è η = π/2 è ε → +0 совпадают с якобианами J è JI . Тогда фиксируя аргумент якобиана J â

некоторой неособой точке ("центральной"точке) лагранжева многообразия, мы фиксируем ветвь аргумента функции F I (α, ε, η) и затем согласуем аргументы функций JI

"по непрерывности". Так как JI вещественные функции, то их аргументы суть числа, кратные π. Так как в асимптотических разложениях появляются квадратные корни из

якобианов, то следовательно в конечном итоге нас интересуют целые числа π2 Arg JI. Именно они и равны индексу Маслова.

Перейдем к формульной реализации этого соображения. Чтобы сделать изложение более прозрачным, как и раньше, будем иллюстрировать его двумерным случаем (n =

2).

В Ÿ4 были введены матрицы B(α) è C(α). Так же как по векторам x,p мы построили вектора xI ,pI , построим по этим матрицам матрицы

ˆI

B ≡

∂P I

ˆI

C ≡

∂XI

(α) = J

(11.1)

7.1

∂α

Матрицы CI порождают якобианы JI

(

) =

det CI , и кроме того матрицы CI

= CI

−

iεBI

и "регуляризованные"якобианы Jε

(α) = detCε, ãäå

ε > 0 малое число.

Напомним, что якобианы JI

= detCI принимают участие в конструкции канони-

ческого оператора, приI

ýòîì J

̸= 0 в карте Ω

I , но, разумеется, в картах с другими

индексами I якобиан J

может обратиться в ноль. Оказывается, что в отличие от J

каждый из комплексных якобианов JεI , и, в частности, якобиан Jε = Jε(1,...,n)

не обраща-

ются в ноль при любых η [0, π/2], åñëè ε > 0.

Введем комплексные диагональные матрицы Π1(η) è Π2(η) с (диагональными) эле-

ментами

(η))jj

= {1, åñëè j I, è cos η, åñëè j

(Π1

(η))jj

(Π2

= {0, åñëè j I, è sin η, åñëè j I}.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.09.2019154.62 Кб3Дерево решений.doc
#
03.06.2015882.8 Кб33Динамика.pdf
#
03.06.2015177.04 Кб15Динамические массивы.pdf
#
27.03.20161.25 Mб17диплом (1).docx
#
03.06.2015630.67 Кб57Длинные задачи.pdf
#
03.06.2015445.86 Кб24Доброхотов.pdf
#
27.03.2016100.86 Кб3доклад философия.doc
#
03.06.20152.18 Mб5Документ Microsoft Office Word.docx
#
21.07.201962.98 Кб2Документ Microsoft Office Word.docx
#
03.06.201575.78 Кб5Документ Microsoft Word.doc
#
03.06.201594.21 Кб16Документ Microsoft Word.doc