Groups-3

Отображение T (4) группы G в матричную группу ", реализованное этими (n+m) (n+m) матрицами очевидно является гомоморфизмом:

30

3.7Приводимые и неприводимые представления

Преобразование подобия с некоторой фиксированной (n+m) (n+m) матрицей A, приме - ненной к матрицам T (4) (17),дает эквивалентное (n+m)-мерное представление,которое однако уже не будет иметь блочного-диагонального вида(17).Например,перестановка строк и столбцов является преобразованием подобия , при этом очевидно блочно - диагональная структура(17)будет нарушена.

С другой стороны,для некоторого заданного матричного представления,можно попытаться найти преобразование подобия,которое приводит данное представление к блочнодиагональному виду и тем самым разбить это представление в сумму двух представлений. Однако,такую обратную процедуру сделать не всегда удается.Тем самым мы приходим к следующему определению .

Определение17 Представление,которое преобразованием подобия может быть приведено к блочно-диагональному виду(17),называется вполне приводимым.Если матричное представление группы G преобразованием подобия приводится к виду

то представление называется приводимым.Если таких преобразований подобия не существует,то представление называется неприводимым.

Свойство гомоморфизма: T (g1)T (g2) = T (g1g2) для представления(18)требует выполнения тождеств

торов (¯x, y¯) ! (¯x0, y¯0) (где x,¯ x¯0 2 Vn и y,¯ y¯0 2 Vm),а само преобразование с матрицами(18), для координат этих векторов,имеет вид

x0i = xjTji(1)(g), ya0 = ybTba(2)(g) + xjXja(g).

31

Из вида этого преобразования следует(необходимо положить равными нулю все координаты xi),что подпространства Vm Vn+m преобразуется само через себя,то есть инвариантным подпространством при всех преобразованиях вида(18),соответствующих разным элементам g группы G.Наличие(или отсутствие)инвариантных подпространств для данного представления является эквивалентным,важным критерием приводимости(или неприводимости)этого представления.

Очевидно,что n-мерные матрицы T (1)(g) реализуют представление группы G меньшей размерности чем T (g). То есть , если матричное представление приводимо , то из него всегда можно выделить представление меньшей размерности.

Важно иметь конструктивный критерий приводимости или неприводимости представлений.Такой критерий дается леммой Шура.

Утверждение8 Лемма Шура.

1.Матрица A 6= 0, коммутирующая со всеми элементами группы G в неприводи - мым матричном представлении T : T (g)A = AT (g) (8g 2 G), кратна единичной матрице,то есть A = λI (λ 6= 0).

2.Пусть T (1) : G ! GL(n) и T (2) : G ! GL(m) – два неэквивалентных неприводимых представлений группы G n- и m-мерных векторных пространствах Vn, Vm, и A

линейное отображение Vn ! Vm такое,что 8g 2 G мы имеем T (1)A = AT (2) (если n 6= m, то A представляется прямоугольной m n матрицей),тогда A = 0.

Док-во. 1.Матрица A, коммутирующая со всеми матрицами T (g) (8g 2 G), действую - щими в векторном пространстве V, где T (g) неприводимое представление,является невырожденной матрицей.Иначе,пусть вектора x¯ 2 V такие,что xA¯ = 0. Очевидно , что эти вектора образуют линейное подпространство,которое мы обозначим Ker(A).Из условия T (g)A = AT (g) следует,что xT¯ (g)A = xAT¯ (g) = 0. Таким образом , еслиx¯ 2 Ker(A), то xT¯ (g) 2 Ker(A) (8g 2 G), то есть Ker(A) является инвариантным подпространством в V (случай Ker(A) = V, когда подпространство Ker(A) совпадает со всем пространством V, исключается,так как в этом случае A = 0) и , следовательно , представлениеT (g) приводимо,что противоречит условиям Леммы.Таким образом,мы получили,что A невырождена и Ker(A) = ;.

32

Далее,пусть λ 6= 0 является собственным значением матрицы A с собственными векторами v¯, образующими подпространство Ker(A−λI) 2 V. Тогда , из условияvT¯ (g)(A−λI) = v¯(A − λI)T (g) = 0 (8g 2 G), следует , что либоKer(A − λI) является инвариантным подпространством и следовательно представление приводимо(а это противоречит условиям

ется инвариантным подпространством в Vm.Действительно, 8x 2 Vm и 8g 2 G мы имеем xAT¯ (2)(g) = xT¯ (1)(g)A, то есть Img(A)T (2)(g) Img(A).Из неприводимости представлений T (1) и T (2) (и A 6= 0) следует , чтоKer(A) = ; и Img(A) = Vm и,следовательно,

Следствие1 Из Леммы Шура следует,что если существует ненулевая матрица A 6= λI, такая , чтоT (g)A = AT (g) (8g 2 G), то представление T приводимо.

Следствие2 Другим следствием Леммы Шура является то,что все неприводимые конечномерные представления абелевой(коммутативной)группы G – одномерны . Дей - ствительно,для любого представления T такой группы и 8g, h 2 G мы имеем T (g)T (h) = T (h)T (g). Пусть T – неприводимо . При фиксированномh оператор T (h) коммутирует со всеми T (g) и в силу неприводимости T мы имеем(Лемма Шура): T (h) = λ(h)I, где λ(h) скалярная функция,а I единичная матрица.Аналогично,фиксируя любой другой элемент h 2 G мы получаем,что представление T неприводимо только если T (h) = λ(h)I (8h 2 G), а это значит , что оно одномерно .

Пример.Группа Z3. Регулярное представление T (R) этой группы определяется соотношениями

g1 · (e, g1, g2) = (g1, g2, e) = (e, g1, g2)T (R)(g1), g2 · (e, g1, g2) = (g2, e, g1) = (e, g1, g2)T (R)(g2)

33

Так как группа Z3 абелева,то очевидно существует не единичная матрица(например

T (R)(g1) или T (R)(g2)) которая коммутирует со всеми матрицами этого представления . Та - ким образом,согласно Лемме Шура,это представление приводимо.Действительно рассмотрим матрицу

Таким образом,регулярное представление этой группы приводимо и оно является прямой суммой трех одномерных неприводимых представлений

T (R) = I " "

тривиального представления I(Z3) (I(gk) = 1);точного представления "(Z3):

"(e) = 1, "(g1) = q, "(g2) = q2;

34

и комплексно сопряженного представления " (Z3):

" (e) = 1, " (g1) = q2, " (g2) = q.

Для одномерных представлений T (g) = χT (g) и таблица характеров для представлений группы Z3 строится следующим образом

"(Z3) χ! = 1 χ! = q χ! = q2 " (Z3) χ! = 1 χ! = q2 χ! = q T (R)(Z3) χR = 3 χR = 0 χR = 0

Первые3строки этой таблицы дают значения характеров регулярного представления,так как при прямой сумме представлений их характеры складываются: χR = χI + χ! + χ! . C другой стороны легко увидеть,что прямые произведения этих представлений,получаются снова одномерные неприводимые представления:

I(Z3) "(Z3) = " (Z3), I(Z3) " (Z3) = " (Z3)

"(Z3) "(Z3) = " (Z3), "(Z3) " (Z3) = I(Z3), " (Z3) " (Z3) = " (Z3),

(так как χ!χ! = χ! , χ!χ! = χI , χ! χ! = χ!.)Отождествляя тривиальное представление I(Z3) cединичным элементом,получаем абелеву группу Z3 (изоморфную Z3) с элементами -неприводимыми представлениями {I(Z3), "(Z3), " (Z3)} и умножением . Относительно этого умножения представления "(Z3) и " (Z3)} взаимно обратны.Группа Z3 неприводимых представлений Z3,называется дуальной группой к группе Z3. В силу результата Л.С.Понтрягина для абелевых групп,дуальная группа всегда изоморфна исходной.Для неабелевых групп это не так.

35