M3_10_14
.pdf
2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы
2. Выяснить, является ли ограниченной последовательность (xn ). Ответ обосновать.
5n 2
а)(2) xn = 3n 1 ;
б)(2) |
xn = |
|
n |
; |
|
|
|||||
n2 1 |
|||||
в)(2) |
x = |
|
n2 |
1 |
. |
|
|
|
|||
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
3(3). В геометрической прогрессии сумма первого и последнего членов равна 6, а сумма всех членов равна 63. Найти число членов этой прогрессии, если известно, что при умножении каждого члена прогрессии на номер этого члена получается арифметическая прогрессия.
4(3). Найти четыре числа, первые три из которых составляют геометрическую прогрессию, а последние три – арифметическую, если сумма первого и четвертого чисел равна 21, а сумма второго и третьего чисел равна 18.
5(3). (ВМК 1994г.) В начальный момент лечения пациенту была произведена первая инъекция 6 единиц некоторого лекарства, а во время каждой последующей инъекции ему вводится 4 единицы того же лекарства. За время между инъекциями количество лекарства в организме уменьшается в 5 раз. Какое количество лекарства будет содержаться в организме пациента сразу после 30 инъекции?
6(2). Доказать по определению, что lim |
n |
|
= |
1 |
. |
|
2n 1 |
2 |
|||||
n |
|
|
||||
7(2). Известно, |
что limxn = 0, а последовательность ( yn ) ограниче- |
||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
нна. Доказать, что limxn yn = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
xn = ( 1) |
n |
|
1 |
|
|
8(3). Доказать, |
что последовательность (xn ), где |
1 |
|
|
, |
||
|
|||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
расходящаяся.
2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
31
2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы
9(7). Найти
а)(2) |
lim |
(n 1)3 |
n3 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 2 |
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б)(2) |
lim |
n2 |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в)*(3). Найти |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||
1 |
|
2 |
|
3 4 |
n (n |
1) |
||||||||||||
|
|
|
|
n |
2 |
|
3 |
|
|
|
||||||||
Указание: нужно представить каждое слагаемое в виде разности дробей.
10*(3). Найти предел последовательности (xn ), заданной рекуррен-
тным соотношением: x |
|
2 |
1 |
, x 2. |
|
|
|||
n 1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
xn |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11(2). Найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
x 3 |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x 1 |
2 |
|||||
|
|
x 3 |
|
|
|||||
12(4). Пусть
f(x) = x2 3x x 3
а)(2) Построить график функции y = f (x).
б)(2) Выяснить, в каких точках функция y = f (x) непрерывна.
2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна
32