FunkAn

§ 1 Интеграл Римана и интеграл Лебега

Определение 1.1 Скажем, что множество E ½ Rn элементарно, если оно есть объединение конечного или счетного числа параллелепипедов

j¸1

ру нуль. Вывести отсюда, что множество рациональных чисел Q имеет в R меру нуль, а мера иррациональных чисел, принадлежащих отрезку [a; b] , равна b ¡ a:

Указание. P 2"j = ":

j¸1

Определение 1.4 Канторово1 множество C0 это подмножество отрезка [0,1], которое получается из отрезка [0,1] последовательным выбрасыванием на k -ом ( k ¸ 0 ) шаге итерации 2k интервалов из середины оставшихся на предыдущем (k ¡ 1) -ом шаге итерации 2k отрезков, причем длина каждого такого выбрасываемого интервала равна 1/3 длины соответствующего отрезка. Так, на 0- ом шаге из отрезка [0,1] выбрасывается интервал (13 ; 23 ); на 1-ом шаге выбрасываются 2 срединных интервала, длины (13 )2 из оставшихся после 0-го шага 2-х отрезков.

Задача 1.2 Доказать, что множество C0 имеет мощность континуума, т.е. существует взаимнооднозначное соответствие между C0 и [0; 1]; а потому и всей прямой R: Проверить, что множество C0 (несмотря на то, что оно находится во взаимно-однозначном соответствии с [0; 1] ) имеет меру нуль, иными словами, мера всех выброшенных интервалов, т.е. их суммарная длина, равна 1.

Указание. Точки множества C0 (концевые точки выбрасываемых интервалов) находятся во взаимнооднозначном соответствии с представлениями чисел в троичной системе счисления, использующими лишь цифры 0 и 2, а потому с двоичными представлениями чисел, использующими лишь цифры 0 и 1. А такие бесконечные двоичные представления находятся во взаимно-однозначном соответствии с точками отрезка [0; 1] ¾ C0:

Замечание 1.1 Если из отрезка [0; 1] выбросить срединный интервал длины a2 ; где 0 < a < 1; затем из оставшихся двух отрезков выбросить их срединные интервалы длины a8 и продолжить эту процедуру, выбрасывая на ее n -ом шаге из оставшихся 2n отрезков их срединные интервалы длины

a ; то мы получим множество Ca выбросив из отрезка [0; 1] счетное число интервалов общей

22n+1

длины a < 1: Тем самым, это множество Ca не есть множество меры ноль, но оно, как и C0 нигде не плотно и замкнуто.

Определение 1.5 Говорят, что то или иное свойство P (x); зависящее от точки x 2 - ½ Rn; справедливо почти всюду (сокращено пишут: п.в.), если множество точек x; где P (x) не реализуется, имеет ( n -мерную) меру нуль. Говорят также, что P (x) верно для почти всех x 2 - .

1Георг Кантор (1845-1918) немецкий математик. Родился в Санкт-Петербурге. Первые работы Кантора посвящены рядам Фурье. В ходе этих исследований он создал теорию иррациональных чисел, получившую широкое признание. В 1874 доказал, что множество всех действительных чисел является несчетным.

1

Определение 1.6 Ступенчатой функцией на открытом множестве - ½ Rn называют такую функцию f : - ! R , которая в - является конечной линейной комбинацией характеристических функций неких параллелепипедов ¦k , k = 1 , . . . , N; где N 2 N; т.е.

XN

для каждого ¦2k: В этом случае будем писать @f¦1g ¶ @f¦2g:

Задача 1.3 Переформулируйте в терминах элементов множества R предыдущее определение для случая, когда n = 1; а - = (a; b) ½ R:

функции f; подчиненные разбиению @¦:

Определение 1.9 Говорят, что неубывающая почти всюду последовательность функций fn : - ! R сходится почти всюду к функции f : - ! R; если для почти всех x 2 -

При этом пишут: fn " f п.в. Аналогичный смысл имеет обозначение fn # f п.в.

Задача 1.4 a). Пусть (см. определение 1.7) @f¦1g ¶ @f¦2g : : : ¶ @f¦ng : : : : Доказать, что множество S @f¦ng имеет меру нуль. Проверить, что последовательность соответствующих нижних

n¸1

(верхних) сумм Дарбу2 монотонно не убывающая (не возрастающая) и потому существуют lim S¡n

n!1 ¦

и lim S+n : При этом, пределы

n!1 ¦

этих монотонных последовательностей S¦¡n (") и S¦+n (#) не зависят от выбора последовательности

f@¦ngn¸1 разбиений, если lim k¢n k = 0 (т.е. когда все линейные размеры ячеек разбиения @f¦ng

n!1 ¦

стремятся к нулю).

b). Проверить, что верхняя S¦+n и нижняя S¦¡n суммы Дарбу функции f; подчиненные разбиению

@f¦ng = NSn @¦nk , равны, соответственно, интегралам следующих ступенчатых функций

k=1

2Жан-Гастон Дарбу (1842–1917) французский математик. Известен благодаря своим результатам в математическом анализе и дифференциальной геометрии.

2

зывается интегрируемой по Риману3, а число S¡(f) = S+(f) называется (определенным) интегралом Римана функции f и обозначается так: R- f(x) dx:

Задача 1.5 Проверить, что пределы нижней и верхней сумм Дарбу для функции Дирихле4

(

различны. Тем самым, эта функция не интегрируема по Риману, хотя она отличается от некоторой непрерывной (какой?) на множестве меры нуль.

Впрочем, пространство функций, интегрируемых по Риману, весьма широко. А именно, f : - ! R интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она почти всюду непрерывна. В самом деле, если ступенчатые функции (1.3) таковы, что f¦¡m (x) " f(x) и f¦+m # f(x) для почти всех x; а точка x0 есть точка непрерывности ступенчатых функций f¦¡m и f¦+m (заметим, что множество всех иных имеет меру нуль), то эта точка x0 будет также точкой непрерывности функции f: Обратно, если f почти

всюду непрерывна, то f¦¡m (x0) " f(x0) и f¦+m (x0) # f(x0) в каждой точке x0 непрерывности функции f и потому S¡(f) = S+(f):

1)непрерывна почти всюду;

2)интегрируема по Риману (т.е. S¡(R) = S+(R) ).

Указание. Если x0 2 R n Q; а x 2 Q и jx ¡ x0j < n1 ; то x есть несократимая дробь m=N с N > n:

Хотя пространство функций, интегрируемых по Риману, весьма широко, однако оно не полно относительно сходимости, определяемой интегралом Римана, аналогично тому, как множество рациональных чисел (в отличие от множества действительных чисел) не полно относительно сходимости, определяемой евклидовым расстоянием на прямой. Действительно, рассмотрим последовательность функций fk; заданных формулой

3Бернхард Риман (1826-1866) немецкий математик, механик и физик. За свою короткую жизнь (всего 10 лет трудов) он преобразовал сразу несколько разделов математики. Он положил начало геометрическому направлению теории аналитических функций; им введены так называемые римановы поверхности, разработана теория конформных отображений и даны в связи с этим основные идеи топологии. Риман указал связь распределения простых чисел со свойствами дзета-функции, в частности, с распределением ее нулей в комплексной области так называемая гипотеза Римана. В ряде работ он исследовал разложимость функций в тригонометрические ряды и в связи с этим определил необходимые и достаточные условия интегрируемости в смысле Римана, что имело важное значение для теории множеств и функций действительного переменного. Созданная им так называемая риманова геометрия предварила то, что было сделано в общей теории относительности.

4Лежён Дирихле (1805-1859) немецкий математик, внесший существенный вклад в математический анализ, теорию функций и теорию чисел. Его предки были выходцами из Бельгии, чем обусловлена необычная для немецкого языка фамилия, а также имя Лежён (от фр. Le Jeune молодой человек).

5В отличие от французских математиков Мориса Леви (1838-1910) и Поля Леви (1886-1971), Беппо Леви (1875-1961) итальянский математик. Кроме работ, связанных с интегралом Лебега, Б. Леви внес большой вклад в теорию разрешения особенностей алгебраических поверхностей.

3

интегрируемы по Лебегу6) вытекает, что предельной для фундаментальной последовательности ffkg могла бы быть лишь функция f : x 7!x¡1=2: Но она не ограничена и потому верхняя сумма Дарбу стремится к бесконечности при стремлении к нулю шага разбиения интервала (0,1), т.е. эта функция f не интегрируема по Риману.

Может показаться, что причина неполноты относительно сходимости, определяемой интегралом Римана связана с неограниченностью функций, образующих фундаментальную последовательность. Это не так. В этом легко убедиться, рассмотрев последовательность ffng характеристических функций отрезков, оставшихся после n -го шага процедуры построения множества Ca; указанного в замечании 1.1.

Отмеченная неполнота относительно сходимости, определяемой интегралом Римана, и ряд других причин побудили к развитию понятия интеграла. Особую роль по своей значимости занимает интеграл Лебега. В 1901 г. 26-летний Анри Лебег ввел пространство L = L(-) функций, определенных на открытом множестве - ½ Rn и называемых ныне интегрируемыми по Лебегу, а также интеграл, носящий теперь его имя. Ниже дается (предложенное Ф. Риссом7) конструктивное построение интеграла Лебега и пространства L(-) . Приводятся также ряд важных результатов теории интеграла Лебега.

Принципиальная разница между конструкциями функций f , интегрируемых по Лебегу и интегрируемых по Риману, заключается в том, что требование, определяющее функции интегрируемые по Риману, а именно:

--

Задача 1.8 Проверить, что функция f интегрируемая по Лебегу, если она интегрируема по Риману.

Указание. f¦¡n " f п.в., а интегралы от ступенчатых функций f¦¡n ограничены.

Задача 1.9 Проверить, что функция Дирихле (1.4) интегрируемая по Лебегу. Найти ее интеграл.

Задача 1.10 Привести пример последовательности функций fn 2 L(-); для которой R fn(x) dx 6!0;

-

хотя fn(x) ! 0 для любого x 2 -:

Приведем два важных результата8 о предельном переходе под знаком интеграла, которые помогут доказать теорему Рисса–Фишера о полноте пространства L = L(-):

Теорема 1.1R(Беппо Леви) Пусть fN 2 L = L(-) и fN "R f п.в.RЕсли существует константа C ,

такая, что fN · C для любого N , то f 2 L(-) и lim fN = f .

N!1

6Анри Лебег (1875-1941) французский математик. Наиболее известен как автор теории интегрирования. Ему принадлежат работы по теории размерности, теории функций, теории дифференцирования и мн. др.

7Фридьес Риcc (1880-1956) венгерский математик, основатель современного функционального анализа.

8Их доказательства достаточно просто изложены, например, в учебнике Г.Е. Шилова “Математический анализ. Специальный курс”. Георгий Евгеньевич Шилов (1917-1974) выдающийся ученый и педагог, автор всемирно известных монографий и учебников. Он был одним из ведущих профессоров МГУ.

4

Теорема 1.2 (Ф. Рисс и Р. Фишер) 10 Пространство L , снабженное нормой k'k = R j'j , является банаховым11.

~ 12 Пусть k'n ¡ 'mk ! 0 при n , m ! 1 . Тогда существует возрастающая последовательность ин-

Следующая теорема о предельном переходе под знаком интеграла – одна из самых значимых теорем теории интеграла Лебега.

Теорема 1.3 (Лебег) Пусть fn 2 L(-) и пусть fn(x) ! f(x) почти всюду в - . Если существует функция g 2 L(-) , называемая мажорантой, такая, что jfn(x)j · g(x) для всех n ¸ 1; то f 2 L(-)

и R f = lim R fn .

n!1

~ Пусть L(g) = f' 2 L(-) j ¡ g · ' · gg: Это множество замкнуто относительно монотонных предельных переходов, т.к. (в силу теоремы Б.Леви) если 'n 2 L(g) и 'n " '+ или 'n # '¡; то предельные функции '+ и '¡ принадлежат множеству L(g): Замечая, что при k ! 1

9Пьер Фату (1878-1929) французский математик, работавший в области голоморфной динамики, приведшей в дальнейшем к так называемым множествам Мандельброта.

10Рональд Фишер (1890-1962) - английский математик, статистик и генетик.

11Нормой в линейном пространстве X называется такая функция k¢k: X 3 f 7!fkk 2 R , которая обладает следущими свойствами: kfk > 0 при f =6 0 2 X; k0k = 0; k¸fk = j¸j ¢ kfk для любого числа ¸ , kf + gk · kfk + kgk . Слова ¾пространство X снабжено нормой¿ означают, что в пространстве X вводится понятие сходимости. А именно, fn ! f при n ! 1 , если ½(fn; f) ! 0 , где ½(fn; f) = kfn ¡fk . При этом говорят, что пространство X является нормированным. Введенная функция ½ обладает, как легко видеть, следующими свойствами: ½(f; g) = ½(g; f) , ½(f; h) · ½(f; g) + ½(g; h) , причем ½(f; g) > 0 , если f 6= g , а ½(f; f) = 0 . Если на множестве X £ X определена функция ½ , обладающая указанными свойствами, то она называется расстоянием в X , а пара (X; ½) называется метрическим пространством (вообще говоря, нелинейным). Ясно, что нормированное пространство является линейным метрическим пространством. Метрическое пространство называется полным, если для любой фундаментальной последовательности ffngn¸1 (это значит, что ½(fn; fm) ! 0 при n; m ! 1 ) существует такое f 2 X , что ½(fn; f) ! 0 . Если нормированное пространство полно, то оно называется банаховым в честь Стефана Банаха (1892-1945) польского математика, который ввел в науку нормированные пространства и получил фундаментальные результаты для линейных операторов, действующих в банаховых пространствах.

12Иногда начало и конец доказательств отмечаются соответственно такими символами: ~ и ¤ .

13 Тем самым, фундаментальная последовательность в L содержит подпоследовательность, сходящуюся почти всюду.

5

Замечание 1.2 Можно показать, что если f интегрируема по Лебегу, то характеристическая функ-

def

ция 1ff·ag множества ff · ag = fx 2 - j f(x) · a g интегрируема по Лебегу.

Задача 1.11 Пусть f 2 L(-): Показать, что характеристические функции 1fa<f·bg; 1ff>bg; 1ff=cg множеств

def def def

fa < f · bg = fx 2 - j a < f(x) · b g ; ff > bg = fx 2 - j f(x) > b g ; ff = cg = fx 2 - j f(x) = c g

интегрируемы по Лебегу. Указание. 1fa<f·bg = 1ff·bg ¡ 1ff·ag .

Определение 1.11 Если характеристическая функция 1A множества A ½ - интегрируема, то множество A называется измеримым, а его мерой (Лебега) называется число ¹(A) = R 1A:

Замечание 1.3 Можно показать, что ограниченное открытое или замкнутое множество измеримо. Измеримо также счетное пересечение измеримых множеств. А если счетное объединение измеримых множеств ограничено, то оно также измеримо.

Замечание 1.4 Существует ли множество A ½ (0; 1) ½ R; которое не измеримо (по Лебегу), т.е. характеристическая функция которого не интегрируема по Лебегу? Ниже строится пример такого множества. При построении учитывается то, что мера Лебега ¹ обладает двумя свойствами:

1) она инвариантна относительно сдвигов, т.е. ¹(A + x) = ¹(A) для любой точки x 2 R и любого множества A ½ R с конечной мерой ¹(A) ;

тогда, предположив интегрируемость характеристической функции множества A; получим противоречие:

¹(A) = P1 ¹(Aj) = 1:

j=1

Определим множество A (используя так называемую аксиому выбора теории множеств) как множество представителей классов смежности интервала (0; 1]; точки которых отождествляются, если они отличаются на рациональное число. При этом от каждого класса смежности, берется по одному представителю. Например, обозначая через bxc = x ¡[x] дробную часть числа x; можно взять число p2 в качестве представителя класса смежности bp2 + Qc: Что же касается Aj; то это множество определим как множество чисел вида bxA + jc; где xA 2 A:

Замечание 1.5 Можно доказать, что если f интегрируема по Лебегу и ограничена: m · f(x) · M ,

6

в Rm . Пусть f : - 3 (x; y) 7!f(x; y) интегрируемая функция в прямом произведении - = -x £-y . Тогда

Доказательство см., например, в учебнике Г.Е. Шилова “Математический анализ. Специальный курс”.

Замечание 1.6 Существование двух (повторных) интегралов

Определение 2.1 (Ф. Рисс.) Пусть 1 · p < 1 . Пространством Lp(-) (или просто Lp ) интегрируемых в p -ой степени функций называется комплексное линейное пространство комплекснозначных функций15 f , определенных в - и таких, что jfjp 2 L(-) . Если f 2 L1(-) , то интеграл от f определяется формулой: R f = R Ref + i R Imf:

14Гвидо Фубини (1879-1943) итальянский математик. Основной темой его исследований являлась дифференциальная геометрия

15Точнее, классов функций ffg: - ! C , где g 2 ffg () g = f почти всюду.

16Герман Минковский (1864-1909) немецкий математик, разработавший геометрическую теорию чисел и геометрическую четырёхмерную модель теории относительности.

17Отто Гёльдер (1859-1937) немецкий математик.

7

Аналогично доказательству теоремы 1.2 доказывается

Лемма 2.2 Пусть 1 · p < 1 . Пространство Lp , снабженное нормой (2.1), является банаховым.

Лемма 2.3 Комплексификация пространства ступенчатых функций18 плотна в Lp , 1 · p < 1 .

~ Достаточно доказать, что 8f 2 Lp , где f ¸ 0 , существует последовательность fhkg ступенчатых функций, таких, что

функция множества En = fx 2 - j 1=n · f(x) · ng: Имеем fn " f , откуда (f ¡ fn)p # 0 . По теореме

Определение 2.2 Если функция f 2 C1(-) равна нулю вне некоторое компактного в - множества K = Kf ; то пишут: f 2 C01(-):

Теорема 2.1 Пусть f 2 L1(-) , причем f = 0 почти всюду вне некоторого K b - . Пусть ½ > 0

18Комплексификацией вещественного линейного пространства X называется комплексное линейное пространство элементов вида f = g + ih , где g и h элементы X .

8

~ Очевидно, что f" 2 C01(-) . Докажем (2.6). В силу леммы 2.3, 8´ > 0 существует такая функция h = h1 + ih2 , где h1 и h2 ступенчатые функции, что kf ¡ hkp < ´ . Имеем:

kf ¡ f"kp · kf ¡ hkp + kh ¡ R"(h)kp + kR"(f ¡ h)kp :

Покажем, что kR"(g)kp · kgkp . При p = 1 это очевидно: