ma1^

1.Точечное n–мерное пространство. Расстояние между точками, его свойства. Предел последовательности точек в n–мерном евклидовом пространстве. Теорема Больцано–Вейерштрасса и критерий Коши сходимости последовательности. Внутренние, предельные, изолированные точки множества, точки прикосновения. Открытые и замкнутые множества, их свойства. Внутренность, замыкание и граница множества.

2.Предел числовой функции нескольких переменных. Определения в терминах окрестностей и в терминах последовательностей. Предел функции по множеству. Пределы по направлениям. Повторные пределы. Исследование предела функции двух переменных при помощи перехода к полярным координатам.

3.Непрерывность функции нескольких переменных. Непрерывность по множеству. Непрерывность сложной функции. Свойства функций, непрерывных на компакте — ограниченность, достижимость (точных) нижней и верхней граней, равномерная непрерывность. Теорема о промежуточных значениях функции, непрерывной в области.

4.Частные производные функции нескольких переменных. Дифференцируемость функции нескольких переменных в точке, дифференциал. Необходимые условия дифференцируемости, достаточные условия дифференцируемости. Дифференцируемость сложной функции. Инвариантность формы дифференциала относительно замены переменных. Градиент, его независимость от выбора прямоугольной системы координат. Производная по направлению.

5.Частные производные высших порядков. Независимость смешанной частной производной от порядка дифференцирования. Дифференциалы высших порядков, отсутствие инвариантности их формы относительно замены переменных. Формула Тейлора для функций нескольких переменных с остаточным членом в формах Лагранжа и Пеано.

6.Мера Жордана в n–мерном евклидовом пространстве. Критерий измеримости. Измеримость объединения, пересечения и разности измеримых множеств. Конечная аддитивность меры Жордана.

7.Определенный интеграл Римана. Суммы Римана, суммы Дарбу, критерий интегрируемости. Интегрируемость непрерывной функции, интегрируемость монотонной функции, интегрируе-

2

мость ограниченной функции с конечным числом точек разрыва. Свойства интегрируемых функций: аддитивность интеграла по отрезкам, линейность интеграла, интегрируемость произведения функций, интегрируемость модуля интегрируемой функции, интегрирование неравенств, теорема о среднем. Свойства интеграла с переменным верхним пределом — непрерывность, дифференцируемость. Формула Ньютона–Лейбница. Интегрирование подстановкой и по частям в определенном интеграле.

8.Геометрические приложения определенного интеграла — площадь криволинейной трапеции, объем тела вращения, длина кривой, площадь поверхности вращения.

9.Криволинейный интеграл первого рода и его свойства. Ориентация гладкой кривой. Криволинейный интеграл второго рода и его свойства.

10.Несобственный интеграл (случай неограниченной функции и случай бесконечного промежутка интегрирования). Критерий Коши сходимости интеграла. Интегралы от знакопостоянных функций. Признаки сходимости. Интегралы от знакопеременных функций: сходимость и абсолютная сходимость. Признаки Дирихле и Абеля сходимости интегралов.

11.Числовые ряды. Критерий Коши сходимости ряда. Знакопостоянные ряды: признаки сравнения сходимости, признаки Даламбера и Коши, интегральный признак. Знакопеременные ряды: сходимость и абсолютная сходимость. Признаки Дирихле и Абеля. Независимость суммы абсолютно сходящегося ряда от порядка слагаемых. Теорема Римана о перестановке членов сходящегося, но не абсолютно сходящегося ряда (без доказательства). Произведение абсолютно сходящихся рядов.

12.Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов. Критерий Коши равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональных рядов. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных последовательностей и рядов. Признаки Дирихле и Абеля.

13.Степенные ряды с комплексными членами. Первая теорема Абеля (на потоке О.В. Бесова — поведение степенного ряда внутри и вне круга сходимости). Круг и радиус сходимости. Характер сходимости степенного ряда в круге сходимости. Формула

3

Коши–Адамара для радиуса сходимости. Непрерывность суммы комплексного степенного ряда.

14.Степенные ряды с действительными членами. Сохранение радиуса сходимости степенного ряда при почленном дифференцировании и интегрировании ряда. Бесконечная дифференцируемость суммы степенного ряда на интервале сходимости. Единственность разложения функции в степенной ряд, ряд Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. Пример бесконечно дифференцируемой функции, не разлагающейся в степенной ряд. Разложение в ряд Тейлора основных

элементарных функций. Разложение в степенной ряд комплекснозначной функции ez.

Литература

Основная

1.Бесов О.В. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. – М.: МФТИ, 2004.

2.Иванов Г.Е. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. – М.: МФТИ, 2004, 2011.

3.Петрович А.Ю. Лекции по математическому анализу. Ч. 2. Многомерный анализ. Интегралы и ряды. – М.: МФТИ, 2012.

4.Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. – М.: МФТИ, 2003–2007.

5.Яковлев Г.Н. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. – М.: Физматлит, 2001, 2004.

Дополнительная

6.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. – 5-е изд. – М.: Дрофа, 2003.

7.Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1. – М.: Наука, 2002.

8.Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 1. – М.: Наука, 2000.

9.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Т. 1, 2. – М.: Наука–Физматлит, 1998.

10.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – 8-е изд. – М.: Физматлит, 2007.

11.Зорич В.А. Математический анализ. Т. 1. – М.: Наука, 1981.

4

З А Д А Н И Я

Литература

1.Cборник задач по математическому анализу. Предел, непрерывность, дифференцируемость: учебное пособие/под ред. Л.Д. Кудрявцева. – М.: Физматлит, 2003. (цитируется — С1.)

2.Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды: учебное пособие/под ред. Л.Д. Кудрявцева. – М.: Физматлит, 2003. (цитируется

— С2.)

3.Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных: учебное пособие/под ред. Л.Д. Кудрявцева. – М.: Физматлит, 2003. (цитируется — С3.)

ЗАМЕЧАНИЯ

1.Задачи с подч¨еркнутыми номерами рекомендовано разобрать на семинарских занятиях.

2.Задачи, отмеченные зв¨ездочкой (*), являются необязательными.

ПЕРВОЕ ЗАДАНИЕ

(срок сдачи 7–12 марта)

I. Комплексные числа

C1, §5: 4(5); 13(3); 15(4); 18(5); 19; 31(2); 32(7); 34(3).

II. Функции многих переменных

А) Множества в конечномерных евклидовых пространствах

С3, §2: 9 а), б), г) (3, 6). Т.1. Является ли множество

E = {(x1; x2; x3; x4) : ex21+x22+x33 < 1 + x24}

в пространстве R4 а) открытым; б) замкнутым; в) областью?

г) все изолированные точки.

Является ли множество M открытым или замкнутым? С3, §1: 15; 18; 39(6); 47*.

Б) Предел и непрерывность

С3, §2: 37(2,4,8); 48(6,9); 51; 71*.

Т.3. Исследовать существование предела в точке O(0;0) следующих функций:

5

Т.4*. Докажите, что отображение f : Rn → R непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз D = f−1(Ω) всякого открытого множества Ω R есть открытое множество в Rn.

В) Частные производные. Дифференциал

С3, §3: 3(6); 18(1); 44(4).

С3, §4: 4; 8(4); 19(2); 25(2); 27(2).

С3, §3: 19(1,5); 20(3,6); 21(2)*; 23(1); 12(1,4,5).

Т.5. Исследовать на дифференцируемость в точке O(0;0) функции:

С3, §4: 70(2); 74(5).

III. Равномерная непрерывность

С1, §12: 2(1,2); 3(3); 4(3,4); 17; 23; 25. C3, §2: 77(3)*.

Т.6. Пусть функция y = f(x) дифференцируема на множестве I = = [a;+∞). Доказать следующие утверждения:

1)если f′ ограничена на I, то f равномерно непрерывна на I;

2)если f′ бесконечно большая при x → +∞, то f не является равномерно непрерывной на I;

3)если f′ неограничена на I, то f может быть, а может и не быть равномерно непрерывной на I (привести примеры).

6

sin x2

г) f(x) = √x .

Т.8*. Доказать следующее утверждение: если дифференцируемая функция w = f(x;y) имеем ограниченные частные производные fx′ и fy′ в некоторой выпуклой области D R2, то она равномерно непрерывна в области D.

1С1, §5: 4(5); 13(3); 15(4); 18(5); 19; 31(2); 32(7); 34(3). С3, §2: 9 а), б), г) (3, 6);

Т.1; Т.2.

С3, §1: 15; 18; 39(6); 47*.

2С3, §2: 37(2,4,8); 48(6,9); 51; 71*. Т.3(а,б,в); Т.4*.

3С3, §3: 3(6); 18(1); 44(4).

С3, §4: 4; 8(4); 19(2); 25(2); 27(2).

С3, §3 19(1,5); 20(3,6); 21(2)*; 23(1); 12(1,4,5). Т.5 (а,б).

4С3, §4: 70(2); 74(5). С1, §12: 2(1,2); 3(3); 4(3,4); 17; 23; 25. C3, §2: 77(3)*. Т.6(1, 2, 3); Т.7(а,б,в,г); Т.8*.

59+6*

ВТОРОЕ ЗАДАНИЕ

(срок сдачи 11–16 апреля)

IV. Мера Жордана

C3, §7: 22; 32; 48. Т.1. Измеримо ли:

а) множество рациональных точек отрезка [0;1] в R1?

б) множество рациональных точек отрезка [0;1] оси абсцисс в

R2?

V. Определенный интеграл

А) Свойства определенного интеграла и его вычисление

C2, §6: 4(1); 24; 27*; 41; 54(5); 112(1,2); 117; 126; 161; 182; 197; 108(1).

7

Т.3. Пусть функция f ограничена на полуинтервале (a;b] и при любом " (0;b − a) интегрируема по Риману на отрезке [a + "; b]. Доказать, что при любом доопределении функции f в точке x = a, функция f интегрируема по Риману на отрезке [a; b] и

Т.4. а) Функция f имеет первообразную F на отрезке [a;b]. Верно ли, что f интегрируема на отрезке [a; b]?

б) Функция f интегрируема на отрезке [a;b]. Верно ли, что f имеет первообразную на отрезке [a;b]?

в)* Пусть функция f интегрируема на [a;b] и имеет перво-

∫b

образную F на отрезке [a;b]. Доказать, что f(x) dx = F (b) −

a

− F (a).

Б) Геометрические приложения определенного интеграла

C2, §7: 4(3); 25(6); 34(2); 69(6); 72(3); 82(4). C2, §8: 12(2); 81(5); 88(2).

C2, §9: 34(1)*.

VI. Криволинейный интеграл

C3, §10: 1(3); 9*; 13(2); 21; 27(2); 43*.

VII. Несобственный интеграл

1C3, §7: 22; 32; 48; Т.1.

2C2, §6: 4(1); 24; 27*; 41; 54(5); 112(1,2); 117; 126; 161; 182;

197; 108(1).

C2, §10: 45*; 50(4). Т.2; Т.3; Т.4 (а,б,в*).

3C2, §7: 4(3); 25(6); 34(2); 69(6); 72(3); 82(4). C2, §8: 12(2); 81(5); 88(2). C2, §9: 34(1)*. C3, §10: 1(3); 9*; 13(2); 21; 27(2); 43*.

4C2, §11: 85; 88; 89*; 94; 98.

C2, §12: 87; 91; 100; 121; 125; 135; 139; 141; 183; 186; 227.

49+7*

8