Algebra&Geometry / modules 3-4 / LECT16

Лекция 16. Евклидово пространство

1. Скалярное произведение в пространстве Rn

Определение 1. Скалярным произведением (¹x; y¹) двух векторов x;¹ y¹ 2 Rn называется число, равное x1y1 +

называется n-мерным евклидовым пространством.

¹

Замечание. jx¹j > 0, и если jx¹j = 0, то x¹ = 0.

Замечание. (¹x; ®y¹ + ¯z¹) = ®(¹x; y¹) + ¯(¹x; z¹).

Теорема 1 (неравенство Коши). j(¹x; y¹)j 6 jx¹j ¢ jy¹j.

Доказательство. Положим

p(t) = (¹x + ty;¹ x¹ + ty¹) = jx¹j2 + 2t(¹x; y¹) + t2jy¹j2:

Это квадратный многочлен от переменной t. Так как p(t) = jx¹ + ty¹j2, то p(t) > 0. Следовательно, дискриминант многочлена p отрицателен, т.е.

(¹x; y¹)2 6 jx¹j2 ¢ jy¹j2:

¤

Следствие (неравенство треугольника). jx¹ + y¹j 6 jx¹j + jy¹j.

Доказательство.

jx¹ + y¹j2 = (¹x + y;¹ x¹ + y¹) = jx¹j2 + 2(¹x; y¹) + jy¹j2 6 jx¹j2 + 2jx¹j ¢ jy¹j + jy¹j2 = (jx¹j + jy¹j)2 :

Теорема 2. Матрица Грама системы векторов x¹1; : : : ; x¹k 2 Rn вырождена в том и только том случае, когда эта система линейно зависима.

Доказательство. Предположим, что система векторов линейно зависима и что вектор x¹k является линейной комбинацией остальных векторов системы: x¹k = ®1x¹1 + : : : + ®k¡1x¹k¡1. Заменим в последнем столбце матрицы Грама в каждом скалярном произведении второй вектор x¹k на его выражение. Тогда в матрице Грама последний элемент первой строки будет равен

®1(¹x1; x¹1) + ®2(¹x1; x¹2) + : : : + ®k¡1(¹x1; x¹k¡1);

последний элемент второй строки будет равен

®1(¹x2; x¹1) + ®2(¹x2; x¹2) + : : : + ®k¡1(¹x2; x¹k¡1);

и так далее. Все это означает, что последний столбец матрицы есть линейная комбинация первых k ¡ 1 столбцов с коэффициентами ®1; : : : ; ®k¡1, соответственно. То-есть наша матрица вырождена.

Пусть теперь матрица Грама вырождена. Это означает, что ее столбцы линейно зависимы, т.е. суще-

1