FunkAn (2)

F íà Lp(Ω) , ÷òî

∫Ω f(x)φ(x)dx φ Lp(Ω);

F, φ =

(6.2)

справедливо (6.2);

F

f

Lq является изометрическим изоморфизмом банаховых

3) соответствие I : (Lp)′

7→

пространств, т.е. отображение

I линейно, биективно и IF q = F p′ .

Утверждение 1), также как и оценка

F p′ ≤ f q , очевидны при p = 1 . Ïðè p > 1 нужно исполь-

Определение 6.3 Пространством производных по Соболеву назовем пространство функционалов ви-

äà ∑|α|<∞ ∂αuα , ãäå α мультииндекс, а

u Lloc1 (Ω) , снабженное операцией умножения по формуле

a∂αu : C0∞(Ω) φ 7→(−1)|α| ∫Ω u(x)∂α(a(x)φ(x))dx C .

(6.3)

Это пространство будем обозначать через

D (Ω) .

16.1. Теорема. Пусть {φj} последовательность функций

φj C0∞(Ω) . Тогда эквивалентны следу-

ющие два условия:

1◦ . f, φj → 0 ïðè j → ∞ f D ;

K

j ;

2◦ . а) существует компакт

K

Ω , ÷òî suppφj

b) max

x Ω

|

∂αφ (x)

| →

0 ïðè

j

→ ∞

α .

j

→ 1◦

очевидна. Обратное утверждение вытекает из лемм 6.1 6.4.

Импликация 2◦

Лемма 6.1

α

Cα

, такое, что

max

φ(α)(x)

| ≤ Cα

j .

x

Ω |

j

φj(α) : L1(Ω)

f 7→

f(x)∂αφj(x)dx,

j

≥

1,

∫Ω

определенных на пространстве L1(Ω) . Функционалы

φj(α)

очевидно линейны и непрерывны, т.е. (по

теореме Ф.Рисса) φj(α) L∞ . Согласно условию

1◦ ,

φj(α), f → 0

ïðè j → ∞ f L1 . Поэтому, в

Лемма 6.3

Существует такой компакт K Ω , ÷òî suppφj K j .

Лемма 6.4

α ε > 0 x0 Ω λ

ν ≥ 1 , такие, что |φj(α)(x)| < ε ïðè |x − x0| < λ è j ≥ ν .

Предположим противное. Тогда

α ε0 > 0

x0 Ω , такие,что для любого j xj {x Ω |

|x − x0| < 1/j} , такое, что выполнено неравенство

|φj(α)(xj)| ≥ ε0 . Но с другой стороны,

Пусть X è Y банаховы пространства, A L(X, Y ) . Åñëè KerA = 0 , òî A−1 : ImA → X .

Задача 6.6 Привести пример, когда оператор

A−1

не является непрерывным.

Теорема Банаха об обратном операторе утверждает, что A−1 будет непрерывным, если

ImA = Y (см., например, учебник [КФ] Колмогорова и Фомина).

Вот полезное следствие этой теоремы Банаха.

Теорема 6.3 Пусть A L(X, Y ) и пусть27 dim(Y/KerA) < ∞ . Тогда ImA замкнут в Y .

По условию

dim Y/ImA < ∞

. Поэтому

˙

(пpямая сумма линейных пространств),

Y = ImA+L

ãäå dim L < ∞, и потому

L , снабженное нормой

· L

есть банахово пространство. Рассмотрим

оператор

A1

, действующий из банахова28

X1

= X/KerA × L

в банахово

˙

по формуле:

Y = ImA+L

A1({x}, l) = Ax + l . Обратный к A1 существует, ибо

A1 имеет нулевое ядро. Нетрудно проверить, что

оператор A1

непрерывен. Он действует на . По теореме Банаха об обратном операторе, оператор A1−1

непрерывен. Остается заметить, что

ImA есть прообраз замкнутого множества

X/KerA × {0} X1

при непрерывном отображении A−1

: Y = ImA+˙ L

→

X/KerA

×

L.

1

27Фактор-пространство

X/X0

линейного пространства

X по линейному подпространству X

0

X это есть линейное

x,

в котором нулевым элементом

X0,

à

пространство так называемых классов смежности

0 считается пространство

любой другой элемент

x X/X0

есть сдвиг

0 = X0

на некоторое

x X

или любое другое

′

X,

но только такое,

x

3

для которого x′

x

X0. Так например, два вектора (x1, x2

, x3)

è x′

, x′

, x′

)

èç

координатного пространства

X =

e

R

−

e

1

2

3

представляют один и тот же элемент в X/X0,

ãäå

X0

=

(0, 0, a)

a

,

тогда и только тогда, когда

(x′

, x′ ) = (x1, x2).

e

{

|

R

e

}

1

2

Иными словами,

′

′

′

Вот другой пример:

1

это линейное пространство классов

(x1

, x2

, x3) − (x1, x2, x3) X0.

ãäå

φ

C[0, 1]/C

[0, 1]

C

1

[0, 1]. Åñëè

0 < a < b < 1,

à

непрерывных функций

x,

представимых в виде x + φ,

любая функция из

xa(t) = |t−a|, xb(t) = |t−b|, то предположив, что линейная комбинация элементов

è xb равна нулю в

1

xa

C[0, 1]/C

1[0, 1] ,

иначе говоря,

λaxa

+ λ x

= 0 , получим: λ

= λ

b

= 0,

т.е. элементы

x

a

è

x

b

линейно независимы в

C[0, 1]/C [0, 1] .

beb

a

e

e

Отсюда следует, что

dim C[0, 1]/C1[0, 1] =

∞

.

28Норма в прямом произведении

задается формулой:

( x , l) X1

=

x

X=KerA + l L

, ãäå

x X=KerA =

e

e

e

X/KerA L

(

)

×

{ }

{ }

{ }

infa KerA x + a X

есть норма, вводимая в фактор-пространство

X/KerA классов смежности {x} = x + {0} линейного

Определение 6.4 Говорят, что множества A è B отделимы в нормированном пространстве

X ,

если существует ненулевой функционал x′ X′ = L(X, R), для которого

α

≤

β ,

ãäå

α = sup

x′, a

,

β = inf

x′, b

.

(6.4)

a A

b B

Åñëè α < β, то говорят, что множества

A è B строго отделимы.

Еще одним следствием теоремы 6.4 является

Теорема 6.5 (Хана Банаха) 29 Пусть X нормированное пространство, а X0

X åãî çà-

функционал f

X′. Тогда найдется функция x

Lp(0, 1),

для которой ϱ(x, 0) = 1 è

f, x = a > 0.

s

|x(t)|p dt . Возьмем разбиение

Пусть φ(s) =

0

0 < s1 <

. . . < sn < 1 отрезка [0, 1] так, чтобы

φ(s

= 1/n . Заметим, что

x = y1 + . . . + yn,

ãäå

yk

(t) = x(t)

ïðè

t [sk−1, sk]

è

yk(t) = 0

âíå

r) −φ(sr−1)

∫

(

)

σ [0, 1] è z1, z2 Z .

F σz1 + (1 − σ)z2 ≤ σF (z1) + (1 − σ)F (z2)

(8.1)

Очевидно выпуклость F

равносильна выпуклости надграфика F, которым является множество

def

epi (F ) = {(x, a) X × R | F (x) ≤ a }.

(8.2)

lp , ãäå

, является нормированное пространство последовательностей (x

, . . . , x

, . . .) с нормой

x

= sup

k |

x

k|

.

0 < p < 1

p и сопряженным к

l

p ïðè

1

n

Такое разительное отличие между сопряженным к L

0 < p < 1 связано с тем, что выпуклая

оболочка единичного шара lp есть единичный шар в

l1 , а выпуклая оболочка единичного шара в Lp всего лишь плотна

в единичном шаре пространства L1 .

Åñëè

F (

z

+ z

) <

F (z

) + F (z

)

1

2

1

2

z1, z2

Z ,

(8.3)

2

2

то функционал F называется строго выпуклым.

Предложение 8.1 Пусть

Z нормированное пространство,

l : Z z 7→l(z) линейная форма.

Åñëè a : Z × Z (z1, z2) 7→a(z1, z2)

симметричная неотрицательна (т.е. a(z, z) ≥ 0 ) билинейная

форма, то

F : z 7→F (z) = a(z, z) + l(z) выпуклый. Если сверх того, форма

a(z, z) положительно

определенная (т.е. a(z, z) ≥ C z 2,

C > 0 ), òî

F

строго выпуклый функционал.

Имеем

F (σz1 + (1 − σ)z2)= [σ2a(z1 , z1) + 2σ(1 − σ)a(z1 , z2) + (1 − σ)2a(z2 , z2)]+[σl(z1) + (1 − σ)l(z2)] ,

Поэтому

[σF (z1) + (1 − σ)F (z2)]= [σa(z1 , z1) + (1 − σ)a(z2 , z2)]+[σl(z1) + (1 − σ)l(z2)] .

F (σz1 + (1 − σ)z2)−[σF (z1) + (1 − σ)F (z2)]= σ(1 − σ)B(z1 , z2) ,

ãäå

B(z1 , z2) = 2a(z1 , z2)

−

a(z1 , z1) + a(z2 , z2)

≥ 0 ,

åñëè

a(z, z) ≥ 0 ,

[

]

{ > 0 ,

åñëè

a(z1 − z2, z1 − z2) ≥ C z1 − z2 2 > 0 .

Пример 8.1

def

1

2

(t) dt.

F (u) =

0

u

def

∫1

u2(t) dt → inf, ãäå

z = (x, u) K Z, à

Z = H 2(0, 1) × H(0, 1),

Задача 8.1

F (z)

=

0

причем

K =

{

(x, u)

Z

|

Φ(x,∫u)

def

A(x)

−

u = 0, A(x)

def

x¨ + 2x˙ + x ,

x(0) = x(1) = 0, x˙ (0)

−

1 = 0

}

. Ïðè

=

=

K

∫

1

[(

)

]

Z

C

Заметим, что

[0, 1] × C[0, 1],

def

xφ¨ −

2xφ˙ + xφ −uφ

dt = 0 для любой φ C0∞(0, 1).

ýòîì, x¨ + 2x˙ + x = u

0

замкнутое выпуклое подмножество в

(êàê â

2

òàê è â

Определение 8.1 Функционал F : z 7→F (z) R называется коэрцитивным, если так называемое

множество Лебега

def

Lα(F )

= {z Z | F (z) ≤ α }

(8.4)

ограничено (и не пусто) для некоторого α

R.

если последовательность

{zk}k N

такова, что lim F

inf F (z) , òî

z

k ≤

const

k . (8.5)

k

→∞

(zk) = z

K

для любой последовательности

def

lim

inf

X

(8.6)

xnb , которая сходится к

x

сильно, иначе говоря, по норме

F (x) ≤ limF (xn) =

n

→∞

k

≥

n F (xk) ,

b

{

}

(ò.å. xn − x → 0) или, соответственно, слабо (т.е. f(xn) → f(x) f X ).

b

b

1

Отметим еще, что (очевидно) непрерывный на L2(0, 1)

функционал F : u 7→ u2 dt не является непре-

0

2

0

рывным относительно слабой сходимости в

Действительно, легко видеть, что после-

H (0, 1) = L (0, 1).

1

∫

∫

довательность {sin nt}n N слабо сходится к нулю в

L2(0, 1),

1

sin2 nt dt → 1/2. Однако (как вскоре

íî

0

будет показано) функционал

u 7→ u2 dt

полунепрерывен снизу

относительно слабой сходимости в

0

L2(0, 1).

∫

Предложение 8.2 Эквивалентны следующие три условия:

1) функционал

F : X → R полунепрерывен снизу;

def

{x

X | F (x) ≤ α } замкнуто относительно

2) для любого

α R лебегово множество

Lα(F )

=

соответствующей сходимости;

3) относительно соответствующей сходимости замкнут надграфик

F.

1) 2). Пусть xn Lα(F )

è xn

сходится к x (относительно соответствующей сходимости). Тогда

(8.6)

сходится к

x (относительно соответствующей сходи-

b2) 3). Пусть

(xn, an) epi F ,bпричем xn

F (x) ≤ limF (xn) ≤

α. Тем самым,

x Lα(F ).

b

относительно

b

b

x La+ε(F ),

F (x) ≤ a + ε,

b

мости) и

an

→ a. Если предположить, что условие 3) не выполнено, то найдется такое ε > 0, ÷òî

F (x) > a + ε ≥ an ≥ F (xn).

Имеем:

xn La+ε(F ), а согласно

условию 2), множество

La+ε(F )

замкнуто

b

соответствующей сходимости. Значит,

b

b

ò.å.

b

b

что противоречит

установленному выше неравенству

a + ε < F (x).

b b

замкнуто, согласно 3), то

F (x) ≤ b =blimF (xn) = limF (xn).

, F (x ))

epi F , а множество epi F

3)

1). Пусть

(xn, F (xn)) → (bx, b)

epi F . Поскольку (x

n

b

n

Пространства C

k

(Ω) â

b

Wp(Ω),

1 < p <

отличие от пространств Соболева

ãäå

∞

, не рефлексивны32,

но именно для рефлексивного пространства

X справедлива

F (x) → inf, x K

(8.7)

Теорема 8.2 Пусть X рефлексивное банахово пространство, а последовательность

{xn} åãî ýëå-

ментов слабо сходится к

xb

X.

Тогда существует такая последовательность элементов

n

n

∑

αj,n ≥ 0 ,

∑j

αj,n = 1

yn =

αj,nxj,

j=1

=1

в виде выпуклых комбинаций исходной последовательности

{xn} , ÷òî yn − x → 0.

Если предположить, что теорема не верна, то тогда

b

не принадлежит

x

т.е. замыканию вы-

32

{xn}.

co{bn},

x

x

пуклых оболочек множества

В этом случае, согласно следствию 6.1 (теоремы об отделимости),

b

Функциональный анализ) банахово

X. Согласно теореме Эберлейна Шмульяна (см., например, К. Иосида

Говорят, что банахово пространство

X рефлексивно, åñëè

(X′)′ = X, т.е. сопряженное к X′

= L(X, R) совпадает с

пространство

X рефлексивно тогда и только тогда, когда из всякой его ограниченной последовательности

{xn} ( xn ≤ const ) можно

выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность {xnk } , т.е. существует такой элемент

x X, ÷òî

f(xnk ) → f(x)

x + y

(1

δ) для любых x, y

B1,

B1 = {x ≤ 1}

x

y

ε),

X

b

b

для любого

f

X′. Если единичный шар

â

X

равномерно выпуклый (т.е. ε > 0 δ(ε) > 0,

÷òî

≤

−

подчиненных условию

−

≥

òî

рефлексивно (теорема Мильмана).

sup

x′, x

<

x′, x

ε

yn co{xn}

lim

x′, y

x′, x .

x

b −

n→∞

n ̸→

b

co{xn}

Но это противоречит условию теоремы, согласно которому

x′, xj

x′, x ,

что влечет

n

n

→

b

b

∑

∑

x′, yn = x′, j=1 αj,nxj = (j=1

αj,n) x′, xj = x′, xj → x′, x .

Следствие 8.1 Åñëè K выпукло и замкнуто в X, òî K замкнуто относительно слабой сходимости

(говорят, секвинциально слабо замкнуто).

yn

= j=1

αj,nxj

элементовbxj K, таких, что yn − x → 0. Имеем: yn K (в силу выпуклости K), à

Пусть

xn X, xn → x.

По теореме Мазура, существует последовательность выпуклых комбинаций

n

ввиду∑

è òîãî, ÷òî

b

получаем:

b

замкнутости

K

yn − x → 0,

yn K.

Согласно предложению 8.2,

epi F замкнут в X (ибо функционал

F : X → R полунепрерывен

снизу). Выпуклость F

влечет выпуклость

epi F . Поэтому (в силу следствия 8.1) epi F замкнут

относительно слабой сходимости. Отсюда, согласно предложению 8.2,

F

полунепрерывный снизу

относительно слабой сходимости в X.

X рефлексивно,

b

{xn}

вательность

{xn} ограничена. А поскольку

Доказательство теоремы 8.1 Пусть

inf

В силу коэрцитивности, последо-

F (xn) → x K F (x) = F .

òî èç

можно выбрать подпосле-

довательность {xnk },

слабо сходящуюся к некоторому элементу

x K. Воспользовавшись тем, что

÷àåì F (x)

limF (xnk ). В итоге имеем:

b

(согласно следствию 8.2) функционал

F полунепрерывен снизу относительно слабой сходимости, полу-

Èòàê,

b ≤

F = inf F (x)

F (x)

limF (xnk )

lim

F (xnk ) = F .

т.е. слабый

≤

b

≤

последовательности

b

b

x K

≤ xnk →x

äâóõ

b

x1

x2,

предел

b

b

xnk

есть решением поставленной

F (x) = inf F (x),

x

x K

F строго выпуклый, т.к. предположив наличие

задачи. Это решение единственно, если функционал

различных решений

è

получим требуемое противоречие

(b

2 b

)

b

2

b = x K

Fb

x1b+ x2

(8.3)

F (x1) + F (x2)

<

inf F (x) .

Теорема 8.3 Пусть x решение задачи (8.7),

K выпуклое множество банахова пространства

решением задачи (8.7)bв том и только в том случае, если