Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

M4_10_15

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

653.19 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации Московский физико-технический институт (государственный университет)

Заочная физико-техническая школа

МАТЕМАТИКА

Тригонометрические функции и уравнения

Задание №4 для 10-х классов

(2015 – 2016 учебный год)

г. Долгопрудный, 2015

2015-2016 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Составитель: М. А. Лунина, доцент кафедры высшей математики МФТИ.

Математика: задание №4 для 10-х классов (2015 – 2016 учебный год), 2015, 24 с.

Дата отправления заданий по физике и математике – 05 января 2016 г.

Составитель:

Лунина Мария Александровна

Подписано в печать 11.11.15. Формат 60×90 1/16. Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,75. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 550. Заказ №24-з.

Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института (государственного университета)

ООО «Печатный салон ШАНС»

Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Моск. обл., 141700, ЗФТШ, тел./факс (495) 408-51-45 – заочное отделение,

тел./факс (498) 744-63-51 – очно-заочное отделение, тел. (499) 755-55-80 – очное отделение.

e-mail: zftsh@mail.mipt.ru

Наш сайт: www.school.mipt.ru

2015, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

2015-2016 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

I. Тригонометрические функции

Из школьного курса алгебры хорошо известны свойства тригонометрических функций: y sin x, y cos x, y tg x, y ctg x. Остановим-

ся подробнее на двух свойствах этих функций.

1. Чётность и периодичность

Напомним

Определение 1. Функция y f x называется нечётной, если для всех х из области определения функции выполняется f x f x . Функция f x называется чётной, если для всех х из области определения функции выполняется f x f x .

Подчеркнём, что в этом определении предполагается, что область определения чётных и нечётных функций симметрична относительно

точки x 0 , т. е. вместе с точкой х содержит и точку	x.
Известно, что функции y sin x, y tg x, y ctg x	являются нечёт-

ными, а функция y cos x является чётной. Также чётными функциями

являются, например, y x2 ,

а нечётными: y x, y x3 .

Пример 1. Исследовать на чётность и нечётность функции:

а)

sin x

; б)

; в)

x 1

Решение. а)

y x

sin x

y x ,

т. е. функция

чётная.

б) Область определения функции ; 1 1;

не является

симметричной относительно x 0,

функция не является ни чётной, ни

нечётной.

в) y x

x 1

y x , т. е.

функция не-

чётная (здесь мы использовали равенство a a ).

Ответ. а) чётная; б) не является ни чётной, ни нечётной; в) нечётная.

Отметим, что график чётной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечётной функции симметричен относительно начала координат.

2015, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

2015-2016 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Определение 2. Функция y f x называется периодической с пе-

риодом T 0 , если для всех значений х из области определения функции выполняются равенства f x T f x T f x .

Подчеркнём, что в определении периодичности предполагается, что

область определения функции вместе с точкой х содержит и точки

x T .

Нетрудно показать, что если функция имеет период T , то числа n T , где n Z, n 0, также периоды этой функции. Таким образом, возникает вопрос о наименьшем положительном периоде (НПП) функции.

Существуют периодические функции, не имеющие НПП. Например, для функции y C (постоянная функция) любое ненулевое число является периодом. Из школьной программы известно, что число T 2 является периодом функций y sin x и y cos x, а число T периодом функций y tg x и y ctg x . Однако эти числа являются НПП соответствующих функций. Строгое доказательство этих фактов часто вызывает затруднения у школьников.

Пример 2. Доказать, что НПП функции y sin x является число 2 . Доказательство. Из определения синуса следует, что для всех х вы-

полняется равенство sin x 2 sin x , т. е. число 2		является перио-
дом функции y sin x.
Пусть T некоторый период функции	y sin x .	Тогда для всех х
выполняется равенство sin x T sin x .	При x 0	имеем sinT 0 .

Отсюда следует, что T k, k Z. Нас интересуют положительные значения T , меньшие, чем 2 . Таким может быть только T . Но число T не является периодом функции y sin x . так как равенство

sin x sin x не выполняется, например, при x 2 . Значит, НПП функции y sin x является T 2 .

2015, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

2015-2016 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Пример 3. Найти НПП функции y cos3x.
Решение.		T	2	является	периодом	этой	функции,			т. к.

		0	3

	2	cos 3x		2 cos3x для всех		х. Число 0 T1			2
cos3 x										не
									3
	3
может быть периодом				y cos3x,	т. к. иначе	0 3T1 2 являлось бы
периодом	y cos x. Действительно, если cos3 x T1 cos3x							для лю-
бого x R, то cos t 3T1 cost. Здесь t 3x						может принимать также
любые действительные значения (доказать, что НПП							cos x	является
число 2 , предлагается самостоятельно – см. вопрос №2).

Ответ. 23 .

График периодической функции « периодически повторяется», т. е. его можно построить на отрезке, длина которого равна положительному периоду, а далее сдвигать вдоль по оси абсцисс на величину, кратную этому периоду вправо и влево.

Пример 4. Доказать, что функция y x2 не является периодической. Доказательство следует из свойств графика функции y x2 . Если бы эта функция имела период T 0, то её график «периодически повторял» её график на отрезке 0,T и значения функции на R были бы

ограничены, что не так.

Впрочем, нетрудно привести и аналитическое доказательство. А

именно, если предположить, что T 0 период	y x2 , то x T 2 x2
для всех х. В частности, при x 0 получим T 2 0	и T 0 (противоречие).

2.Тригонометрические преобразования

Вразличных задачах приходится делать тригонометрические преобразования. Здесь надо знать и применять свойства тригонометрических функций, а так же многочленные тригонометрические формулы. Приведём основные из них.

2015, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

2015-2016 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Основное тригонометрическое тождество и производные от него sin2 cos2 1;

2	1
tg 1			;
		cos2
2	1

1 ctg sin2 .

Формулы сложения

sin sin cos cos sin ; cos cos cos sin sin ;

tg tg tg . 1 tg tg

В этих формулах справа и слева берутся одновременно либо только верхние, либо только нижние знаки.

Формулы двойного угла

sin 2 2sin cos ;

cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 ;

tg2	2tg	.

1	tg2

Формулы понижения степени

cos2 1 cos 2 ; 2

sin2 1 cos 2 . 2

Преобразование сумм в произведение

cos cos 2cos		cos			;
	2			2
cos cos 2sin			sin		;
	2			2
sin sin 2sin cos
	2			2

(справа и слева берутся одновременно либо только верхние, либо только нижние знаки).

2015, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

2015-2016 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Преобразование произведений в суммы

sin cos 12 sin sin ; cos cos 12 cos cos ; sin sin 12 cos cos .

Формула дополнительного угла

asin bcos a2 b2 sin , где

cos		a	, sin	b		.


	a2	b2		a2	b2
	a2	b2		a2	b2

Последнюю формулу можно записать и в другом виде, например, asin bcos a2 b2 cos , где

cos	b		, sin		a	.


	a2	b2		a2	b2
	a2	b2		a2	b2

Также часто используются многочисленные формулы приведения, которые рекомендуем повторить по школьному учебнику вместе с правилом их запоминания.

Рассмотрим несколько задач

																						19
																						19
	Пример 5. Найти значение функции														y		3 sin 2x sin							x			в
	Пример 5. Найти значение функции														y		3 sin 2x sin							x			в
																						2
точке x				17			.
точке x							.
					3
	Решение.
			34					19	17
			34					19	17
	3 sin				sin						3 sin		11				sin 9				6
	3 sin		3		sin				3		3 sin		11			3	sin 9		2		6					3
			3					2	3							3			2							3
										5							5
																				3			1
																				3			1
		3 sin						sin				3 sin			sin			3							2.
		3 sin				3		sin				3 sin		3	sin		6	3	2				2		2.
						3				6				3			6		2				2
Здесь использовано то, что T 2													период функции					y sin x ,							а также
формула приведения sin sin .
	Ответ.				2.

2015, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

2015-2016 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Пример 6. Найти sin3 cos3 ,					если sin cos					1	.
Пример 6. Найти sin3 cos3 ,					если sin cos				2		.
									2
Решение. Так как sin cos 2 1 2sin cos								1	, то
Решение. Так как sin cos 2 1 2sin cos								4	, то
								4
				sin cos		3	.
				sin cos			.
					8
Пользуясь формулой для суммы кубов, получаем
3	3			2	2						1		3	11
sin cos sin cos sin sin cos cos												1			.
sin cos sin cos sin sin cos cos											2	1		16	.
											2		8	16
Ответ.		11	.
Ответ.	16		.
	16

Пример 7. Преобразовать в произведение тригонометрических функций сумму S sin cos .

Решение. Воспользуемся формулой приведения

sin cos

Тогда

S cos

cos 2cos

cos

Ответ. 2cos

cos

Пример 8. Вычислить без таблиц произведение

P cos 20 cos 40 cos80 .

Решение. P

2sin 20 cos 20 cos 40 cos80

2sin 20

2sin 40 cos 40 cos80

2sin 80 cos80

4sin 20

8sin 20

sin160

sin 180 20

sin 20

8sin 20

Здесь мы воспользовались формулой синуса двойного угла и формулой приведения sin sin .

Ответ. 18 .

2015, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

2015-2016 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Пример 9. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения sin cos .

Решение. По формуле дополнительного угла

sin cos

2 sin

Так как 1 sin

1, то

max sin cos

2, min sin cos 2.

Ответ. 2 и

3. Обратные тригонометрические функции

Напомним определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арк-

котангенса числа х.
	Определение 3.		y arcsin x это такой угол (число), что	sin y x и
	y	.
	2	2
	Определение 4.		y arccos x это такой угол (число), что	cos y x и
0 y .
	В определении 3 число x sin y и значит, должно быть			x	1. Ана-
	В определении 3 число x sin y и значит, должно быть			x	1. Ана-

логично, в определении 4 число x cos y и значит, также должно быть x 1.

Определение 5. y arctg x это такой угол (число), что tg y= x и

y . 2 2

Определение 6. y arcctg x это такой угол (число), что ctg y x и

0 y .

В определениях 5 и 6 число x любое действительное число.

Пример 10. Вычислить: а) arcsin	1	;		1
			б) arcsin		;

	2			2

в)

arccos0;

г)

arccos

;

д)

arctg

;

е) arcctg1.

2015, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

2015-2016 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

									1													1
Решение. а) arcsin														,	т. к.	sin								и						;			;
Решение. а) arcsin														,	т. к.	sin								и						;			;
									2				6							6		2			6				2		2
					1																			1
б) arcsin												, т. к. sin														и									;	;
б) arcsin												, т. к. sin														и									;	;
						2				4										4					2			4						2 2
в) arccos 0							,	т. к.			cos				0	и				0; ;
				2									2					2
								, т. к. cos												и
г) arccos		3														3						0;				;
г) arccos																						0;				;
	2						6								6	2					6
			1																				1
д) arctg									6		,		т. к.		tg		6								и		6							;		;

																								3
				3																				3								2 2
е) arcctg1 , т. к. ctg														1 и					0; .
				4									4			4
Ответ. а)				;			б)				;	в)			; г)			;		д)				; е)		.
		6							4					2		6							6			4
Из школьного курса известно,																что функции y arcsin x и																				y arctg x
являются нечётными, т. е. выполняются равенства
					arcsin x arcsin x и arctg x arctg x,
которые позволяют сводить вычисление arcsin x и arctg x																																			при x 0 и
положительным								значениям							аргумента.										Что			касается								функций
y arccos x	и				y arcctg x,									то они не являются ни чётными, ни нечёт-

ными. Для вычисления их при отрицательных значениях аргумента можно, кроме определения, пользоваться также известными из школы формулами:

arccos x arccos x,							(1)
arcctg x arcctg x.							(2)
	1
	1			б) arcctg	3 .
Пример 11. Вычислить: а) arccos		;
Пример 11. Вычислить: а) arccos		;
	2
			1		1		2
Решение. а) По формуле (1) arccos				arccos				.
Решение. а) По формуле (1) arccos				arccos				.
			2		2	3	3

2015, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015581.89 Кб44M1_8_14.pdf
#
03.06.2015849.06 Кб70M3_10_14.pdf
#
03.06.2015603.08 Кб48M3_8_14.pdf
#
03.06.2015364.31 Кб61M3_8_2010.pdf
#
03.06.2015654.44 Кб52M4_10_14.pdf
#
27.03.2016653.19 Кб71M4_10_15.pdf
#
03.06.2015441.25 Кб61M4_8_2010.pdf
#
03.06.2015463.11 Кб72M5_8_2010.pdf
#
27.03.2016117.26 Кб8ma1^.pdf
#
03.06.20152.89 Mб31macroeconomics.pdf
#
03.06.20152.74 Mб56Macrolectures_1.doc