Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

M3_10_14

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

849.06 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

§3. Предел последовательности

При увеличении n члены последовательности xn = 1 / n становятся сколь угодно малыми, неограниченно приближаются (стремятся) к нулю. Логично считать, что ноль – предел последовательности (xn ) .

Однако такого интуитивного понимания в более сложной ситуации может оказаться недостаточно. Мы должны точно сформулировать, что означает слово «предел» на языке чисел. Строгое определение предела было сформулировано довольно поздно – только в середине XIX века. Дело в том, что в отличие от используемых ранее «назывных» определений (типа определения равнобедренного треугольника) здесь описывается процесс изменения величины: пробегая по ряду натуральных чисел 1, 2 , 3, , n, , мы наблюдаем за поведением xn . Такие по-

нятия плохо формализуются.

Попытаемся понять, что следует предпринять, чтобы проконтролировать утверждение « xn стремится к a ». Изобразим члены последова-

тельности на числовой оси и отметим на ней точку a . Представим ситуацию образно: будем делать фотографии a каждый раз с новым оптическим увеличением. Число a будет пределом последователь-

ности xn , если a «друг» xn : на любой такой фотографии окажутся все xn , начиная с некоторого номера.

Проиллюстрируем сказанное на примере последовательности xn = 1 / n . В качестве «фотографии» a = 0 можно взять симметричный интервал ( , ) 1. Оптическому увеличению соответствует уменьшение . Пусть k 1 / , тогда 1/ n < при n > k и, следовательно, член

xn попадает	на	«фотографию», т. е.		< xn < .	Например,		при
= 1 / 100	все	члены	x101,x102 , ,	окажутся	в	интервале
( 1/100, 1/100) ,		при = 1 / 1000 уже только члены			x1001 ,	x1002 ,	,
окажутся в интервале ( 1/1000, 1/1000) и т. д.
Определение.		Число a	называется пределом последовательности

(xn ) , если для любого положительного числа	найдётся такое дей-
ствительное число k , что при всех n > k выполняется неравенство
\| xn a \|< .	(3.1)

1 греческая буква «эпсилон».

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

В этом случае пишут lim xn = a (читается: предел xn при n , стре-

мящемся к бесконечности, равен a ). Последовательность, называется сходящейся, если существует число a , являющееся её пределом. Если такого числа a не существует, то последовательность называется рас-

ходящейся.

Замечание. Часто в определении предела полагают число k натуральным. Однако, как нетрудно понять, получится определение, эквивалентное данному нами определению предела.

Выясним геометрический смысл понятия предела. Для положительного числа интервал (a , a ) называется - окрестностью точ-

ки a. Неравенство (3.1) равносильно двойному	неравенству
< xn a < или
a < xn < a .	(3.2)

Неравенство (3.2) показывает, что все члены последовательности (xn ) с номерами n > k попадают в окрестность точки a . В опре-

делении предела число может быть любым (сколь угодно малым), поэтому произвольная (сколь угодно малая) окрестность точки a содержит все члены (xn ) за исключением, быть может, конечного числа

(рис. 2а). На уровне графика последовательности это означает, что вне сколь угодно узкой полосы между прямыми x = a и x = a

может оказаться лишь конечное число точек графика (xn ) (рис. 2б).

a+ a

xn+1

x1 x2 a- xn a

a+ x3

O 1 2 3

n n+1

а)

б)

Рис. 2

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

Замечание. В определении предела выбор числа k , вообще говоря, зависит от . Чтобы подчеркнуть это, иногда пишут k = k( ) . Дока-

зать, что последовательность (xn ) имеет предел, фактически означает

найти функциональную зависимость k от . Вообще, определение предела по виду напоминает нескончаемую дискуссию между двумя лицами A и B : A задаёт точность приближения , в ответ B указывает число k , с которого эта точность достигается, т. е. выполняется неравенство (3.1) при всех n > k ; A уменьшает точность, B указывает новое k и т. д.

Пример 3.1. Пусть xn = c постоянная последовательность. Дока-

зать, что limxn = c .

Решение. Пусть выбрано произвольное > 0 . Нам нужно найти такое число k , что при всех n > k выполнялось бы неравенство | xn c |< . Но это неравенство равносильно следующему: | c c |< , или 0 < , что выполняется для всех номеров n . Это означает, что в качестве k можно выбрать любое число, например, k = 0 . Тогда для лю-

бого	n > k имеет место неравенство \| xn c \|< . По определению
limxn	= c.
n

Замечание. В разобранном примере число k удалось выбрать так, чтобы оно годилось сразу для всех . . Такой случай не типичен.

Пример 3.2. Доказать, что lim 1 = 0 .

n n

Решение. Пусть фиксировано произвольное > 0 . Нам нужно найти такое число k , что при всех n > k выполнялось бы неравенство

| 1n 0 |< , или n > 1 / . Выберем k = 1/ . Тогда при n > k имеем:

1n 0 = 1n < 1k = .

По определению lim 1 = 0 .

n n

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

Вопрос.	Пусть	limxn = a , > 0			и	число k	такое	что
		n
xn (a , a )		при n > k. Можно ли утверждать, что в интервале
(a ; a )	нет ни одного из чисел xn ,				n k ?
Ответ. Нет. Приведём соответствующий пример. Определим
			1
				при n чётном;
				при n чётном;
		xn	= n
				при n нечётном.
			0	при n нечётном.
Последовательность			(xn )	имеет предел,		равный	нулю.	Пусть
= 0,01, тогда все члены с номерами					n > 100 попадают в интервал

( ), а, например, член x100 = 0,01 уже не попадает в него. Однако члены x1 , x3 , , x99 с нечётными номерами тоже лежат в ( ).

Наглядное представление о пределе можно получить, считая, что xn какие-то физические величины, которые мы можем измерять с определённой точностью, допускаемой приборами. Пусть есть точность прибора, тогда неравенство | xn a |< означает, что мы не смо-

жем отличить xn	от a. Таким образом, условие lim xn = a означает,
	n

что при любой точности измерения последовательность (xn ) , начиная

с некоторого номера, не отличается от постоянной последовательности a , a , a , ... .

Вопрос. Могут ли два разных числа быть пределами одной и той же последовательности?

Ответ. Нет. Предположим, что два разных числа a и b являются пределами одной и той же последовательности (xn ) и пусть, например, b > a . Положим = (b a) / 3 , тогда -окрестности точек a и b не пересекаются (сделать чертёж!). Ввиду условия найдутся такие числа

k1 и k2 , что при всяком n > k1	член xn лежит в -окрестности точки
a и при всяком n > k2 член xn	лежит в -окрестности точки b . Если

теперь взять какое-нибудь n > max{k1,k2}, то окажется, что xn лежит

одновременно в -окрестности точки a и в -окрестности точки b , а это невозможно, поскольку окрестности не пересекаются.

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

Пример 3.3. Доказать, что если | q |< 1, то limqn = 0.

Решение. Если q = 0 , то qn = 0 при любом n , в этом случае утверждение очевидно.

Для случая q 0 предварительно установим одно вспомогательное

неравенство. По условию \| q \|< 1, тогда	1		> 1 и, значит,	1		= 1
	\| q	\|		\| q	\|

для некоторого > 0 . Возводя обе части последнего неравенства в сте-

пень n , получим	1	= (1 )n . Поскольку > 0 , то все слагаемые,

	n
	\| q \|

которые получаются после раскрытия скобок и приведения подобных членов в (1 )n , являются положительными. Одним из слагаемых яв-

ляется2 n , поэтому справедливо

= (1

)n > n и, значит,

| q |

| q |n

(3.3)

С помощью полученного неравенства докажем, что limqn = 0.

Мы должны показать,

что для любого > 0 существует число k ,

такое что при всех n > k

выполняется неравенство | qn 0 |=| q |n < .

Выберем k =

, тогда при n > k

n >

2 Действительно, (1 )n это произведение n сомножителей 1 :

(1 )(1 ) (1 ).

Член получается только в случае, когда из одной скобки мы берем , а из остальных - 1. Поскольку у нас всего n скобок, то после перемножения мы

получим n слагаемых вида 1n 1 , т. е. коэффициент перед равен n .

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

и в силу (3.3) \| qn 0 \|=\| q \|n <	1	< , что и требовалось доказать.
	n

Отметим, что в параграфе 4 (пример 4.1) будет дано другое доказательство.

Вопрос. Пусть limxn = a , > 0 . Можно ли утверждать, что найдётся
n
такое число k , что \| x a \|<		при всех n > k ?
n	2
	2
Ответ. Да. Поскольку limxn		= a , то по определению предела для лю-
	n

бого положительного числа , а следовательно, и для = / 2 , найдётся число k , такое что | xn a |< при всех n > k .

Сформулируем необходимое условие существования предела, доказательство которого приводится в следующем параграфе.

Теорема 3.1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Пример 3.4. Доказать, что последовательность xn = n2 не имеет

предела.

Решение. В примере 1.5 было показано, что данная последовательность не является ограниченной. По теореме 3.1 заключаем, что после-

довательность (xn ) расходится.

Следующий пример показывает, что ограниченная последовательность может и не иметь предела, т. е. обратное утверждение к теореме 3.1 неверно.

Пример 3.5. Доказать, что последовательность xn = ( 1)n не имеет

предела.

Решение. Предположим противное, т. е. какое-то число a является


пределом этой последовательности.		Тогда для = 1 найдётся такое
число	k , что \| xn a \|< 1 при всех	n > k . Пусть номер N > k , тогда
\| xN 1	a \|< 1 и \| xN 2 a \|< 1. Но одно из чисел xN 1		и	xN 2 равно 1, а
другое равно –1. Поэтому \| 1 a \|< 1 и \|1 a \|< 1,			т.	е. одновременно

0 < a < 2 и 2 < a < 0 . Полученное противоречие показывает, что последовательность (xn ) расходится.

При вычислении пределов на практике редко пользуются определением. Обычно применяют стандартные предельные равенства (см. примеры 3.2 и 3.3) и следующую теорему об арифметических операциях с пределами.

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

Теорема 3.2. Если последовательности (xn ) и ( yn ) сходятся, то

сходятся и			последовательности				(xn yn ) ,	(xn yn ) и xn / yn (в
последнем случае предполагается yn							0, lim yn	0 ). При этом
							n
1)	lim (xn		yn ) = lim xn			lim yn ;
	n			n		n
2)	lim (xn		yn ) = (lim xn ) (lim yn ) ;
	n			n		n
		xn		lim xn
3)	lim	xn	=	n	.
3)	lim		=		.
	n yn			lim yn
				n

Доказательство теоремы 3.2 обсуждается в следующем параграфе.

Пример 3.6. Доказать, что постоянный множитель можно выносить

за знак предела, т. е. lim cxn	= c lim xn для любого c R .
n	n

Решение. В самом деле, рассмотрим последовательность yn = c .

Поскольку lim yn = c (пример 3.1), то по теореме 3.2 2)

lim cxn = lim c lim xn = c lim xn .
n				n		n			n
Пример 3.7. Показать, что lim					1	= 0 .

			n n2
Решение. Поскольку lim		1		= 0 , то по теореме 3.2 2)

n n
lim	1			= lim		1	lim	1	= 0.

n n2				n n			n n

Замечание. Теорему 3.2 можно обобщить на произвольное (конеч-

ное) число слагаемых (сомножителей). В частности, lim 1m = 0 для

n n

любого m N.

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

	(n 2)3	n(n 1)2
Пример 3.8. Найти lim			.
	n2
n		11

Решение. Обозначим дробь, стоящую под знаком предела, через xn . В числителе и знаменателе xn стоят последовательности, не являющиеся ограниченными (доказывается аналогично примеру 1.5). По тео-

реме 3.1 они	не	имеют предела	и теорема о пределе	частного
(теорема 3.2	3) )	«напрямую»	здесь неприменима.	Поступим

следующим образом: поделим числитель и знаменатель на наибольшую

степень

n .

По

формулам

сокращённого

умножения

(n 2)3 n(n 1)2= 8n2 11n 8 , так что x

можно переписать в виде:

8n2 11n 8

n2 (8

)

x =

n2 11

n2 (1

)

Теперь в числителе и знаменателе xn

стоят сходящиеся последователь-

ности:

lim

= lim 8 11lim

8 lim

= 8,

n n2

n n

n n2

lim

= lim1 11lim

= 1.

n n2

По теореме 3.2 3)

lim

lim xn = lim

= 8.

lim

Ответ. 8.

Определение.

Геометрическая прогрессия

(xn ) называется беско-

нечно убывающей,

если | q |< 1,

где

q знаменатель прогрессии. Сум-

мой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется

число S = lim Sn , где Sn сумма её первых n членов.

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

Пример 3.9. Доказать, что если геометрическая прогрессия (xn ) с показателем q является бесконечно убывающей, то её сумма равна

x1 .

1 q

										qn 1						x		qn				x
Решение. Так как S					= x									=			1					1		, то
Решение. Так как S					= x									=								q		, то
				n				1 q 1								q	1			1		q
	S = lim Sn =												x1		lim qn lim								x1		=
	S = lim Sn =														lim qn lim							1			=
			n									q 1 n								n		1	q
					=				x1			0				x1		=		x1		.
					=							0			1 q			=				.
						q 1									1 q				1 q
Пример 3.10. Записать значение выражения																							1,7(5) = 1,7555 в
виде обыкновенной дроби.
Решение. Имеем
																						5
	7			5					5				5					17								17	1		79
1,7(5) = 1	7			5					5				5				=	17			102			=		17	1	=	79	.

		102					103
10		102					103				104							10		1			1	10			18		45
																				1			10

Ответ. 79/45.

Следующее полезное свойство пределов известно под названием

теоремы о «зажатой» последовательности.

Теорема 3.3. Пусть (xn ), ( yn ) и (zn ) такие последовательности,

что xn yn zn	при всех n N и limxn	= limzn	= a . Тогда limyn = a .
	n	n	n

Доказательство. Для данного > 0 существует такое число k1 , что члены xn лежат в интервале (a , a ) при всех n > k1 , и сущест-

вует такое число k2 , что члены zn			лежат в интервале (a a )				при
всех n > k2 . Положим k = max{k1 ,k2 } .				Тогда при	n > k	одновременно
xn (a a )	и	zn (a a )			и,	следовательно,
a < xn yn zn	< a , т.		е.	yn (a a ) , что			и
требовалось.

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

Пример 3.11. Дана последовательность

xn	=	1		1		1		.


		n2	1	n2	2	n2	n

Доказать, что lim xn = 1.

Решение. Попробуем «зажать» xn между членами последователь-

ностей, сходящихся к одному и тому же числу, и применим теорему 3.3.

Заметим, что	1		наибольшая, а	1	наименьшая дробь


	n2	1		n2 n

суммы xn . Тогда верна оценка n

n2 n

Поскольку n2 n < n2 2n 1, тогда

n2 n < n 1

n2 n

n 1

n2 n

n 1

Учитывая

= 1 , получаем:

n2 1

< 1 .

n 1

n2 n

n2 1

Поскольку

limxn = 1 .

lim	n	= lim		1		= 1	и	lim1 = 1, по теореме 3.4

				1
n n 1		n		1				n
			1
			1		n

§4*. Теоремы о пределах

Этот параграф посвящён доказательству основных теорем теории пределов. Формулировки некоторых из них были приведены в параграфе 3.

Доказательство теоремы 3.1. Пусть limxn = a . Покажем, что после-

довательность (xn ) ограничена. Согласно примеру 1.3 для этого

достаточно показать, что все её члены лежат на некотором отрезке. Возьмём = 1. Тогда по определению предела найдётся число k такое,

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015550.54 Кб3LM1117.pdf
#
03.06.201520.96 Mб99M.A.Leontovich-термодинамика и стат физика.pdf
#
03.06.2015688.23 Кб78M1_10_14.pdf
#
03.06.2015504.99 Кб117M1_11_2012.pdf
#
03.06.2015581.89 Кб46M1_8_14.pdf
#
03.06.2015849.06 Кб71M3_10_14.pdf
#
03.06.2015603.08 Кб50M3_8_14.pdf
#
03.06.2015364.31 Кб62M3_8_2010.pdf
#
03.06.2015654.44 Кб54M4_10_14.pdf
#
27.03.2016653.19 Кб72M4_10_15.pdf
#
03.06.2015441.25 Кб64M4_8_2010.pdf