FunkAn (2)
.pdfидей для развития таких понятий как функция, интеграл, тригонометрический ряд. . . Открытие Фурье (как это ни странно на первый взгляд) состоит в формальном правиле вычисления коэффициентов
|
|
|
|
|
p/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ak = p ∫−p/2 u(y)e−◦ı(k/p)y dy , |
|
|
◦ı = 2πi, i = √ |
|
|
(3.1) |
|||||||||
|
|
−1 |
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(называемых коэффициентами Фурье) в разложении |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∞ |
◦ k |
|
∑ |
|
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|||||
∑ |
akeı p x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u(x) |
= a0 + |
|
ck cos(2π |
p |
x) + dk sin(2π |
p |
x) , |
ck = ak + a−k , |
dk = i[ak − a−k] (3.2) |
||||||||
k=−∞ |
|
|
k≥1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
произвольной функции u : Ω = |
(−p/2, p/2) |
x 7→u(x) C по гармоникам |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
◦ k |
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
e |
ı p x = cos(2π |
|
x) + i sin(2π |
|
x), |
k Z. |
(3.3) |
|||||||
|
|
|
p |
p |
|||||||||||||
Тригонометрический ряд (3.3) называется рядом Фурье функции u (по системе функций (3.2)). |
|||||||||||||||||
Следует иметь ввиду, что для какой-то, взятой наугад непрерывной функции |
u (а такая, как пра- |
вило, нигде не будет дифференцируема) ее ряд Фурье почти наверняка будет расходиться в некоторой точке x0. Первый результат о сходимости рядов Фурье получил в 1829г. 24-летний Л. Дирихле (18051859): если функция u кусочно-непрерывна на [−p/2, p/2] , а число ее интервалов монотонности конечно,
то в каждой точке x0 [−p/2, p/2] ряд Фурье функции u сходится к среднему арифметическому предельных значений функции u в этой точке (и потому к значению функции u в точке ее непрерывности).
Существенно более сильный результат К. Жордана22, известный как теорема Дирихле Жордана, был опубликован в 1881г. А именно, справедлива
Теорема 3.1 Если функция u , кусочно-непрерывная на [−p/2, p/2], имеет ограниченную вариацию 23,
то ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на каждом компакте, не содержащем точек ее разрыва, а в каждой точке разрыва ряд Фурье функции u сходится к среднему арифметическому предельных
значений функции u в этой точке.
Хотя коэффициенты Фурье (3.1) определены для любой функции u L1 , ряд Фурье для таких
функций может расходиться всюду! Первый такой пример привел А.Н. Колмогоров, предварительно
в 1922г. (в 19-летнем возрасте) построив ставший сразу мировой математической сенсацией пример функции u L1 , ряд Фурье которой расходится почти всюду. Впрочем, если функция u Lq ïðè
q > 1, то ее ряд Фурье сходится к ней почти всюду.
Важное значение имеет следующая теорема о сходимости рядов Фурье в пространстве L2.
Теорема 3.2 Для любой u L2(Ω) , ãäå Ω =] − p/2, p/2[ , ряд (3.3) сходится к |
u â L2(Ω) , ò.å. |
||||||
| |
∑ |
|
ïðè N → ∞, |
|
|||
u − |
akek L2 → 0 |
|
(3.4) |
||||
|
k|≤N |
|
|
|
|
|
|
ãäå |
|
1 |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ek : Ω x 7→ek(x) = |
|
exp |
(◦ı |
|
x) . |
(3.5) |
|
p |
p |
Эта теорема (она является непосредственным следствием приведенных ниже теорем 3.3 и 3.4) выявляет прозрачный геометрический смысл коэффициентов Фурье. Действительно, рассмотрим в L2(Ω) ×
L2(Ω) комплекснозначный функционал
∫ p/2
(u, v) = u(x)¯v(x)dx,
−p/2
22Камилл Жордан (1838-1922) французский математик, известный, прежде всего, благодаря своим фундаментальным работам в теории групп. С его именем связаны также теоремы о плоской без самопересечений замкнутой кривой, разбивающей плоскость на две связные компоненты; теорема о приведении матрицы к жордановой нормальной форме.
23Такие функции представимы в виде разности двух монотонных (неубывающих) функций. Они имеют почти всюду |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|||
конечную производную, а графики |
a |
1 |
|
u, заданных на отрезке [a, b] , имеют конечную длину |
a |
1 + ( dx ) |
|
dx. |
||||
|
|
|
|
|
|
в отличие от |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
таких функций |
|
|
|
b |
|
du |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В частности, функция |
[0, 1] x 7→x |
sin x |
имеет ограниченную вариацию при a > 1, |
|
случая |
a ≤ 1. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
11
ãäå v¯ функция, комплексно-сопряженная к v . Этот функционал определяет в пространстве L2(Ω) скалярное произведение 24, относительно которого (как легко видеть) функции (3.4) ортонормированы,
ò.å. |
|
|
|
|
(ek, em) = 0 ïðè k ̸= m |
è (ek, ek) = 1 |
для любого k. |
(3.6) |
|
|
| |
∑ |
akek) íà em , получим |
|
Поэтому, выбрав N ≥ |m| и умножив скалярно функцию (u − |
|
|
||
∑ |
|
k|≤N |
|
|
|
| |
∑ |
|
|
|(u, em) − am| = |(u − |
akek , em)| ≤ u − |
akek L2 . |
|
|
|k|≤N |
|
k|≤N |
|
|
Отсюда и из (3.5) следует, что |
|
|
|
|
am = (u, em) , m Z. |
|
|
(3.7) |
Таким образом, формула (3.1) означает, что коэффициент ak есть алгебраическое значение ортогональ- ной проекции вектора u L2(Ω) на вектор ek .
После того как стал ясен геометрический смысл коэффициентов Фурье, может показаться удивительным, что, как пишет Лузин, ни тонкий аналитический ум д'Аламбера, ни творческие усилия Эйлера, Д. Бернулли и Лагранжа не смогли решить этого труднейшего вопроса , т.е. вопроса о формулах для ко- эффициентов ak в (3.3). Однако не следует забывать, что указанная выше геометрическая прозрачность формул (3.7) стала возможной лишь благодаря тому, что формулы Фурье (3.1) поставили в повестку дня вопросы, решение которых позволило придать точный смысл таким словам, как функция , представление функции тригонометрическим рядом и многое, многое другое.
Определение 3.1 Говорят, что |
{ek}k≥1 |
|
есть ортонормированная система векторов гильбертова |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пространства |
|
H, åñëè |
(ek, ej) = δkj |
|
|
(ãäå δkj |
символ Кронекера). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Лемма 3.1 Пусть {ek}k≥1 |
ортонормированная система в |
|
H. Тогда для любого вектора u H |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
справедливо неравенство Бесселя: |
∑ |
|
ck2 ≤ u 2, |
ãäå |
|
ck = (u, ek). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k≥1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть un = |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
k=1 ckek, à vn = u−un. Имеем: (vn, ej) = (u, ej)−(un, ej) = cj −cj = 0 äëÿ j = 1, . . . , n. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тем самым, |
u |
|
есть сумма двух взаимно ортогональных векторов |
un |
è vn. |
По теореме Пифагора |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u 2 = un 2 + vn 2 = ck2 + vn 2 ≥ |
|
ck2 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Определение 3.2 Ортонормированная система |
|
|
{ek}k≥1 в гильбертовом пространстве H называ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ется полной, если лишь нулевой вектор 0 H ортогонален ко всем элементам этой системы. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теорема 3.3 Пусть {ek}k≥1 |
полная ортонормированная система в |
H. Тогда для любого вектора |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u H справедливо разложение |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
u = |
|
|
(u, ek)ek, причем имеет место равенство Парсеваля: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k≥1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
ck2 = u 2 , |
|
|
|
|
|
ãäå |
ck = (u, ek) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
k≥1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеем: sq − sp 2 |
|
|
|
q |
ck2. В силу неравенства Бесселя, |
||||||||||||||||||||
|
sp = |
ckek. Тогда при q > p |
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=p+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H ) она имеет предел s = lim sp. |
|
|
|
|
|
|
|
s = u. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
ðÿä |
k≥1 |
ck |
сходится. Значит последовательность |
{sp}p≥1 фундаментальна и потому (в силу полноты |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пространства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p→∞ |
|
|
Покажем, что |
|
|
|
|
В самом деле, при фиксированном |
||||||||||||||||||||||
k è p > k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(s, ek) = lim (sp, ek) = lim ( |
∑j |
cjej, ek) = lim ck = ck = (u, ek). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p→∞ |
|
|
|
|
|
p→∞ |
=1 |
|
|
|
|
p→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Значит (u − s, ek) = 0 для любого k, |
|
ò.å. s − u = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
24Это означает, что функционал |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(u, v) |
линеен по первому аргументу, причем |
(u, u) > 0 , åñëè u ̸= 0 , è (u, v) = (v, u) , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
где черта сверху означает |
комплексное сопряжение. Отметим, что функция |
|
u 7→u = (u, u) |
является нормой, причем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+ y |
|
2 |
+ |
x |
|
y |
|
2 |
= 2( |
x |
2 |
+ |
y |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
| |
(u, v) |
| ≤ |
u |
|
|
v |
|
. Åñëè |
x |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
) для любых x è y |
из банахова пространства X с нормой |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
· |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|||||||||||||||
· , |
то формула |
(x, y) = 4 ( x + y |
|
− x |
|
− y ) |
|
задает в |
|
|
X |
скалярное произведение и такое банахово пространство |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p ëèøü |
L |
2 |
|
является гильбертовом. |
|||||||||||||||||||||||||
называется гильбертовым. Таким образом, среди пространств L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
Лемма 3.2 Ортонормированная система {ek}k≥1 |
полна в гильбертовом пространстве |
H тогда и |
|||||||||||
только тогда, когда линейные комбинации этой системы образуют всюду плотное множество в H, |
|||||||||||||
системы, такая, что |
x − xn → 0 ïðè n → ∞. |
|
|
∑ |
aknek ýòîé |
||||||||
т.е. для любого |
x |
H |
существует последовательность линейных комбинаций xn = |
||||||||||
Åñëè |
ортонормированная система |
{ek}k≥1 |
полна, то (в силу теоремы 3.3) для любого вектора |
u H |
|||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
имеем: nlim u − |
(u, ek)ek = 0. Обратно, пусть линейные комбинации этой системы образуют всюду |
||||||||||||
|
→∞ |
k=1 |
|
|
(x, ek) = 0 |
|
|
k |
≥ 1. |
|
x |
|
|
плотное |
множество в |
|
à |
для любого |
Тогда ортогональное дополнение к |
содержит |
|||||||
|
∑ H, |
|
|
|
|
|
|
все линейные комбинации этой системы, а также (в силу непрерывности скалярного произведения) их |
||||||||||||||||||||||||||||
замыкание, т.е. все пространство H и, в частности, элемент x . Значит, (x, x) = 0 и потому x = 0. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
Теорема 3.4 Система функций ek : (−p/2, p/2) x 7→ek(x) |
= |
|
p1 exp (◦ı kp x) полна в L2(−p/2, p/2). |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно следствию 2.1, для любой функции |
u L2(−p/2, p/2) |
|
и любого ε > 0 существует по- |
|||||||||||||||||||||||||
следовательность функций un C0∞(−p/2, p/2) |
|
|
и число N, такие, что |
u − un < ε ïðè n > N. Ñ |
||||||||||||||||||||||||
другой стороны, в силу теоремы 3.1 (Дирихле Жордана), для функции un |
|
существует такая линейная |
||||||||||||||||||||||||||
p(n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p(n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
комбинация k=1 |
a |
|
e |
|
системы функций (3.4), что |
max |
|
u |
|
(x) |
− k=1 |
a |
|
e |
|
(x) |
< ε и потому |
|
||||||||||
|
k,n |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|x|≤p/2 |
|
n |
|
|
|
k,n |
|
k |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
p(n) |
|
|
|
|
|
|
|
p(n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
max |
u (x) |
|
|
|
a |
e (x) |
< ε2 . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
un − k=1 ak,nek ≤ p |
|x|≤p/2 |
|
n |
|
− k=1 |
|
k,n |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Подставим формально (3.1) в (3.3). Тогда получим
∞ |
1 |
p/2 |
|
|
∑ |
|
e◦ı(k/p)x ∫−p/2 e−◦ı(k/p)yu(y)dy. |
|
|
u(x) = k= |
−∞ |
p |
(3.8) |
|
|
|
|
|
Устремим p к бесконечности и перейдем формально в (3.3) к пределу. В результате для произвольной функции u : R → C получим (формальное!) выражение
|
|
|
|
|
−∞ |
( |
−∞ |
) |
|
|
|
|
|
u(x) = ∫ |
∞ e◦ıxξ |
∫ |
∞ e−◦ıyξu(y)dy dξ. |
(3.9) |
|||||
Закончим формальные выкладки и дадим точное |
|
|
|
||||||||
x è ξ . Функция |
Пусть ξ R |
|
, |
x R |
|
, xξ = ∑k=1 xkξk , ò.å. xξ = (x, ξ) скалярное произведение |
|||||
Определение 3.3 |
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(ξ) = ∫Rn e−◦ıxξu(x)dx, ◦ı = 2πi, |
i = √ |
|
(3.10) |
|||||||
|
−1 |
||||||||||
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называется образом Фурье функции u L1(Rn) , а отображение F : L1(Rn) u 7→ue = Fu C называется преобразованием Фурье (в L1(Rn) ).
Лемма 3.3 Åñëè u L1(Rn) , òî Fu C(Rn) , причем Fu C ≤ u L1 .
Из теоремы 8.20 (Лебега)2 следует, что u =2Fu C(R) ; ïðè ýòîì |u(ξ)| ≤ ∫Rn |u(x)|dx. |
||||||||||
Пример 3.1 Åñëè u(x) = e |
− |
|
|
|
|
e |
|
|
|
e |
|
πx , òî u(ξ) = e−πξ . |
Действительно, имеем: |
||||||||
|
|
|
π |
+iy)2 |
|
2πi(x+iy)ξ |
|
|
πN2+2πyξ |
|
|
|
e− |
(x e |
− |
|
x=N ≤ e− |
|
. |
||
Поэтому, согласно теореме Коши, |
|
|
|
|
|
y=−ξ dx = e−πξ2 |
∫∞ e−πx2 dx = e−πξ2 . |
|||
∫∞ e−πx2−2πixξ dx = ∫∞ e−π(x+iy)2−2πi(x+iy)ξ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
13
Пример 3.2 Пусть |
u |
(x) = θ (x)e ax , ãäå |
θ характеристическая функция R |
|
= |
{± |
x > 0 |
} |
, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
± |
|
|
|
|
|
|
|
|
± |
1 |
|
|
|
|
1 . Отметим также, |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
± |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
± |
что функция |
|||||||
a > 0 . Тогда u±(ξ) = |
|
. Отметим, что u± / L , õîòÿ u± L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
a±◦ıξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
u± |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
C . Нетрудно проверить, что |
|
|
|||||||||||
e |
аналитически продолжается в комплексную полуплоскость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
ln(ξ ◦ıε) = ln |ξ ◦ıε| + i arg(ξ ◦ıε) → ln |ξ| iθ−(ξ) |
ïðè |
ε → +0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Отсюда вытекает весьма употребительна в математической физике формула |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
lim |
|
|
∞ |
φ(ξ) dξ |
= v.p. |
|
|
∞ φ(ξ) dξ |
|
φ C(R) ∩ L(R) , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
± iπφ(0) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
ε→+0 |
∫−∞ ξ iε |
|
∫−∞ |
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
которая часто записывается в таком виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= v.p. |
1 |
± iπδ(ξ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.11) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
i0 |
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь δ(ξ) |
δ -функция, а |
|
|
∞ φ(ξ) dξ def |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
v.p. |
|
lim |
φ(ξ) dξ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
|
|
= |
|
µ→0 ∫|ξ|>µ |
∫ |
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Ниже в теореме 3.5 даны достаточные условия, при которых |
∞ |
φ(ξ) dξ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
так называемое главное значение (valeur principale) интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
|
|
формальное выражение (3.9) приобретает точный смысл одной из важнейших формул в анализе. Дадим предварительно несколько определений.
Определение 3.4 Пусть α = (α1, . . . , αn) мультииндекс, |α| Соболеву порядка α функции u L1loc(Ω) называется функционал
def |
∫Ω u(x)∂αφ(x) dx , ãäå |
∂αu : C0∞(Ω) φ 7→∂αu, φ = (−1)|α| |
= α1 + . . . + αn. Производной по
∂αφ(x) = ∂xα1 1 . . . ∂xαnn . (3.12)
Замечание 3.1 Определение 3.12 оправдано тем, что функционал (3.12) |
определяет непрерывную |
|||||||||||||
функцию v = ∂αu(x) , åñëè u C|α|(Ω). Действительно, в этом случае |
∂αu, φ = |
∫ |
Ω φ(x)∂αu(x)dx, à |
|||||||||||
Ω δε(x x0)v(x)dx |
|
v(x0) ïðè ε |
|
0, ãäå δε |
|
C0∞(R), |
δε(x) dx = 1, |
δε |
|
0, |
|
|
δε = 0, åñëè |
|
|∫x| > ε.− |
→ |
|
→ |
|
|
|
∫ |
|
≥ |
|
причем |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 3.5 Пусть p ≥ 1 , a k Z . Говорят, что u Lp(Ω) есть элемент пространства Собо-
|
|
p,k |
|
|
все производные по Соболеву |
|
|
α |
|
, ãäå |
|α| ≤ k |
, принадлежат |
|
p |
|
. Сходимость |
|||||||||||||||
ëåâà W |
|
(Ω) , åñëè |
|
|
характеризуется нормой |
∂ |
|
u |
|
|
|
|
|
|
L (Ω) |
|
|
|
|||||||||||||
в пространстве W p,k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u W p;k = |
|
|
∂αu Lp , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.13) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α|≤k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ò.å. uj → u â |
W p,k |
|
ïðè |
j → ∞ , åñëè u − uj W p;k → 0 ïðè j → ∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Легко проверить, что |
W p,k банахово пространство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Лемма 3.4 25 |
W 1,n(Rn) |
C(Rn) , т.е. для любого |
u W 1,n |
существует единственная функция |
|||||||||||||||||||||||||||
u0 C , совпадающая почти всюду с u , причем |
u0 C ≤ u W 1;n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Положим u0(x) = |
x ∂nu(y1,...yn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
dy. Из теоремы 1.4 (Фубини) следует, что функция u0 |
допускает |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂y1∂y2...∂yn |
|||||||||||||||||||||||||||||
представление в виде |
|
∫−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
x2 |
xn ∂nu(y1, . . . yn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u0(x) = ∫−∞ |
[∫−∞ . . . [∫−∞ |
|
dyn] . . . dy2] dy1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂y1∂y2 . . . ∂yn |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
откуда вытекает ее непрерывность, равенство |
u0 = u |
п.в. и оценка u0 C ≤ |
| |
∂nu(x)dx |
| . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∂x1...∂xn |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вложение |
|
|
p;k |
n |
|
n , ñïðà- |
|||
25 |
Лемма 3.4 простой частный случай теорем вложения Соболева. Отметим, что |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
∫ |
|
W |
(R ) C(R ) |
|
|||||||||||||||||||||||||
ведливое при n/p < k , нарушается, если |
p > 1 , à n/p = k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14
Теорема 3.5 Пусть u W 1,n(Rn) . Тогда для любого |
|
x Rn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
N |
|
◦ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
à |
|
преобразование Фурье функции . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
ıxξ |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.14) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
u(x) = |
lim |
|
|
|
|
|
|
ãäå |
|
uN (x) = ∫ N . . . ∫ N e u(ξ)dξ1 . . . dξn , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
N→∞ uN (x) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ue = Fu |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
−∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
e |
◦ısξ |
dξ = |
|
sin 2πNs |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ sin x |
dx = 1, òî |
||||||||||||||||
|
Положим θN (σ) = |
|
|
δN (s)ds , ãäå δN (s) = |
|
|
|
|
|
|
|
πs |
|
|
. Поскольку |
−∞ |
πx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πNσ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ïðè σ > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θN (σ) = |
∫ |
|
|
|
dt → θ(σ) = {0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πt |
ïðè σ < 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2πN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
имеем: |θN (σ)| ≤ 2λ0 |
, èáî |λk| ↓ 0 |
è λ2k > −λ2k+1 |
. В силу теоремы |
|
|
|
|
|
(k+1)/2N |
|
|
|
|
|
|
(k+1)π |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
sin t |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ïðè ýòîì, |θN (σ)| ≤ const для любого N. Действительно, полагая λk = |
|
|
|
δN (s) ds = |
|
kπ |
πt |
dt, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k/2N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фубини, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
∞ ∞ |
|
|
|
∂θ |
N |
(y1 |
|
|
|
|
x1) |
|
|
|
|
∂θ |
N |
(y2 |
|
x2) |
|
|
|
|
|
∂θ |
N |
(yn |
xn) |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
uN (x) = ∫−∞ |
[. . . [∫−∞ |
[∫−∞ u(y) |
|
|
− |
|
|
|
|
|
dy1] |
|
|
− |
|
|
|
dy2] |
. . . ] |
|
|
|
|
− |
|
|
dyn . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂yn |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Остается проинтегрировать это равенство по частям и применить теорему Лебега. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Формальное выражение (3.9) и теорема 3.5 наводят на мысль ввести преобразование |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F−1 : L1( |
|
) |
|
|
|
|
u F−1u |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
определенного формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
e |
7→ |
e C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
(F−1u)(x) = ∫Rn e◦ıxξu(ξ)dξ , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
◦ı = 2πi, |
i = √ |
|
, |
x Rn. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ãäå |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
(3.15) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Эта формула отличаетсяe |
от формулы |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F− |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.10) знаком у экспоненты. Преобразование |
|
1 |
называется |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
обратным преобразованием Фурье , поскольку |
u = F−1Fu , åñëè u W 1,n(Rn) , a |
Fu L1(R) . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Определим пространство Лорана Шварца, а именно, так называемое пространство быстро убываю- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
щих функций S = S |
(Rn) W 1,n(Rn) . В пространстве S (см. ниже теорему 3.6) преобразования F−1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и F являются автоморфизмами (т.е. линейными обращаемыми отображениями |
S íà ñåáÿ). |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Определение 3.6 Элементами пространства |
|
|
|
|
S(Rn) |
являются функции u C∞(Rn) , которые удо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
влетворяют следующему условию: для любых мультииндексов |
α |
|
= (α1, . . . , αn) |
|
è β |
= (β1, . . . , βn) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
существует такое число |
|
Cαβ < ∞ , что для любого |
x = (x1, . . . , xn) Rn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|xα∂xβu(x)| ≤ Cαβ, |
|
ãäå xα |
|
|
= x1α1 . . . xnαn , |
∂xβ = |
|
|
|
|
|
∂|β| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x1β1 . . . ∂xnβn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
При этом говорят, что последовательность функций |
uj S сходится в |
S ê u |
|
( uj → u â S ) ïðè |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
j → ∞ , åñëè ϵ > 0 m N j0 N j ≥ j0 |
|
справедливо неравенство: pm(uj − u) ≤ ϵ , ãäå |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pm(v) = supn |
|
|
|
|
|
|
|
(1 + |x|)m|∂αv(x)| . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x R |
|
|
α |
|≤ |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Очевидно, что e−x2 |
S |
( |
R |
) , íî e−x2 sin(ex2 ) / |
|
|
|
( |
R |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Интегрируя по частям, проверить, что справедлива |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Лемма 3.5 Для любых мультииндексов α, β |
|
и любого u S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
◦ |
β |
|F[∂ |
α |
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
◦ |
|
|
α |
|ξ |
α |
|
β |
|
|
|
|
|
ãäå |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.16) |
||||||
|
|
|
|
( |
− |
ı)| |
|
x |
(x |
u(x))](ξ) = (ı)| |
|
|
∂ |
|
u(ξ), |
|
|
|
|
|
|
|
u = Fu . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
Следствие 3.1 FS S , ò.å. Fu S , åñëè |
u S . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
Òàê êàê u |
S |
, то для любого фиксированного N |
|
N и любых α, β |
|
Z+n |
существует dαβ > 0 , |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Поэтому, в силу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
÷òî |∂xα(xβu(x))| ≤ dαβ(1 + |x|)−N |
|
|
|
|
|
|
|
леммы 3.5, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
αu(ξ) |
|
|
α |
β |
|
|
|
sup |
∂α(xβu) |
. |
|
|
|
(3.17) |
|||
Тем самым, u S . |
|
|
|ξ |
|
∂ξ e |
|
| ≤ F[∂x (x |
|
u)] C ≤ Dαβ x | |
x |
| |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Теорема 3.6e |
Отображения |
F : S → S è F−1 : S → S это взаимообратные и непрерывные авто- |
||||||||||||||||||||||||||||||
морфизмы пространства S . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
e |
|||||||||||||
|
|
|
|
u(x) = u0 |
( |
|
x) . Имеем: u = F− u0 |
= Fu . Непосредственно из |
S |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
F линейно и, в силу теоремы 3.5, мономорфно. Проверим, что u |
u S , ÷òî Fu = u . |
|||||||||||||||||||||||||||||
Положим |
u |
|
= Fu . Òàê êàê u |
|
S |
, то согласно теореме 3.5, |
u = F−1Fu = F−1u . Рассмотрим |
|||||||||||||||||||||||||
|
j |
|
|
0 |
|
|
euj |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
e − |
|
|
||||
функцию |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определения 3.6 следует, что |
||||||||
Fu |
|
→ |
0 â |
S |
, åñëè |
|
→ |
|
â |
S |
. Те же самые рассуждения справедливы для F 1 . |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лемма 3.6 (равенство Парсеваля). Åñëè f , g S(Rn) , òî
∫∫
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Кроме того, |
|
|
|
(Ff, Fg)L2 = (f, g)L2 , |
ò.å. |
Rn fe(ξ)g(ξ)dξ = |
Rn f(x)g(x)dx. |
(3.18) |
||||||||||||||||||||||||
|
Из теоремы Фубини следует (3.19), так как |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ff, g = f, Fg , ò.å. ∫Rn f(ξ)g(ξ)dξ = ∫Rn f(x)g(x)dx. |
(3.19) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∫Rn f(x)g(x)dx = ∫Rn ∫Rn f(x)e−◦ıxξg(ξ)dxdξ |
|
∫Rn f(ξ)g(ξ)dξ |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|||||||
Пусть |
h = Fg |
. Тогда |
|
, òàê êàê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
g = Fhe |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)(ξ) = ∫ |
|
|
(x)dx = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
g(ξ) = (F−1 |
|
|
e◦ıxξ |
|
∫ |
|
e−◦ıxξh(x)dx = ( |
|
)(ξ). |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
h |
|
Fh |
|
||||||||||||||||||||
|
Заметим, что |
e |
|
|
|
|
(3.19) определяют линейные непрерывные функционалы на |
: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
e |
||||||||||||||||||||||||||||||
Подставив |
g(ξ) = h(ξ) |
è g(x) = h(x) |
в (3.19), получим |
|
(Ff, Fh)L2 |
= (f, h)L2 h S , т.е. (с точностью |
||||||||||||||||||||||||||
до обозначений) (3.18). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
обе части равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
S |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
e |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f : S g 7→ f(x)g(x)dx, f : |
|
|
|
g 7→ f(ξ)g(ξ)dξ. |
|
В связи с этим, дадим (следуя Л. Шварцу) два определения.
Определение 3.7 S′(Rn) это пространство медленно растущих обобщенных функций, т.е. пространство линейных непрерывных функционалов f : S(Rn) → C , снабженное операцией дифференци-
рования ∂αf, φ = (−1)|α| f, ∂αφ , ãäå |
α Z+n , и операцией умножения af, φ = f, aφ |
на любую |
|||||||||||||||||||||||
медленно растущую функцию |
a , т.е. такую функцию |
a C∞(Rn) , для которой выполнено условие: |
|||||||||||||||||||||||
α Cα < ∞ Nα < ∞ , ÷òî |
|
|∂αa(x)| ≤ Cα(1 + |x|)N . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Определение 3.8 Пусть f S′, |
|
g S′ . Тогда формулы |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
функции g S′ . |
Ff, φ = f, Fφ φ S |
|
|
|
è |
F−1g, ψ = g, F−1ψ ψ S |
|
(3.20) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
f S′ |
|
|
′ , которые называются соответственно |
||||||||||
определяют обобщенные функции |
|
f = Ff |
S |
′ |
è |
F−1g |
S |
||||||||||||||||||
преобразованием Фурье обобщенной функции |
|
|
|
|
|
|
|
и обратным преобразованием Фурье обобщенной |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример 3.3 ßñíî, ÷òî |
δ S′, 1 S′ . Найдем |
Fδ и F1 . Имеем: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
◦ |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
Fδ, φ |
|
= |
|
δ, Fφ |
|
= φ(0) = lim |
|
e−ıxξφ(x)dx = φ(x)dx = |
|
1, φ |
, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
δ = 1 . e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ò.å. Fδ = 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
F1, φ = 1, Fφ = |
|
|
|
|
||||||||||||
. Аналогично, |
F− |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Далее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
F−1δ, Fφ = δ, F−1Fφ , ò.å. F1 = δ . Аналогично, |
F−11 = δ . |
|
|
|
|
16
Ÿ 4 Пространства Hs . Теоремы вложения
Изучение уравнений математической физики естественным образом приводит к семейству банаховых
пространств |
W p,m , введенных Соболевым. Напомним определение 3.5 пространства |
W p,m(Ω) . Ïðè |
|||
p ≥ 1 è m Z+ пространство W p,m(Ω) это банахово пространство тех функций |
u Lp(Ω) , äëÿ |
||||
которых конечна норма |
|
|
|
|
|
α |
u W p;m(Ω) = ∫Ω |
α m |
|∂αu|pdx 1/p . |
(4.1) |
|
|
|
| ∑ |
|
|
|
|
|
|
|≤ |
|
|
Здесь ∂ u обобщенная производная функции u , ò.å. |
|
|
|||
|
∂αu = v Lloc1 (Ω) |
∫Ω v · φdx = (−1)|α| ∫Ω u∂αφdx φ C0∞(Ω). |
(4.2) |
Функцию v , удовлетворяющую условиям (4.1), С.Л. Соболев назвал слабой (weak) производной порядка
αфункции u . Возможно по этой причине в обозначении пространств Соболева возникла буква W . Ïðè p = 2 пространства W p,m являются гильбертовыми. Они обозначаются (по-видимому, в честь
Гильберта) через Hm . Роль этих пространств необычайно велика в современном анализе. Представим элементы теории пространств Hs
Задача 4.1 Используя формулу (18.1), проверить, что введенное выше для |
m Z+ |
пространство |
||||||||||||||||||||||||||||||
Hm(Rn) это пространство тех |
u S′(Rn) , для которых (1 + |ξ|)m(F u)(ξ) L2(Rn) . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Определение 4.1 Пусть s R . Пространство |
|
Hs = Hs(Rn) состоит из тех u S′ |
= S′(Rn) , äëÿ |
|||||||||||||||||||||||||||||
которых конечна норма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
u s = ξ s · u(ξ) L2(Rn), |
ξ = 1 + |ξ|, |
|
u = F u. |
|
|
|
(4.3) |
||||||||||||||||||||
Задача 4.2 Проверить, что |
S H |
α |
Hβ |
S′ |
, åñëè α > β , причем операторы вложения непрерыв- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ны, а вкладываемые пространства плотны в объемлющих. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Теорема 4.1 (вложения Соболева) |
. Åñëè s > n/2+m , то справедливо вложение Hs(Rn) Cbm(Rn) , |
|||||||||||||||||||||||||||||||
причем существует |
C < ∞ , ÷òî |
|
|
|
u (m) ≤ C u s u Hs, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.4) |
||||||||||||||||
ãäå |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u (m) = |
|
|
supn |∂αu(x)|. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α|≤m x R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Надо доказать: u Hs(Rn) v Cbm(Rn), v = u п.в., причем |
v (m) ≤ C u s . Достаточно |
||||||||||||||||||||||||||||||
доказать для m = 0 . Из неравенства |
|
|
|
|
|
|
|
≤ u s (∫ |
|
ξ −2sdξ)1/2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|u(ξ)| = ∫ |
u(ξ) ξ s · ξ −se◦ıxξdξ |
|
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ãäå |
u |
|
(R) |
, следует оценка (20.3) |
. Åñëè |
u |
|
H |
s |
, un |
|
|
è |
un |
|
|
u |
s |
|
|
0 |
, òî â ñèëó (20.3) |
v |
C |
0 , |
|||||||
|
S |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
− |
→ |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷òî un − v (0) → 0 è v (0) ≤ C u s . Ò.ê. u − v L2(Ω) ≤ CΩ( u − un s + un − v (0)) → 0 , òî |
u = v |
|||||||||||||||||
ï.â. |
|
|
|
|
|
|
|
u |
H1(R2) . Тем самым, |
|
|
(Rn) не вкладывается| | |
|
|||||
è φ(x) = 0 ïðè x > 2/3 . Показать,| | ÷òî |
Hn/2 |
â |
||||||||||||||||
Задача 4.3 Пусть u(x) = φ(x) ln |
|
ln x |
|
, ãäå |
x |
R2 |
, à φ C0∞(R2) , причем < φ(x) = 1 ïðè x < 1/3 |
|||||||||||
C(Rn) . |
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 4.4 Проверить, что δ Hs(Rn) ïðè s < −n/2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Теорема 4.2 (Соболева о следаx) |
Пусть |
s > 1/2 . Тогда для любой (вообще говоря, разрывной) |
||||||||||||||||
функции u Hs(Rn) определен след |
γu Hs−1/2(Rn−1) , который в случае непрерывности функции |
u |
||||||||||||||||
совпадает с ограничением u xn=0 |
|
функции u íà |
|
|
s n |
xn |
= 0 |
|
|
C < ∞ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гиперповерхность |
|
|
. Ïðè ýòîì |
|
, ÷òî |
||||
|
|
γu s′ −1/2 ≤ C u s |
u H (R ), |
|
|
|
|
|
(4.5) |
|||||||||
ãäå · σ′ |
норма пространства |
Hσ(Rn−1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17
|
|
Пусть x = (x′, xn) Rn−1 × R . Äëÿ u S(Rn) |
имеем: u(x′, 0) = |
|
◦ |
|
[∫ |
R u(ξ′, ξn)dξn |
] |
dξ′ |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Rn−1 eıx′ξ′ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Поэтому ( |
|
γu |
|
s′ |
|
|
|
1/2)2 = |
|
|
Rn−1 |
|
ξ′ |
2s−1 |
× |
|
|
|
R u(ξ′, ξn)dξn |
|
2 dξ′ . Далее, |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
e |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ξ |
2s |
|
|
|
|
2 |
dξn |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(ξ′, ξn)dξn |
|
|
≤ A(ξ′) ∫ |
|
|
|u(ξ)| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ãäå |
A(ξ′) |
= |
|
|
ξ |
|
− |
2s |
dξn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s+1/2 |
, à |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + z2) |
− |
sdz < |
|
|
|
ïðè |
|
s > 1/2 ; ( z = ξ (1 + ξ |
′ |
|
2) |
− |
1/2 ). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cs ξ′ − |
e |
|
|
|
|
|
|
Cs = C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hs( |
R |
n) |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Поэтому |
|
γu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
C |
|
u |
|
|
|
äëÿ |
u |
|
S |
|
. Åñëè |
|
u |
|
|
è |
|
lim |
|
u |
u |
|
= 0 , ãäå |
u |
n S |
, òî |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
s′ −1/2 |
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
n − s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
w Hs−1/2(Rn−1) , ÷òî |
|
γun − w s′ −1/2 |
→ 0 ; ïðè ýòîì |
w не зависит от выбора последовательности |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
{un} . По определению |
|
γu = w ; при этом справедлива оценка (4.5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Определение 4.2 Оператор |
|
P = PΩ : |
|
S |
′( |
R |
n) |
|
f |
|
P f |
S |
′ |
(Ω) , ãäå |
|
Ω область в |
|
|
n , à |
|
|
|
P f, φ |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||
f, φ φ C0∞(Ω) , называется оператором сужения на область |
|
Ω распределений, заданных в |
Rn |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Определение 4.3 Обозначим через |
|
|
Hs(Ω) |
пространство |
|
PΩHs(Rn) , снабженное нормой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f s,Ω = inf Lf s, |
f Hs(Ω), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.6) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
где нижняя грань берется по всем продолжениям |
|
Lf Hs(Rn) функции f Hs(Ω) |
(ò.å. PΩLf = f ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если из контекста ясно, что речь идет о функции |
f Hs(Ω) , то наряду с f s,Ω будем писать f s . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Определение 4.4 Пространство |
Hs(Γ) , ãäå |
|
Γ = ∂Ω гладкая граница области |
Ω b Rn , åñòü ïî- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
полнение пространства |
|
|
C∞(Γ) по норме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ s,′ |
|
|
|
|
K |
φkρ s′ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Γ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.7) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь · s′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hs(Rn−1), |
|
|
|
φk ≡ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
норма пространства |
|
|
|
|
разбиение единицы, подчиненное конечному |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
покрытию |
|
|
|
K |
|
|
|
Γk |
= Γ |
, ãäå |
|
|
Γk = Ωk∩Γ |
, à |
|
Ωk |
|
|
∑ |
|
-мерная область, в которой не пересекаются норма- |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ëè ê |
Γ |
. Далее, функция |
|
φkρ C0∞(R |
n |
− |
1 |
) |
|
определяется по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(y′)) |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(φkρ)(y′) = φk(σk− |
(y′))·ρ(σk− |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ãäå σk диффеоморфизм |
|
Rn , (аффинный вне некоторого шара и) распрямляющий |
|
Γk . Это означа- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
åò, ÷òî äëÿ |
x Ωk |
n -ÿ координата |
|
|
yn = yn(x) точки |
|
|
y = (y′, yn) = σk(x) равна координате этой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точки на внутренней нормали к |
Γ . Если из контекста ясно, что речь идет о функции |
ρ Hs(Γ) , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
то наряду с |
ρ s,′ |
Γ |
будем писать также |
|
|
ρ s′ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hs(Γ) корректно, т.е. не за- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Замечание 4.1 Можно показать, что определение 4.4 пространства |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
висит от выбора покрытия, разбиения единицы и диффеоморфизмов |
σk . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 4.5 Пусть s > 1/2 . Показать, что оператор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
продолжается |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C(Ω) ∩ H (Ω) u 7→u Γ C(Γ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
до непрерывного оператора |
|
γ : Hs(Ω) |
|
→ |
Hs−1/2(Γ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Замечание 4.2 Функция |
|
γu Hs−1/2(Γ) , ãäå s > 1/2 , называется граничным значением функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u Hs(Ω) . Сравнительно нетрудно показать, что |
Hs−1/2(Γ) , ãäå s > 1/2 , является пространством |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
граничных значений функций из |
Hs(Ω) . Условие |
|
s > 1/2 существенно, как показывает пример функ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
öèè |
u H1/2(R+) , определ¼нной в задаче 4.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Замечание 4.3 |
|
|
Известная теорема Арцела утверждает, что если семейство |
|
{f |
} |
функций |
|
|
f |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, равномерно ограниченно ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω b Rn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C(Ω) , заданных в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f = M < ∞ f ) и равностепенно непрерывно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( ϵ > 0 δ > 0 , такое, что |
|
|f(x) −f(y)| < ϵ f , åñëè |x −y| < δ ), то из этого семейства |
{f} можно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
выбрать сходящуюся в |
|
|
C(Ω) |
подпоследовательность 26. С помощью этой теоремы можно доказать, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
εk = M/2k+1, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
26Вот доказательство для случая |
|
|
Ω = [0, 1] (общий случай вполне аналогичен). Пусть |
à |
δk |
таково, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
÷òî |
|f(x) − f(y)| < εk |
f , åñëè |
|
|x − y| < δk. Пусть сначала |
k = 1. Рассмотрим столбцы |
Pj = {jδ1 ≤ x ≤ (j + 1)δ1}. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Поскольку |
|f| ≤ const f , то в столбце |
P1 |
|
существует бесконечно много функций семейства |
{f} , графики которых |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лежат в каких-то двух соседних прямоугольниках высоты |
|
ε1. Продолжение их графиков в столбце |
P2 |
может быть лишь |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в 4-х соседних прямоугольниках высоты |
ε1. |
|
|
При этом, по крайней мере в двух соседних прямоугольниках высоты |
ε1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
находятся графики бесконечного числа функций семейства |
|
{f}. Продолжая этот процесс, получим дорожку |
|
|
S1 |
|
ширины |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2ε1, |
содержащую графики бесконечного подмножества функций семейства |
|
{f}. Обозначим это подмножество функций |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
через {f1} |
|
и зафиксируем одну из них |
f1 . |
|
Аналогичным образом выделим из семейства функций |
|
{f1} бесконечное |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подмножество функций |
{f2}, графики которых лежат в дорожке |
|
|
S2 |
|
|
ширины |
2ε2. Зафиксируем среди них одну |
|
f2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким же образом построим |
|
f3 , f4 . . . . |
Согласно построению, графики всех этих функций |
|
fn |
лежат в дорожке |
Sn |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ширины |
2εn. |
Тем самым, max f |
− |
f |
|
2ε |
n |
m > n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
Ω |
| |
n |
m| ≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
что справедлива
Теорема 4.3 (о компактности вложения) Пусть Ω b Rn , а последовательность
un Hs(Ω) (соотв. un Hs(∂Ω) ) такова, что un s ≤ 1 (соотв. un ′s ≤ 1 ). Тогда из вательности можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся в Ht(Ω) (соотв. в
t < s .
{un} функций этой последо- Ht(∂Ω) ), åñëè
Ÿ 5 Псевдодифференциальные операторы. Эллиптические задачи (основные факты)
Класс ПДО шире класса дифференциальных операторов. Он включает в себя операторы вида
|
|
Au(x) = ∫Ω K(x, x − y)u(y)dy, u C0∞(Ω). |
∑ |
|
|
. Еще одним примером ПДО являются сингулярные |
|
Здесь K S′(Ω × Rn) , причем K C∞(Ω × (Rn\0)) . Åñëè K(x, x − y) = |
aα(x) · δ(α)(x − y) , òî |
||
|
α |
|α|≤m |
|
|
|
интегральные операторы. |
|
Au(x) = |
∑ aα(x)∂ u(x) |
|
|
|
|
|α|≤m
Однако даже не конкретные важные примеры определяют то исключительное место в современной математической физике, которое занимает (оформившаяся в середине 60-х годов теория ПДО. Дело в том, что ПДО являются мощным и удобным средством изучения линейных дифференциальных операторов (в первую очередь, эллиптических).
Прежде чем привести соответствующие определения и результаты, поясним вкратце на простом примере основную идею, лежащую в основе применения ПДО. Рассмотрим в Rn эллиптическое диф-
ференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
∑
a(D)u ≡ |
aαDαu = f. |
(5.1) |
|α|≤m
Эллиптичность означает, что
am(ξ) ≡
Это эквивалентно условию
∑
|a(ξ)| ≡
|α|≤m
∑
aαξα ≠ 0
|α|=m
aαξα ≥ C|ξ|m
ïðè |ξ| ̸= 0.
ïðè |ξ| ≥ M 1. |
(5.2) |
Докажем следующий результат о гладкости решений уравнения (5.1). Если u Hs−1 è a(D)u Hs−m при некотором s , òî u Hs . Для доказательства этого факта достаточно всего навсего заме-
тить два момента. Во-первых, учитывая(5.2), можно вырезать особенность функции |
1/a с помощью |
||
множителя ρ C∞ , такого, что ρ ≡ 1 ïðè |ξ| ≥ M + 1, ρ ≡ 0 ïðè |ξ| ≤ M . Во-вторых, |
|||
(F−1(ρ/a)F)(F−1aF)u = u + (F−1τF)u, ãäå τ = ρ |
− |
1. |
(5.3) |
|
|
|
|
Поэтому ввиду очевидных неравенств |
|
|
|
|ρ(ξ)/a(ξ)| ≤ C(1 + |ξ|)−m, |τ(ξ)| ≤ CN (1 + |ξ|)−N N ≥ 1, |
(5.4) |
||
влекущих за собой неравенства |
|
|
|
(F−1(ρ/a)F)f s ≤ C f s−m, (F−1τF)u s ≤ C u s−N , |
(5.5) |
||
имеем в итоге так называемую априорную оценку |
|
|
|
u s ≤ C ( f s−m + u s−1) , f = a(D)u, u Hs, |
|
(5.6) |
ãäå C не зависит от u . Из (5.6) следует указанный выше результат о гладкости решений эллиптического
уравнения (5.1). Название априорная для оценки (5.6) решения уравнения (5.1) связано с тем, что она (может быть) установлена до выяснения вопроса о разрешимости уравнения (5.1), т.е. a priori.
19
Простота приведенного вывода априорной оценки (5.6) достаточно ярко характеризует роль операторов вида F−1aF . Такие операторы называются псевдодифференциальными , построенными по символу
a = a(ξ) . Мы будем их обозначать также через Op(a(ξ)) |
èëè |
a(D) . В зависимости от класса симво- |
||||||||||||||||
aα(x)Dx u(x) . Åñëè a(x, ξ) функция, положительно ∑ |
|
|
|
|
ξ |
|
a(x, tξ) = |
|||||||||||
лов получается тот или иной класс ПДО. Если a(x, ξ) = |
aα(x)ξα , òî a(x, D)u(x) = Op(a(x, ξ))u(x) = |
|||||||||||||||||
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
однородная нулевого порядка по |
|
, ò.å. |
|
|||||
a(x, ξ) |
äëÿ |
t > 0 |
, òî |
a(x, D) = Op(a(x, ξ)) |
это сингулярный интегральный оператор, а именно: |
|||||||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Op(a(x, ξ))u(x) = b(x)u(x) + lim |
|
c(x, x − y) |
u(y)dy. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϵ→0 ∫|x−y|>ϵ |x − y|n |
|
|
|
||||||
Здесь |
c(x, tz) = c(x, z) ïðè |
t > 0 è |
|z|=1 c(x, z)dz |
= 0 . В частности, в одномерном случае, когда |
||||||||||||||
a(ξ) = a+θ+(ξ) + a−θ−(ξ) , ãäå |
θ+ |
функция Хевисайда, а |
θ− = 1 − θ+ , имеем: |
|
|
|
||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Op(a(x, ξ))u = |
a+ + a− |
u(x) + |
i |
v.p. |
a+ − a− |
u(y)dy, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2π |
∫ |
x − y |
|
|
|
что вытекает из (3.11).
Ÿ 6 Три основных принципа линейного анализа: теорема Банаха Штейнгауза, теорема Банаха об обратном операторе и теорема Хана Банаха
Мы говорили, что пространство S′ является сопряженным к S. Вот общее
Определение 6.1 Если X линейное топологическое пространство, то пространство X′ непре- рывных линейных функционалов на X называется сопряженным к X .
Замечание 6.1 Наряду с обозначением X′ употребляют X , а также такие: L(X; R) è L(X; C), которые конкретизируют является ли пространство X′ вещественным или комплексным.
В случае нормированного пространства X , его сопряженное X′ определялось ранее в параграфе 2, посвященном пространствам Рисса Lp è Lploc , где приводились примеры и задачи. Вспомним некоторые.
Задача 6.1 Проверить, что (Rn)′ = L(R; R) изоморфно Rn.
Указание. Любой непрерывный линейный функционал (функция) на R задается формулой R x 7→ax, ãäå a вещественное число. И обратно, любое вещественное число a задает непрерывный линейный функционал R x 7→ax R.
Задача 6.2 Проверить, что пространство X′ , снабженное нормой |
|
f |
|
′ |
= sup |
x X |
| f,x | |
, |
f |
|
X′, |
||||||||||||||||||||||
является банаховым. Здесь f, x |
значение |
f íà x X . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||
X полнота не требуется. Но существенно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Указание. В данном случае от нормированного пространства |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
используется полнота числового поля ( R или C ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Определение 6.2 L∞(Ω) это пространство существенно ограниченных функций в Ω , т.е. про- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
странство тех функций f Lloc1 (Ω) , для которых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
f |
|
inf sup |
f(x) |
| |
< |
∞ |
, |
|
µ(Ω |
\ |
ω) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.1) |
||||||||
|
|
|
∞ = ω Ω x ω | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие (6.1) означает, что почти всюду функция |
f ограничена, т.е. существует такое |
M < ∞ , |
|||||||||||||||||||||||||||||||
÷òî |f(x)| ≤ M почти всюду; при этом |
f ∞ = inf M . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Задача 6.3 Изобразить график функции |
D1 : x 7→ x, |
|
x Q, |
|
|
и найти |
|
D1 |
|
∞ . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{0, |
|
x |
|
R |
\ |
Q. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 6.4 Проверить, что формула (6.1) задает норму, а пространство |
|
L∞(Ω) , снабженное этой |
|||||||||||||||||||||||||||||||
нормой, является банаховым. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Замечание 6.2 Çíàê ∞ в обозначении пространства и нормы (6.1) |
оправдан тем, что |
f ∞ = |
|||||||||||||||||||||||||||||||
plim f p , åñëè Ω b Rn , ò.å. |
Ω |
компакт в |
Rn. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20