Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

M3_10_14

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

849.06 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

что

все

члены

(xn )

номерами

n > k

попадают

интервал

(a 1 a 1) .

За

пределами этого

интервала

может

оказаться

лишь

конечное число членов x1 ,

x2 ,

, xN , где N наибольший из номеров

n k . Добавим к этому набору числа

a 1 и

a 1 и из полученного

набора чисел выберем наименьшее (обозначим его через

m ) и

наибольшее (обозначим его через M ). Тогда отрезок [m M ]

содержит

уже все члены данной последовательности: m xn

M для всех n .

При доказательстве теоремы об арифметических операциях с

пределами будем использовать определение предела и неравенство

| x y | |

x | | y | .

(4.1)

Доказательство теоремы 3.2. Пусть lim xn

= a и limyn

= b.

Докажем, что

lim(xn

yn ) = a b . Пусть выбрано произвольное

> 0 . Нам

нужно

показать,

что

найдётся

такое

число

k ,

что

| xn yn a b |<

при всех n > k . По условию найдутся числа k1 и

такие, что | x a |< ,

как только n > k , и

| y

b |<

как только

n > k2 .

Положим k = max{k1, k2}.

Тогда

по

неравенству

(4.1)

при

n > k имеем:

| (xn yn ) (a b) |=| (xn a) ( yn b) |

| x a | | y

b |<

= ,

что и требовалось.

II.

Докажем,

что

lim(xn yn ) = ab .

Фиксируем произвольное

> 0 .

Нам

нужно

показать,

что

существует

такое

число

k ,

что

| xn yn ab |<

при всех

n > k .

По теореме 3.1

последовательности

(xn )

и ( yn ) ограничены; тем самым найдётся такое C > 0 , что | xn | C

и |

yn | C при всех n , а также | a | C , | b | C . Заметим, что

и, следовательно, по неравенству (4.1)

| xn yn ab | | xn | | yn b | | b | | xn a | .

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

Ввиду условия существует число k

такое, что

| x

a |<

для

всех n > k ,

а также число k

такое, что

| y b |<

для всех n > k

Если положить k = max{k1, k2}, то при n > k имеем:

| x y ab | | x | | y b | | b | | x a |< C

= ,

n n

что и требовалось.

Для доказательства оставшегося пункта теоремы нам потребуется

следующий факт.

Лемма 4.1. Если

yn 0 и

lim yn = b 0 ,

то последовательность

(1/yn ) ограничена.

Доказательство

леммы

4.1.

Положим

в определении

предела

| b |

. Тогда существует такое число k , что | y

b |<

| b |

при всех

n > k . Из неравенства (4.1)

вытекает,

что

| yn b | | b | | yn | .

Следовательно, при всех n > k имеем

| b |

| y

| b |

Пусть N	наибольший из номеров n k . Добавим к членам 1 / y1 ,
1/y2 , , 1/yN	числа	2/b и 2/b и из полученного набора выберем
наименьшее (обозначим его через			m ) и наибольшее (обозначим его
через M ).	Тогда	отрезок	[m M ] содержит все члены

последовательности (1/yn ) , что и требовалось.

Поскольку xn / yn = xn (1/ yn ) , пункт 3) теоремы 3.2 вытекает из

леммы 4.1 и следующего утверждения, доказательство которого оставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.

Утверждение. Если yn 0	и lim yn = b 0 , то	lim	1	=	1	.

	n	n yn			b

В теории пределов важную роль играет следующий факт, доказательство которого не приводим.

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

Теорема 4.2. (Вейерштрасса). Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Эта теорема эквивалентна свойству полноты множества действительных чисел. Образно говоря, свойство полноты состоит в том, что на числовой оси нет «проколов» и «дырок».

Вопрос. Пусть limxn = a . Имеет ли предел последовательность

(xn 1) ?

Пример 4.1. Используя теорему Вейерштрасса, доказать, что если

\| q \|< 1	, то	qn = 0 .
	lim
	n
Решение. Для q = 0 утверждение очевидно. Пусть q (0, 1) , тогда
		xn 1 = q xn ,	(4.2)
следовательно, xn 1 < xn при всех n , т. е. последовательность			(xn )

является строго убывающей. В частности, xn < x1 при всех n . Кроме того, очевидно xn > 0 при всех n , т. е. последовательность (xn )

ограничена. По теореме 4.2 существует lim xn . Обозначим его через a .

Тогда, переходя к пределу в равенстве (4.2), получаем a = q a , т. е. a = 0. Пусть теперь q ( 1, 0) , тогда справедливо неравенство

| q |n qn | q |n .

Поскольку | q | (0, 1) , то по доказанному выше lim | q |n = 0 , тогда

согласно примеру 3.6 и lim( | q |n ) = 0 . По теореме о «зажатой»

последовательности (теорема 3.3) limqn = 0 , что завершает доказательство.

Дадим обоснование одного способа приближённого извлечения квадратных корней, встречавшегося еще в древних вавилонских текстах.

Пример 4.2. Последовательность (xn ) задана рекуррентно
		1			a
x	=	1	x		a	,	(4.3)
x	=		x			,	(4.3)
n 1	2			n
	2				xn


где x1	> 0 , a > 0 . Доказать, что limxn = a .
	n

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

Решение. Поскольку

x1 > 0 и a > 0 , все члены последовательности

положительные. Применяя неравенство (c d )/2 cd для среднего

арифметического и среднего геометрического, из (4.3) получаем:

= a,

n 1

т. е. xn

a для всех n 2 . Отсюда вытекает, что

a x2

n 1

2xn

т. е. последовательность (xn )

является

нестрого

убывающей при

n 2 . Кроме того, (xn )

ограничена:

a xn x2 для всех n 2 . По

теореме

4.2 существует

lim xn

= b

и по теореме

3.4

b a > 0 .

Переходя в равенстве (4.3)

к пределу,

получаем b =

) , откуда

b2 = a и, значит, b = a .

§5. Понятие о пределе функции. Непрерывность функции

Пусть функция y = f (x) определена на некотором интервале, содержащем точку a R , за исключением, быть может, самой точки a .3

Определение. Число A называется пределом функции y = f (x) в

точке a , если для любой последовательности (xn ) из области её опре-

деления такой, что	xn a		и	limxn = a, выполняется равенство
				n
lim f (xn ) = A.
n
Обозначение: lim f (x) = A, или				f (x) A при x a .
x a

3 Например, функция	y =	sin x	определена на любом интервале, содержащем
3 Например, функция	y =		определена на любом интервале, содержащем

точку 0 , кроме самой точки 0.

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

Замечание. В определении предела рассматриваются значения xn ,

не равные a, поэтому в самой точ-

ке

функция

y = f (x)

может

быть не определена; если значение

f (x1)

f (a) определено, то оно

не

обязано совпадать с A . К тому же,

f (x2)

поскольку

последовательность

f (xn)

( f (xn )) имеет не более одного

предела,

получаем,

что

если

a xn x2

функция

y = f (x)

имеет

предел

Рис. 3

при

x a,

то

этот

предел

единственный.

На рисунке изображена лишь одна последовательность (xn ) , которая

к тому же является монотонной. Важно понимать, что lim f (xn ) = A

для любой последовательности (xn )			с условием xn a и limxn		= a.
			n
Пример 5.1. Доказать, что limx = a.
		x a
Решение. Очевидно		функция	f (x) = x определена	на	любом
интервале,	содержащем	a . Выберем произвольную последователь-
ность (xn )	такую, что xn	a и limxn = a . Тогда f (xn ) = xn и, значит,
		n

lim f (xn ) = a.

Пример 5.2. Доказать, что постоянный множитель можно выносить

за знак предела, т. е. если lim f (x) = A, то	lim cf (x) = cA	для любого
x a	x a
c R.
Решение. Пусть функция y = f (x)	определена на	некотором

интервале, содержащем a . Выберем из этого интервала произвольную

последовательность (xn ) такую, что xn	a и limxn = a . Тогда из
	n

примера 3.6 следует lim cf (xn ) = c lim f (xn ) = cA, что и требовалось.
n	n

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

	Пример 5.3. Доказать, что при a > 0 lim
			x =	a .
		x a
					x 0
	Решение. Функция f (x) = x определена при					и, следова-
тельно, определена на некотором интервале,			содержащем a . Выберем
из этого интервала произвольную последовательность (xn )						такую, что
xn	a и limxn = a . Нам нужно показать, что
			lim	xn	= a . Фиксируем
	n		n

произвольное > 0 , тогда найдётся такое число k , что при n > k выполняется неравенство | xn a |< a . Следовательно,

| ( xn a )(

a ) |

| xn

a |

| xn

a |=

< ,

что и требовалось.

Пример 5.4. Доказать, что lim

= 2.

x 1 x

Решение. Функция f (x) =

x2 1

определена на любом интервале,

x 1

содержащем x = 1, кроме этой точки. Поскольку при x 1 имеет место

равенство f (x) = x 1,		то для любой последовательности (xn ) такой,
что xn	1 и lim xn = 1	выполняется lim f (xn ) = lim xn 1 = 2 .
	n	n	n

При решении последних примеров мы повторяли одни и те же рассуждения. Их можно применить при доказательстве свойств пределов функций и в дальнейшем при вычислении уже пользоваться этими свойствами.

Теорема 5.1. Пусть функции y = f (x) , y = g(x) определены на некотором интервале, содержащем точку a R , за исключением, быть

может, самой точки a , lim f (x) = A и lim g(x) = B . Тогда
	x a				x a
1)	lim( f (x) g(x)) = A B
	x a
2)	lim f (x)g(x) = AB
	x a
3) если дополнительно g(x) 0 при x a , B 0 , то
	lim	f (x)	=	A	.
	lim		=		.
	x a	g(x)		B

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

Доказательство. Приведём доказательство лишь для свойства 2).

Остальные свойства доказываются аналогично.
Пусть некоторая произвольная последовательность	(xn ) из интер-
вала, на котором определены функции, такова, что xn	a и limxn = a .
	n

Тогда по определению предела функции lim f (xn ) = A и	limg(xn ) = B .
n	n
По теореме 3.2 2) lim f (xn )g(xn ) = AB. В силу произвольности после-
n

довательности (xn ) и определения предела функции получаем, что

lim f (x)g(x) = AB.

x a

Определение. Пусть функция y = f (x) определена на некотором интервале, содержащем точку a . Функция y = f (x) называется непре-

рывной в точке a,	если lim f (x) = f (a), т. е. если для любой последо-
	x a
вательности (xn )	из области определения функции такой, что
limxn = a , выполняется равенство lim f (xn ) = f (a) .
n	n

Замечание. Отметим два обстоятельства, связанных с определением непрерывности. Во-первых, оговорка xn a здесь не нужна, т. к. при

xn = a соответствующие значения f (xn ) равны f (a). Во-вторых, важно понимать, что если функция y = f (x) непрерывна в точке a , то 1)

она определена в точке a 2) существует lim f (x) = A и 3) A = f (a).

x a

Если хотя бы один из пунктов 1) – 3) не выполнен, то функция не является непрерывной в точке a .

Пример 5.5. Функция f (x) = x непрерывна в любой точке a R . Это следует из примера 5.1 и определения непрерывности функции.

Замечание. Из теоремы 5.1 вытекает, что если функции y = f (x),

y = g(x) непрерывны в	точке a,	то функции y = f ( x ) g(x) ,
y = f ( x )g(x) , y = f (x)/g(x) ( g(a) 0 ) также непрерывны в a .
Определение. Функция	y = f (x)	называется непрерывной на ин-

тервале (конечном или бесконечном), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

Пример 5.6. Многочлен непрерывен на всей числовой прямой.

Решение. Пусть P(x) = a xn a		xn 1	a x a многочлен сте-
n	n 1		1	0
пени n , a R. Нам нужно показать, что limP(x) = P(a).
		x a
Поскольку функция f (x) = x	непрерывна в точке a , то последова-

тельно применяя пункт 2) теоремы 5.1, получаем, что lim xm = am при
						x a
любом натуральном m . Далее, по теореме 5.1 1) получаем:
lim P(x) = lim an xn lim an 1xn 1				lim a1x lim a0 =
x a	x a		x a		x a	x a
	= an lim xn an 1 lim xn 1 a1 lim x lim a0 =
	x a		x a		x a	x a
	= a an a		an 1 a a a = P(a).
	n	n 1		1	0

Обоснование переходов будет проще понять, читая последнюю цепочку равенств с конца.

Замечание. Вообще, все элементарные функции, изучаемые в школьном курсе, непрерывны в каждой точке, в окрестности которой эти функции определены. Например, из примера 5.2 вытекает, что

функция x непрерывна на (0 ).

Пример 5.7. Найти

lim

(x3 (x 3)2 11).

x 2

Решение. Поскольку

(x 3)2 =| x 3 | и | x 3 |= 3 x при x 3 ,

то f (x) = x3 | x 3 | 11 = x3 x 14 при

x 3 .

Многочлен

P(x) = x3 x 14 непрерывен на всей числовой прямой,

и в частнос-

ти, в точке x = 2 . Поэтому lim f (x) = P(2) = 23 2 14 = 20.

x 2

Ответ. 20.

Пример 5.8. Найти lim

x 1 2

x 5

Решение. Обозначим дробь, стоящую под знаком предела, через f (x) . В числителе и знаменателе дроби f (x) стоят функции, непре-

рывные в точке x = 5 . Предел этих функций при x 5 равен их значению в точке x = 5 , т. е. равен 0. В этом случае говорят, что имеет место

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

неопределённость	0	. Для её «раскрытия» приходится прибегнуть к

	0

искусственному приёму – умножению числителя и знаменателя дроби f (x) на «сопряжённое выражение» x 1 2 :

lim f (x) = lim

( x 1 2)(

x 1 2)

= lim

x 5

(x 5)( x 1 2)

(x 5)(

x 1 2)

x 5

= lim

x 1 2

x 5

1 2

Предпоследнее равенство получено в силу непрерывности функции

y = в точке x = 5.

x 1 2

Ответ. 14 .

Контрольные вопросы

1(1). Известно, что все члены последовательности (xn ) лежат в объ-

единении отрезков [ 10; 2] [9;11]. Верно ли, что последовательность

(xn ) является ограниченной? Ответ обосновать.

2(1). Пусть xn n2 3 , n N . Является ли последовательность (xn )

арифметрической прогрессией? Ответ обосновать.

3(2). Найти сумму всех (положительных) нечётных двузначных чисел, кратных 3.

4(2). Найти первый член геометрической прогрессии , если её третий член равен ( 10) , а квадрат третьего в сумме с седьмым членом даёт

утроенный пятый член.

5(2). Может ли геометрическая прогрессия (xn ) со знаменателем q 0 быть строго возрастающей? Если ответ положительный, привес-

ти пример; если нет, объяснить почему.

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

2014-2015 уч. год, №3, 10 кл. Математика. Последовательности. Пределы

6(1) Задача П. Ферма. Доказать, что для бесконечно убывающей

геометрической прогресии					(xn ), имеющей сумму S, выполняется ра-
венство	S		x1	.
венство	S x			.
	S x		x
	1	2
7(2). Известно, что limxn					= 0.
				n

а) Может ли член x5 200?

б) Могут ли все члены последовательности быть больше 10 6 ? Ответы обосновать.


8(2). Привести пример последовательности			(xn ), которая расходит-
ся, но для которой последовательность	xn	сходится.
ся, но для которой последовательность	xn	сходится.
9(2). Известно, что последовательность (xn )			имеет предел, а после-

довательность ( yn ) не имеет. Может ли иметь предел последовательность (xn yn ) ? Если ответ положительный, привести пример; если нет, объяснить почему.

10(1). Найти lim	x2	4	;
	x2	4
x 1

11(2). У функции y = x2 изменили значение y(0) 0 на 2, т. е. рассмотрели новую функцию

x2	при	x 0,
f (x) =
2	при	x = 0.

а) Имеет ли функция y = f (x) предел в точке x = 0?

б) Является ли функция y = f (x) непрерывной в точке x = 0 ? Ответы обосновать.

Задачи

1(4). Выяснить, является ли монотонной последовательность (xn ). Ответ обосновать.

5n 2

а)(2) xn = 3n 1 ;

( 1)n

б)(2) xn = n2 .

2014, ЗФТШ МФТИ, Редкозубова Елена Юрьевна

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015550.54 Кб3LM1117.pdf
#
03.06.201520.96 Mб99M.A.Leontovich-термодинамика и стат физика.pdf
#
03.06.2015688.23 Кб78M1_10_14.pdf
#
03.06.2015504.99 Кб117M1_11_2012.pdf
#
03.06.2015581.89 Кб46M1_8_14.pdf
#
03.06.2015849.06 Кб71M3_10_14.pdf
#
03.06.2015603.08 Кб50M3_8_14.pdf
#
03.06.2015364.31 Кб62M3_8_2010.pdf
#
03.06.2015654.44 Кб54M4_10_14.pdf
#
27.03.2016653.19 Кб72M4_10_15.pdf
#
03.06.2015441.25 Кб64M4_8_2010.pdf