Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

M4_10_15

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

653.19 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

2015-2016 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Этот же результат можно было получить и по определению:

				1			2					2													1
		arccos							, т. к. cos				cos				cos
		arccos							, т. к. cos				cos				cos
				2			3					3			3							3			2
и	2	0; . Здесь мы воспользовались формулой приведения
и	3	0; . Здесь мы воспользовались формулой приведения
	3
cos cos .
	б) По формуле (2) arcctg										arcctg												5	.
										3						3							5		Этот ре-
										3						3									Этот ре-
																				6			6
зультат можно было получить и по определению.
	Ответ. а)		2		;	б)	5		.
	Ответ. а)				;	б)			.
	3						6
	Отметим, что
								arcsin sin x x, если x												;	;				(3)
																			2	2
																			2	2
								arccos cos x x, если x 0; ;																	(4)
							arctg tg x					x, если						;							(5)
							arctg tg x					x, если		x				;		;					(5)
																	2		2
							arcctg ctg x x, если x 0; .																		(6)

Доказательство этих формул следует непосредственно из определения.

Пример 12. Вычислить: 1)		8	; 2)	arccos cos 6 ;
	arcsin sin

		7

		5				6					7
3)	arctg tg		;	4)	arcctg ctg		; 5) arcsin cos					.
3)	arctg tg		;	4)	arcctg ctg		; 5) arcsin cos					.
		8				5					8
	Решение. 1) В данном случае							8		;	и мы не можем непо-
	Решение. 1) В данном случае									;	и мы не можем непо-
							7
							7		2	2

средственно воспользоваться формулой (3). Но можно записать цепоч-

			8
ку равенств: sin				sin		sin			sin		.
ку равенств: sin				sin		sin			sin		.
			7		7			7			7
Мы воспользовались формулой приведения										sin sin и не-
чётностью функции y sin x . Теперь по формуле (3) получаем:
	8
arcsin sin		arcsin sin						.
arcsin sin		arcsin sin						.
	7				7		7

2015, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

2015-2016 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

	2) Так как 2												6 2 , то														6 2 0												или 0 2 6 .
										2														2																															2
														cos6 cos 6												cos 2 6 .
Здесь мы воспользовались чётностью функции																																					y cos x и её																2 пе-
риодичностью. Следовательно, по формуле (4)
						arccos cos 6 arccos cos 2 6 2 6.
	3)		Так		как													5			,				то						0			5											.						Поскольку
	3)		Так		как																,				то						0														.						Поскольку
																8					2													8											2
	5			5
tg		tg								,			то по формуле (5)
tg		tg								,			то по формуле (5)
	8			8
											5													5											5													3
				arctg tg											arctg tg																																			.
				arctg tg											arctg tg																																			.
												8												8											8												8
	4)	Так		как													6							,				то				0			6										.						Поскольку
																5						2													5											2
	6				6
ctg			ctg													, то по формуле (6)
ctg			ctg													, то по формуле (6)
		5			5
													6																6												6
			arcctg ctg														arcctg ctg																																		.
			arcctg ctg														arcctg ctg																																		.
												5																5													5								5
В пунктах				3) и			4)						была						использована																периодичность																		функций
y tg x и y ctg x.
									7													7											3											3
	5) Так как				cos									sin												sin														и													;		,	то
	5) Так как				cos									sin												sin														и													;		,	то
										8										2 8														8										8								2 2
																											7																			3								3
по формуле (3) получаем: arcsin																						cos									arcsin						sin																			.
по формуле (3) получаем: arcsin																						cos									arcsin						sin																			.
																										8																					8								8
	Ответ. 1) ;								2) 2 6;											3)			3			;		4)				;		5)				3					.
	Ответ. 1) ;								2) 2 6;											3)				8		;		4)				;		5)									.
					7																			8							5										8
																												5		arcsin						3
	Пример 13. Вычислить cos arccos																																							.
	Пример 13. Вычислить cos arccos																																							.
																										13										5
	Решение. Обозначим arccos																								5			, arcsin									3					. Тогда по определе-
	Решение. Обозначим arccos																											, arcsin														. Тогда по определе-
																								13													5
нию 0; ,																; . По формуле сложения
														2
														2			2
								cos												cos cos sin sin .

2015, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

2015-2016 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

					cos			5			и 0; ,																									25	12
	Так как							5													то sin						1 cos2								1	25	12
	Так как																				то sin						1 cos2								1
							13																												169		13
(обращаем					внимание,								что					sin 0,						т.	к.			0; ). Поскольку
sin			3											то cos 0 и
				и					;			,
				и					;			,
			5				2			2

																									9					4	.
									cos							1 sin2								1	9					4
									cos							1 sin2								1
																									25		5
	Итак,			cos								5		4			12			3		20 36				56			.
	Итак,			cos																									.
										13				5			13		5			65			65
	Ответ.				56	.
	Ответ.				65	.
					65
	Пример 14. Доказать равенство arctg 2 arctg 3																																3	.
	Пример 14. Доказать равенство arctg 2 arctg 3																																	.
																											4
	Доказательство.												Обозначим											arctg 2, arctg3 .												Тогда
tg 2, tg 3, 0														, 0							,		и	значит, 0 .												Вычис-
												2									2
лим tg .							По					формуле									сложения					tg									tg tg
лим tg .							По					формуле									сложения					tg
																											1								tg tg
		2 3		1. Но единственный угол в промежутке 0; , у которого
		2 3		1. Но единственный угол в промежутке 0; , у которого
1		2 3
тангенс равен 1 , это															3			.	Значит,									3				, что и требовалось
тангенс равен 1 , это																4		.	Значит,													, что и требовалось
																4											4

доказать.

II. Тригонометрические уравнения

Чтобы решить тригонометрическое уравнение надо путём тригонометрических преобразований свести его к простейшему тригонометрическому уравнению. Напомним формулы решений простейших тригонометрических уравнений.

1) sin x a. Если	a	1, решений нет. Если	a	1, то
1) sin x a. Если	a	1, решений нет. Если	a	1, то

x 1 n arcsin a n, n Z.

2015, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

2015-2016 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Последнюю формулу можно записать и так:

	arcsin a 2 k, k Z n 2k			,
x				n 2k 1 .
	arcsin a 2k 1 , k Z			n 2k 1 .

2) cos x a.	Если	a	1, решений	нет. Если	a	1, то
2) cos x a.	Если	a	1, решений	нет. Если	a	1, то

xarccos a 2 n, n Z.

3)tg x a. При любом а будет x arctg a n, n Z.

4)ctg x a. При любом а будет x arcctg a n, n Z.

Отметим несколько частных случаев простейших тригонометрических уравнений, в которых ответ можно записать более просто, чем по общим формулам.


а) sin x 1; тогда x 2		2 n, n Z;

б) sin x 1;	тогда x 2 2 n, n Z;

в) cos x 0;	тогда x 2	n, n Z;
г) cos x 1;	тогда x 2 n, n Z.

Рассмотрим несколько основных способов решения тригонометрических уравнений.

1. Разложение на множители

Пример 14. Решить уравнение 5sin 2x 5cos x 8sin x 4 0.

Решение. Используя формулу sin 2x 2sin xcos x, преобразуем данное уравнение:

10sin x cos x 5cos x 8sin x 4 0,

5cos x 2sin x 1 4 2sin x 1 0,2sin x 1 5cos x 4 0.


Уравнение распадается на два:
1)	2sin x 1 0, sin x		1		, x 1 n 1		n, n Z;

	2					6
2)	5cos x 4 0, cos x	4		, x arccos		4	2 n, n Z.

	5					5

Ответ.	x 1 n 1		n, n Z; x arccos	4	2 n, n Z
		6		5

2015, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

2015-2016 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Отметим, что в сериях решений 1) и 2) не было бы ошибкой использо-

вать разные буквы (например, n или m), т. к. идёт перечисление решений.

	2x		sin 3x 0.
Пример 15. Решить уравнение cos	2x		sin 3x 0.
		3

Решение. Перепишем уравнение, используя формулу приведения

		:		2x					0.
sin cos		:	cos	2x		cos		3x	0.
	2				3		2

Далее применим формулу преобразования суммы в произведение. По-

лучим: 2cos

2 3x

cos

2x 3

1) cos

0; cos

n, n Z;

2 n, n Z; x

2 n, n Z.

2) cos

n, n Z;

2 n, n Z; x

2 n

, n Z;

2 n

, n Z.

Ответ.

2 n, n Z;

2 n

, n Z.

2015, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

2015-2016 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

2. Сведение уравнения к алгебраическому от одного переменного Пример 16. Решить уравнение cos 2x cos x 1 0.

Решение. Воспользуемся формулой двойного угла: cos2x 2cos2 x 1. Тогда уравнение перепишется: 2cos2 x cos x 0; cos x 2cos x 1 0.


1)	cos x 0;	x 2 n, n					Z;
2)	cos x	1	; x		2	2 n, n Z.
2)	cos x		; x			2 n, n Z.
		2		3
Ответ. x				n, n Z;			x	2	2 n, n Z.
Ответ. x		2		n, n Z;			x	3	2 n, n Z.
		2						3

Выделим

3. Однородные уравнения

(хотя формально эти уравнения можно отнести к предыдущему типу).

Пример 17. Решить уравнение sin 2x 2cos 2x 0.

Решение. Это однородное уравнение 1-го порядка. cos 2x 0 (иначе из нашего уравнения следовало бы, что и sin 2x 0, что противоречит

основному тригонометрическому тождеству: cos2 2x sin2 2x 1). Делим уравнение на cos 2x . Получаем tg 2x 2.

Отсюда 2x arctg 2 n, n Z; x 12 arctg2 2n , n Z.

Ответ. x 12 arctg2 2n , n Z.

Пример 18. Решить уравнение

sin2 x sin x cos x 2cos2 x 0.

Решение. Это однородное уравнение 2 степени. Так как cos x 0 (рассуждение, как в предыдущем примере), то делим уравнение на cos2 x . Получаем: tg2 x tg x 2 0. Отсюда tg x 1 или tg x 2 .

И x n, n Z , или x arctg 2 n, n Z.

Ответ. x n, n Z; x arctg 2 n, n Z. 4

2015, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

2015-2016 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Пример 19. Решить уравнение

3sin2 x sin xcos x 1.

Решение. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: 1 sin2 x cos2 x. Преобразуем наше уравнение к однородному 2-го порядка:

3sin2 x sin x cos x sin2 x cos2 x или

2sin2 x sin xcos x cos2 x 0.

т. к.

cos x 0,

то делим последнее уравнение на

cos2 x .

Получаем:

2tg 2 x tg x 1 0. tg x 1 или

tg x

. Значит,

n, n Z ,

или

x arctg

n, n Z.

Ответ. x n, n Z; x arctg

n, n Z.

4. Использование формулы дополнительного угла

Пример 20. Решить уравнение 4sin x 3cos x 5.

Решение. По формуле дополнительного угла преобразуем уравне-

				sin x 5,		sin x 1, cos	4		3	.
ние:			16 9				4	, sin	3		Можно
ние:			16 9				5	, sin	5		Можно
							5		5
взять,	например, arcsin				3	. Решением последнего уравнения будет
взять,	например, arcsin				5	. Решением последнего уравнения будет
					5

x		2 2 n, n Z , или x 2 2 n, n Z.

Ответ. x arcsin 3 2 n, n Z. 5 2

Отметим, что последнее уравнение можно решить и сведением его к однородному, если воспользоваться формулами

sin x 2sin 2x cos 2x , cos x cos2 2x sin2 2x , 1 sin2 2x cos2 2x .

2015, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

2015-2016 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Действительно, в этом случае уравнение 4sin x 3cos x 5 преобразуется к виду:

8sin

cos

3cos2

3sin2

5sin2

5cos2

или

8sin2

8sin

cos

2cos2

Т.

к.

cos

то разделив послед-

нее уравнение на 2cos2

, получим уравнение

4tg

2 x

4tg

1 0

или

arctg

n, n

2tg

1 0.

Откуда,

. Тогда

или

x 2arctg 12 2 n, n Z.

Мы получили ответ в другой форме, но множество решений уравнения, естественно, то же.

Пример 21. Решить уравнение

											sin x 2sin 2x cos x 1.
Решение.					Перепишем							уравнение 2sin 2x sin x cos x 1 0														и
сделаем замену t sin x cos x.
Так как t2		sin2 x 2sin x cos x cos2														x 1 sin 2x,								то	sin 2x 1 t2 .	То-
гда наше уравнение запишется так: 2																1 t2		t 1 0							или 2t2 t 3 0.
Отсюда t 1, t							3	.
Отсюда t 1, t					2			.
	1				2	2
						2
По формуле дополнительного угла
								t sinx cos x
																	2 sin
																	2 sin	x				.
																				4
1) t	1, sin			x						1		,	x 1 n n,											n Z.
1) t	1, sin			x								,	x 1 n n,											n Z.
1						4				2				4				4
						4				2				4				4
		3											3						3				1, то последнее
2) t2			,		sin x										. Так как
2) t2			,		sin x										. Так как
		2							4			2		2					2		2
уравнение не имеет решений.
Ответ. x						1 n n,								n Z.
					4					4

2015, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

2015-2016 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Отметим, что подобным образом решаются уравнения

F sin 2x, sin x cos x 0. Замена t sin x cos x.

Наконец, рассмотрим несколько несложных примеров, где приходится делать отбор корней (в 11 классе будут и сложные примеры на эти темы).

5. Рациональные тригонометрические уравнения Пример 22. Решить уравнение

cos3x	cos5x	.

sin 2x	sin 2x

Решение. Это уравнение равносильно каждому, из следующих

уравнений:	cos3x cos5x	0,	sin 4x sin x	0.
	sin 2x		sin 2x

Так как sin 4x 2sin 2x cos2x, а ОДЗ уравнения определяется условием sin 2x 0, то sin x 0, и исходное уравнение равносильно уравне-

нию cos 2x 0 . Тогда

n Z, и

n Z.

Ответ.

n Z.

6. Тригонометрические уравнения с корнем

Пример 23. Решить уравнение cos x cos3x 2 cos x. Решение. Это уравнение равносильно системе

cos x cos3x 2cos2 x,

cos x 0.

Неравенство должно выполняться, т. к. правая часть исходного уравнения равна квадратному корню, а он неотрицательный. В то же время отметим, что в системе не надо указывать, что подкоренное выражение в левой части уравнения неотрицательно, т. к. в системе оно равно квадрату правой части уравнения. Преобразуем уравнение системы: 2cos2x cos x 2cos2 x или cos x cos 2x cos x 0 . Отсюда или

cos x 0 (неравенство системы удовлетворяется) и	x		n, n Z .
cos x 0 (неравенство системы удовлетворяется) и	x	2	n, n Z .

2015, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

2015-2016 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Или же cos 2x cos x 0, 2cos2 x cos x 1 0. Решениями последнего уравнения являются cos x 1 (что не удовлетворяет неравенству систе-

мы) и	cos x		1	(неравенство системы выполняется). Итак, в этом
мы) и	cos x		2	(неравенство системы выполняется). Итак, в этом
			2
случае	x	2	2 n,		n Z.
случае	x		2 n,		n Z.
	3
Ответ. x			n,		n Z;	x	2	2 n,	n Z.
Ответ. x			n,		n Z;	x	3	2 n,	n Z.
	2						3

7. Тригонометрические уравнения с модулем Пример 24. Решить уравнение

cos3x cos x sin 2x.

Решение. Решение уравнения сводится к объединению решений двух систем.

cos x 0,	cos x 0,
1)	и 2)
cos3x cos x sin 2x	cos3x cos x sin 2x.

а) Решаем первую систему. Её уравнение преобразуем к виду

2cos 2x cos x 2sin xcos x или cos x cos 2x sin x 0, или

cos x

2sin2

x sin x 1 0 .

cos x 0

удовлетворя-

ет неравенству системы,

т. е.

2 n,

n Z,

решения

системы.

Решая

уравнение

2sin2 x sin x 1 0 , находим sin x 1(но тогда

cos x 0,

эти корни мы

уже

получили)

или

sin x

. С учётом cos x 0, получаем

Рис. 1

x 6

2 n, n Z, (см. рис. 1).

2015, ЗФТШ МФТИ, Лунина Мария Александровна

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015581.89 Кб44M1_8_14.pdf
#
03.06.2015849.06 Кб70M3_10_14.pdf
#
03.06.2015603.08 Кб48M3_8_14.pdf
#
03.06.2015364.31 Кб61M3_8_2010.pdf
#
03.06.2015654.44 Кб52M4_10_14.pdf
#
27.03.2016653.19 Кб71M4_10_15.pdf
#
03.06.2015441.25 Кб61M4_8_2010.pdf
#
03.06.2015463.11 Кб72M5_8_2010.pdf
#
27.03.2016117.26 Кб8ma1^.pdf
#
03.06.20152.89 Mб31macroeconomics.pdf
#
03.06.20152.74 Mб60Macrolectures_1.doc