Доброхотов
.pdfÄëÿ n = 2 они имеют вид:
(1,2) |
|
|
|
(1,0) |
1 |
|
0 |
(0,2) |
cos η |
0 |
(0,0) |
= ( |
cos η |
0 |
Π1 |
= E2, |
Π1 |
= (0 |
cos η), Π1 |
= ( 0 |
1), |
Π1 |
0 |
cos η), |
|||||
(1,2) |
|
|
(1,0) |
0 |
|
0 |
(0,2) |
sin η |
0 |
(0,0) |
sin η |
0 |
||
Π2 |
|
= 0, |
Π2 |
= (0 |
sin η), Π2 |
= ( 0 |
0), |
Π2 |
= ( |
0 |
sin η). |
|||
Äëÿ n = 3 è I = (1, 0, 3) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Π1(1,0,3) = 0 |
cos η |
0 , |
Π2(1,0,3) = 0 |
sin η |
0 . |
|
|
|||
Введем теперь n × n матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
CεI (α, η) = Π1I (η)(C − iεB) + Π2I (η)(B + iεC). |
|
|
(11.2) |
|||||||
Приведем эти матрицы для n = 2: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∂P1 |
∂P1 |
|
|
∂X1 |
∂X1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
B = |
∂α1 |
∂α2 |
, C = |
∂α1 |
∂α2 |
, |
|
|
|
|
|
|
||
∂P2 |
∂P2 |
∂X2 |
∂X2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
( |
∂α1 |
∂α2 ) |
( |
∂α1 |
∂α2 ) |
|
|
|
|
|
|
Cε(1,2) = C − iεB
Cε(1,0) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
((C21 |
|
|
|
C11 |
iεB11 |
|
|
C12 |
iεB12 |
+ iεC22) sin η) |
− iεB21) cos η−+ (B21 + iεC21) sin η |
(C22 |
− iεB22) cos η−+ (B22 |
||||||||
Bε(0,2) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(C11 |
− |
iεB |
|
) cos η + (B11 + iεC11) sin η |
(C12 |
− |
iεB12) cos η + (B12 |
+ iεC12) sin η |
||
( |
|
11 |
C21 |
− iεB21 |
|
C22 − iεB22 |
) |
|||
Bε(0,0) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(C11 |
− iεB11) cos η + (B11 + iεC11) sin η |
(C12 |
− iεB12) cos η + (B12 |
+ iεC12) sin η . |
||||||
((C21 |
− iεB21) cos η + (B21 + iεC21) sin η |
(C22 |
− iεB22) cos η + (B22 |
+ iεC22) sin η) |
Например, для n = 3 è I = (1, 0, 3) матрица C(1ε ,0,3)(α, η) состоит из трех вектор столбцов вида
(C2j |
|
C1j |
iεB1j |
|
− |
iεB2j) cos η−+ (B2j + iεC2j) sin η |
|||
|
C3j |
− iεB3j |
|
Справедливы следующие факты.
1)Ïðè ε > 0, η [0, π/2] для любых α матрица CIε(α, η) невырождена. В частности, для любого набора I ïðè ε > 0 невырождена матрица CεI (α) = CI (α) − iεBI (α).
2)Имеют место равенства
detCεI (α, 0) = det(C(α) − iεB(α)) = detCε(α) = Jε(α), |
(11.3) |
detCεI (τ, π/2) = det(CI(τ) − iεBI(τ)) = detCεI (τ) = JεI (τ). |
(11.4) |
В силу невырожденности матрицы CεI (α, η) ïðè ε > 0, η [0, π/2] äëÿI |
каждого |
фиксированного ε > 0 определен по непрерывности (по η) аргумент ArgdetCε |
(α, η), è, |
7.2
7.2
7.3
41
следовательно, фиксируя аргумент Jε(α) , мы определяем согласованные с ним аргу-
менты ArgJIε(α) якобианов JεI (α). Пусть точка σ = (P (α), X(α))-неособая точка в особой карте ΩI , тогда в ней отличны от нуля оба якобиана JI (α) è J(α). Устремляя ε ê íóëþ
получаем правило согласования их аргументов:
I |
α |
α |
lim Arg det CI |
(α, η) |
η=π/2 |
= |
|||
ArgJ ( |
|
) = ArgJ( ) + |
ε |
→ |
+0 |
ε |
|
|η=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.5) |
|
|
|
= lim Arg det CεI (α, π/2). |
|
|
|
|
|||
|
|
ε→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
Теперь, имея в распоряжении определитель матрицы CIε(η) и формулы (7.2)-(7.4), мы можем дать новое определение индекса Маслова. Прежде чем приступить к такому
определению, отметим,что с помощью правил, аналогичных (7.2)-(7.4), можно согласовать и аргументы двух особых якобианов JI1 è JI2 с различными наборами I1, I2.
При этом, правила согласований оказываются корректными в том смысле, что если мы сначала согласуем аргументы якобианов JI1 è JI2 , а затем JI2 è JI3 , то результат
с точностью до 4πm, m-целое, совпадет с прямым согласованием аргументов якобиа- íîâ JI1 è JI3 . Чтобы не усложнять изложения, мы не будем приводить здесь формулы
такого согласования, и тем более доказательство их корректности; эти формулы и доказательства можно найти (в более общей ситуации) в [14]. Мы проведем дальнейшие построения при следующем упрощающем, как правило имеющем место в конкретных
задачах, предположении.
Пусть {ΩIj }-набор карт (атлас), покрывающий лагранжево многообразие Λn. Будем считать, что в каждой карте ΩIj имеется неособая точка σj = (P (αj), X(αj)). Зафиксируем в карте ΩIk неособую точку σk и в карте ΩIj -неособую точку σj. Зафиксируем
в точке σj аргумент якобиана J(αk). Поскольку якобиан Jε(αk)-непрерывная функция, то тем самым мы фиксируем ветвь ArgJε(αk) как функции параметра ε ≥ 0.
Пусть теперь γσk→σl - некоторый путь на Λn, соединяющий точку σk = (P (αk), X(αk)) с точкой σj = (P (αj), X(αj)) в карте ΩIj . В силу невырожденности мат-
ðèöû Cε ïðè ε > 0 мы можем определить вдоль пути γαk→αl приращение
∆(γ |
|
|
j ) = lim Arg |
|
J |
j |
|
|||
k |
→α |
γ |
α=αk |
(11.6) |
||||||
|
α |
ε +0 |
|
|
ε|α=α |
|
||||
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
||
Это число, очевидно, кратно π. Поделив его на π/2 получим целое число |
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Ind(γσk→σj ) = |
|
|
∆(γσk→σj ). |
(11.7) |
||||||
π |
которое назовем индексом пути γσk→σj . Подчеркнем, что мы определяем его только для путей, начинающихся и кончающихся только в неособых точках. Понятно, что это индекс может изменяется только на целое число, при этом, чтобы такое изменение
произошло, путь должен пройти через особые точки. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Добавляя |
|
ê |
(7.5) |
согласно |
формуле |
|
(7.4) |
приращение |
|||||||||
limε→+0 Arg det CεIj (α, η)|ηη=0=π/2, получим число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
γ |
|
|
lim |
|
|
j |
|
lim |
|
|
|
|
αj, η |
|
η=π/2. |
|
I |
k |
j |
|
|
α=αk |
|
|
|
I |
( |
|
(11.8) |
|||||
∆ ( |
|
σ |
→σ |
) = ε→+0 ArgγJε|α=α |
+ ε→+0 Arg detCε |
|
)|η=0 |
|
|||||||||
Это число, очевидно, также кратно π. Поделив его на π/2 получим целое число |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
Ind(γ |
|
|
Ij ) = |
2 |
∆Ij (γ |
|
|
Ij ). |
|
|
|
|
(11.9) |
|
|
|
|
k |
→Ω |
|
k |
→Ω |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
σ |
|
π |
α |
|
|
|
|
|
|
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
42
Пусть в карте ΩIj имеется две точки неособые точки σj è σ˜j è ïóòü γ приходит в точ- ку σj, проходя через точку σ˜j, причем его участок между σ˜j è σj целиком лежит в
карте ΩIj . Тогда, используя непрерывность аргумента якобиана Arg JIε можно показать, что число (7.7) одно и тоже для точек σj è σ˜j. Поэтому его можно назвать индексом
карты ΩIj вдоль пути 1 γαk→ΩIj . Это число с точностью до 4k совпадает с индексом цепочки карт (4.3), введенное в Ÿ4. , и тем самым его можно использовать в качестве эквивалентного определения индекса Маслова. Заметим, что из формулы (7.8) следует корректность определения индекса, в том смысле, что это число по mod4 не зависит
от выбора покрытия картами пути γ. В силу непрерывности функции detCIε(α, η) è
целочисленности индекса (7.8), индекс является гомотопическим инвариантом-не изменяется при непрерывной деформации на Λn ïóòè γ. Тем самым приведенные выше
формулы дают "относительное"определение индекса неособых точек и Ij-особых êàðò.
Заметим теперь, что путь γcl можно выбрать и замкнутым. Пусть такой путь начи- нается и кончается в точке σ′ Тогда ему можно сопоставить число
2
Ind(γcl) = π ∆(γσ′→σ′),
которое называется индексом Маслова замкнутого пути. Очевидно, это есть целое число, при этом в его определении в силу непрерывности функции ArgJε(α) по совокупности переменных α è ε > 0, число ε не обязательно устремлять к нулю (7.8) от ε íå
зависит. Поэтому мы можем положить
Ind(γcl) = |
2 |
∆γcl Arg(C − iB) |
(11.10) 7.8 |
π |
Этот факт полезно иметь в виду при решении конкретных задач. Поскольку индекс есть
гомотопический инвариант, то, очевидно индекс замкнутого пути, стягиваемого в точ- ку с помощью непрерывной деформации по Λn (такие пути называются гомотопными
точке), равен нулю. Это, вообще говоря, не так для путей не стягиваемых в точку.
Таким образом, для того чтобы придать индексу Маслова в любой неособой точке αj è â Ij-карте "абсолютное"значение, следует зафиксировать некоторую начальную
неособую точку α0 и класс гомотопных путей на Λn, соединяющих α0 è αj и карту ΩIj .
"Унифицированное"определение канонического оператора. Теперь мы можем дать "унифицированное"определение канонического оператора (безотносительно динамики). По-существу все требуемые объекты для его определения уже были введены, для удобства мы соберем здесь их все вместе, и по ходу их упоминания будем их нумеровать.
Итак, пусть имеется
1) n- мерное лагранжево многообразие Λn, возможно компактное, с глобальными координатами α = (α1 . . . αn). При необходимости будем считать, что некоторые (или
äàæå âñå) αj определяют координаты на единичной окружности, так что точки с координатами αj è αj′ 2π отождествляются. Далее пусть на Λn задана
2)гладкая финитная (если Λn не неограничено) функция φ(α) è
3)центральная (неособая) точка σ0. Канонический оператор K(Λn, σ0), переводит
функцию φ(α) в функцию ψ(x) в конфигурационном пространстве Rnx и определяется следующим образом (эквивалентным (6.4)).
1Оно существует и для случая, когда путь сжимается в точку, тогда j !ΩIj просто определяет согласование аргументов якобианов J è JIj .
43
4)Построим некоторое покрытие (канонический атлас) многообразия Λn картами {ΩIj } и некоторое, соответствующее ему
5)разбиение единицы {ej(α)} (то есть набор гладких неотрицательных функций равных нулю вне карты ΩIj и в сумме составляющих 1; см. Ÿ7). В каждой карте опре-
делим
6) якобиан 2 JIj = det . Поскольку в карте ΩIj якобиан JIj отличен от нуля, то в
ней разрешимо уравнение
XI (α) = xI .
Если решение этого уравнения не единственно (определено с точностью до периодов),
òî
7) мы фиксируем какое-нибудь и обозначаем α(xIj ). Зафиксируем в центральной
точкой точке аргумент якобиана J(α0). Поскольку якобиан Jε(α0)-непрерывная функция, то тем самым мы фиксируем ветвь ArgJε(α0) как функции параметра ε ≥ 0. Соединим центральную точку alpha0 с каждой картой ΩIj некоторым путем γαk→ΩIj .
8)Множество выбранных и фиксированных путей обозначим Γ. Тем самым по формуле (7.8) мы определим в каждой карте ΩIj
9)индекс карты (см. (7.8))
|
|
|
IndΓ(ΩIj ) = Ind(γ |
k |
→Ω |
Ij ). |
|
(11.11) |
7.9 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пути из множества Γ задают в каждой карте ΩIj |
также и (согласованный с индексами) |
|
|||||||||||||||
выбор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10) действия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s(α) = ∫σ0 |
P dX. |
|
|
|
|||||||
Ясно, что в последнем интеграле существенным является выбор пути интегрирования |
|
||||||||||||||||
до карты ΩIj , внутри карты выбор пути интегрирования не играет роли в силу свойства |
|
||||||||||||||||
лагранжевости Λn. Разумеется, выбор пути оказывается не существенным для опреде- |
|
||||||||||||||||
ления как действия, так индекса, если любой замкнутый путь на Λn можно стянуть в |
|
||||||||||||||||
точку (иначе говоря, если любой замкнутый путь на (Λn) гомотопен точке или группа |
|
||||||||||||||||
гомологий Π1(Λn) тривиальна). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Как и раньше, обозначим обратное частичное h преобразование Фурье от перемен- |
|
||||||||||||||||
¯ |
¯ |
|
−h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
íûõ pˇIj к переменным xˇIj через |
|
и скалярное произведение векторов с компонен- |
|
||||||||||||||
тами, задаваемыми наборами ¯ |
FxI →x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ляется формулой |
|
|
|
Ij, через < ·, · >I¯. Тогда канонический оператор опреде- |
|
||||||||||||
|
K(Λn, σ0)[φ(α)] = ∑j |
|
|
iπ |
IndΓ(ΩIj )}× |
|
|
|
|||||||||
|
exp{− |
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
(11.12) |
|
|||||||||||||
|
|
7.10 |
|||||||||||||||
|
|
φ(α)ej(α) |
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
−h |
|
|
i |
(∫α0 P dX |
|
|
|
¯ |
I |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
FxI →x |
[√|JIj (α)|exp{h |
− X(α), p I )}]α=αj(x |
j ). |
|
Формула (7.10) определяет функцию, которая, зависит от центральной точки σ0, è вообще говоря, зависит от от выбора карт ΩIj , множества путей Γ и разбиения единицы {ej(α)}. Требование выполнения условий квантования (6.6) как мы уже отмечали ранее,
2Заметим, что координаты на n задают меру D, è JIj = DXI
D .
44
снимает с точностью до o(1) ïðè h → +0 зависимость функции (7.10) от трех послед-
них объектов. Выполнения этих условий мы и будем требовать в дальнейшем. Заметим
только, что выполнения условий квантования достаточно установить лишь для набора базисных циклов (замкнутых путей) на Λn. Их количество называется числом Бетти
многообразия Λn. Эти вопросы и их связь, как мы уже отмечали, с так называемы-
ми волнами захвата, а также разные полезные свойства и применение канонического оператора к начальным и спектральным о волнах на воде задачам мы подробно будем обсуждать в последующих частях работы.
12.Представления быстроубывающих функций каноническим оператором Маслова
Пусть h малый |
положительный параметр, а |
V (y), y R |
2 гладкая функция, убываю- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
∂V |
убывают как 1/|y| |
k+1. |
|||||
щая на бесконечности как 1/|y| |
|
|
, k ≥ 2, причем производные |
∂yj |
|
|||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
˜ |
|
Функция V (µ ) локализована в окрестности нуля. Обозначим через V (p) ее преобразо- |
||||||||||||||||
вание Фурье: |
|
|
|
|
|
1 |
|
∫Ryn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V˜ (p) = |
|
e−i p,y V (y)dy. |
|
(12.1) |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
n |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(2π) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь ·, -вещественное скалярное произведение. Тогда справедлива формула |
|
|||||||||||||||
|
V ( |
x |
) = |
|
1 |
∫Rpn |
e |
i |
p,x V˜ (p)dp. |
|
(12.2) |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
n |
|
|||||||||||||
|
|
h |
|
|
(2π) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
Функция V (x ) быстро убывает при вне малой окрестности точки x = 0. Èìåÿ â |
|
âèäó |
h |
|
Four2 |
изучение асимптотических решений задачи Коши с начальными данными вида ( |
|
12.2) |
|
для уравнений в частных производных выражение в правой части можно записать в ви- |
||
|
|
MasFed |
|
|
µ |
де канонического оператора Маслова [?] KΛ на лагранжевом многообразии (плоскости) |
||
Λ0 = {p = α, x = 0, | α R |
n |
˜ |
|
} действующим функцию V (α) (íà Λδ): |
Four1
Four2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
h n |
h |
˜ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
(12.3) |
CO1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V ( ) = ( |
) |
|
KΛ0 |
[V (α)]. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Мы полагаем здесь и всюду ниже √i = ei4 .Последнее равенство легко следует из опре- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
деления канонического оператора с учетом того, что (a) на Λ2 действие |
p, dx = 0; (b) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
все точки на |
Λδ |
- фокальные и бесконечно вырождены, так что |
покрывается одной |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c координатами |
|
|
|
|
|
|
|
|
; (c) якобиан |
Λδ ∂p |
∫ |
|
|
. Функция |
|||||||||||||
фокальной картой |
x = 0 |
(p1, . . . , pn) |
det ∂α |
|Λ |
≡ 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
V |
x |
/µ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+0 ôóíê- |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
определяет некоторую δ |
|
|
|
|
образную последовательность: при µ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
(µ ) |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
−− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
CO1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
öèÿ V (hx )/hn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
δ − − образнойCO1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
→ δ(x) |
Rn V (y)dy, ãäå δ(x) функции Дирака, и правая часть в ( |
|
12.3) åñòü |
||||||||||||||||||||||||||||||||
интегральное представление для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
последовательности. По этой причине |
|||||||||||||||||||||||
лагранжево многообразие Λδ в представлении |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
(12.3) такое же, как в формуле |
äëÿ îä- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ного из представлений δ − − функции через канонический оператор Маслова |
MasFed |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
[?]. Такое |
представление хорошо работает при изучении локализованных решений в случае, кода символ (гамильтониан) H изучаемого дифференциального уравнения-гладкая функ-
ция, например в случае уравнения Шредингера: тогда H = p2/2 + v(x).
45
13.Задача Коши
Пусть ˆ |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
псевдодифференциальный оператор |
|||||||||
|
|
L = L(x, −ih∂/∂x)- дифференциальный или |
|
2 |
). |
|
|
|
|||||||
со (скалярным) символом L(p, x, h) = L0(p, x) + hL(p, x) + O(h |
|
|
|
||||||||||||
|
|
Рассмотрим для уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
∂Φ |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ih |
|
= L(x, −ih∂/∂x)Φ |
|
|
|
|
(13.1) |
|||
|
|
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
||||||
задачу Коши |
|
|
|
Φ|t=0 = KΛh0 [A0]. |
|
|
|
|
|
||||||
Здесь Kh |
|
|
|
|
|
|
p = P 0 |
(13.2) |
|||||||
|
оператор на начальном многообразии Λ0 = |
{ |
(α), x = |
||||||||||||
X |
0 |
(α)} |
Λ0 канонический |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
с отмеченной точкой α |
, действующий на функцию A |
(α). Гамильтонианом H |
назовем функцию L0(p, x). Эта функция порождает каноническое преобразование (фа- зовый поток) gHt , которое, в свою очередь порождает семейство Λt = gHt Λ0 = {p = P (t, α), x = X(t, α)}. Построим на Λt функцию
A = A0(α) exp ∫ t(1trHpx − iL1)(P(α, τ), X(α, τ), τ))dτ.
0 2
Отмеченная точка p = P 0(α0), x = X0(α0) с координатой α0 íà Λ0 порождает отмечен- ную точку p = P (t, α0), x = X0(t, α0) с координатой α0 траекторию p = P (t, α0), x =
X0(t, α0). Будем считать, что точка p = P (t, α0), x = X0(t, α0) неособая. Считая, что индекс Маслова точки p = P 0(α0), x = X0(α0) равен нулю, найдем индекс ind(t, α0)
0 |
0 |
0 |
правилу приращения аргумента |
C − iεB |
, далее вычислим |
|||||||||||||
p = P (t, α ), x = X (t, α ) ïî |
||||||||||||||||||
0 |
), x = X |
0 |
0 |
): |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
действие траектории p = P (t, α |
|
(t, α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
s(t, α0) = ∫0 t(pHh − H)(P (α0, τ), X(α0, τ))dτ. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Положим |
|
|
|
|
|
|
s(t; 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Φ = e− 2 ind(t,α0)+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Kh [A]. |
|
(13.3) |
|||||||||||
|
|
|
|
h |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Λ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 1. Функция Φ есть асимптотическое решение задачи Коши |
|
EvEq1 |
|
|
EvEq2 |
|
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
(13.1), |
|
(13.2). |
Вопрос теперь сводится к нахождению Λ0 è A0, соответствующих разумным началь-
ным функциям. Приведем два класса таких функций. a Быстроосциллирующий пакет волн
|
Φ|t=0 = e |
i |
S0(x)A0(x). |
(13.4) |
|||||||
|
h |
||||||||||
Здесь S0(x), A0(x) гладкие функции, A0(x) финитная. В этом случае |
|
||||||||||
Λ0 = {p = P 0(α) = |
∂S0(α) |
, x = X0(α) = α}, A0 = A(α). |
|
||||||||
∂x |
|
||||||||||
b. Сильнолокализованный пакет волн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Φ |
= V (x − ξ ) = (h) 2 |
Kh [V˜ (α)]. |
(13.5) |
||||||||
|t=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
i |
Λ0 |
|
EvEq1
EvEq2
EvEq3
EvEq4
EvEq5
46
˜
Здесь V (y) гладкая убывающая на бесконечности функция, V ее (обычное) преобразование Фурье. В этом случае
|
|
|
|
0 |
(α) = α, x = X |
0 |
= ξ}, A |
0 |
˜ |
||||
|
|
|
Λ0 = {p = P |
|
|
|
= V (α). |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EvEq4 |
|
EvEq5 |
|
|
Задачи: построить решения задачи Коши ( |
13.4),(14.1) äëÿ L = p2/2, L = p2/2 + |
||||||||||||
ω2x2/ , L |
= |
p2/2+βx, L = p2/2 |
− |
ω2x2/2, L = p3/3+βp, L = p4/4+βp2/2,L = p2/2+β cos x, |
|||||||||
2 |
2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
L = p2/2 + βe−γx |
/2, L = p2/2 + ϑ(x)xβe−1/x |
|
|
|
|
|
|
|
14.Связанные состояния.
Пусть L = H = p2/2 + V (x) и потенциал V (x) имеет потенциальную яму. Тогда у гамильтоновой системы имеются замкнутые траектории (P (t+α, E), X(t+α, E), H|Λ = E. Они определяют инвариантные кривые Λ(E) = {p = P (α, E), x = X(α, E)}. Потребуем выполнения условия квантования Бора-Зоммерфельда на Λ. Это даст значения Eν .
Положим A = 1 и построим на Λ(Eν ) канонический оператор Kh |
[1]. |
|
|
||
|
|
Λ(E ) |
|
|
|
Теорема 2. Функции Kh |
[1] и числа Eν суть асимптотические решение задачи |
||||
Λ(E ) |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
L(x, −ih∂/∂x)Φ = EΦ. |
(14.1) |
|
EvEq5 |
Задачи: построить решения задач c V = ω2x2/2, V = X3/3 − βx, V = qx4/4
47