Артамонов - Введение в эконометрику

Пример. По временному ряду объема n = 100 были оценены авторегрессионные модели до четвертого порядка и для них получены следующие оценки дисперсий ошибок:

s2(1) = 0.9, s2(2) = 0.7, s2(3) = 0.5, s2(4) = 0.46.

Выберем порядок модели авторегрессии на основе информационного критерия Shwarz. Вычислим показатель SIC для моделей авторегрессии до четвертого порядка:

Следовательно, необходимо сделать выбор в пользу модели авторегрессии четвертого порядка, так как значение информационного критерия для нее минимально

Пример. В условиях предыдущего примера произведем выбор модели с помощью информационного критерия Акаике. Вычислим показатель AIC для моделей авторегрессии до четвертого порядка:

Следовательно, необходимо выбрать модель авторегрессии четвертого порядка, так как для нее значение информационного критерия минимально.

Проверка адекватности модели

Проверка адекватности, т.е. проверка согласованности выбранной и оцененной модели с наблюдениями, как и в регрессионном анализе,

181

основано на исследовании остатков. А именно, остатки должны моделировать процесс нормально распределенного белого шума.

Так как модель содержит лаговые значения зависимой переменной, то критерий Durbin–Watson для исследования ошибок на автокорреляцию неприменим. Статистика DW будет смещенной в сторону уменьшения.

Приведем метод исследования, предложенный Боксом и Льюнгом (Box, Ljung [5]) и основанный на применении Q-статистик. Пусть re(h)

– выборочные коэффициенты автокорреляции ряда остатков et в модели AR(p). Q-статистики определяются равенствами

XM r2(h)

Q = n(n + 2) e , M = 1, 2, . . .

h=1 n − h

При выполнении условия Гаусса – Маркова на ошибки модели авторегрессии Q-статистики асимптотически имеют распределение χ2M−p. Следовательно, при заданном уровне значимости (и при большом объеме выборки) гипотеза о независимости и одинаковой распределенности ошибок регрессии отвергается при Q > χ2кр, где критическое значение χ2кр = χ2( ; M − p).

Пример. Для временного ряда длины n = 100 была оценена модель второго порядка (p = 2) и вычислены коэффициенты автокорреляции остатков

re(1) = 0.001 re(2) = 0.001 re(3) = 0.0006 re(4) = 0.0004 re(5) = 0.0003.

Проверим адекватность модели по критерию Бокса – Льюнга. Вычислим Q-статистику с M = 5:

Критическое значение распределения хи-квадрат с M − p = 5 − 2 = 3 степенями свободы при 5%-м уровне значимости равно

χ2кр = χ2(5%; 3) 7.875.

182

Так как Q < χ2кр, то данные согласованы с условиями Гаусса – Маркова для модели AR(2).

4.5.Динамические модели стационарных временных рядов

Динамические модели ADL (autoregression distributed lags) содержат лаговые значение зависимой переменной (а также, возможно, и регрессоров):

1. Как отмечалось выше, для таких моделей нарушаются условия на ошибки регрессии. Однако, статистические выводы многофакторной модели регрессии будут верны асимптотически, т.е. при больших выборках.

yt = µ + 1yt−1 + · · · + pyt−p + z0tβ + ut

Теорема. Пусть выполнены следующие условия

•zt – (многомерный) стационарный временной ряд;

•ut – процесс белого шума, Mut = 0, Var(ut) = σ2;

•cov(ut, ztj) = 0, j = 1 . . . , k;

•cov(ut, yt−s) = 0, s = 1, . . . , p;

•все корни многочлена (z) = 1 − 1z − · · · − pzp по модулю больше единицы (условие стационарности);

•существует предел (условие эргодичности)

183

Тогда OLS-оценки коэффициентов модели регрессии (4.3) асимптотически нормальны и имеют минимальную дисперсию.

Таким образом, при выполнении условие теоремы для больших выборок, мы можем пользоваться стандартными статистическими процедурами.

Замечание. Так как модель регрессии содержит лаговые значения зависимой переменной, то статистика DW будет смещена и тест Durbin

–Watson к данной модели неприменим.

2.Рассмотрим подробнее частный случай ADL с одним регрессо-

ром

yt = µ + 1yt−1 + · · · + pyt−p + +β0xt + · · · + βqxt−q + ut

и пусть выполнены все условия теоремы. Тогда, аналогично модели FDL, между факторами устанавливается долговременная связь , описываемая соотношением

Коэффициент δ1 называется долгосрочным мультипликатором (longtime multiplier).

4.6.Задачи

Упражнение 1. Для следующих моделей FDL найдите долгосрочные мультипликаторы и напишите уравнение долгосрочной связи

1.ybt = β0 + β1xt + β2xt−1 + β3xt−2 + β4xt−3;

2.ybt = β0 + β1xt + β2xt−1 + β3zt + β4zt−1;

3.ybt = β0 + β1xt + β2xt−1 + β3xt−2 + β4zt + β5zt−1 + β6zt−2;

4.ybt = β0 + β1xt + β2zt + β3zt−1 + β4zt−2 + β5wt + β6wt−1.

Упражнение 2. Является временной ряд, заданный авторегрессионным разностным уравнением, стационарным?

184

1.yt = 7 + 0.5yt−1 + "t.

2.yt = 10 + 0.25yt−2 + "t.

3.yt = 10 + yt−1 − 0.25yt−2 + "t.

4.yt = 32 yt−1 − 34yt−2 + 18 yt−3 + "t.

5.yt = 3 + 0.4yt−1 − 0.04yt−2 + "t.

6.yt = 5 − 3yt−1 − 3yt−2 − yt−3 + "t.

7.yt = −2yt−1 + 1.25yt−2 − 0.25yt−3 + "t.

Упражнение 3. Написать формулы для прогноза

1.на l = 3 шага для процесса yt = 5 + 0.5yt−1 + "t.

2.на l = 4 шага для процесса yt = 2 + 0.25yt−2 + "t.

3.на l = 3 шага для процесса yt = 271 yt−3 + "t.

4.на l = 5 шагов для процесса yt = 0.5yt−2 −0.05yt−3 +0.001yt−4 +"t.

5.на l = 6 шагов для процесса yt = 0.5yt−3 + 0.001yt−4 + "t.

Упражнение 4. Написать в общем виде уравнения Юла – Уолкера для моделей AR(2), AR(3) и AR(4).

Упражнение 5. По временному ряду длины n = 60 были оценены следующие авторегрессионные модели:

1.yˆt = 2 + 0.7yt−1, s2 = 2.1;

2.yˆt = 2.3 + 0.6yt−1 − 0.3yt−2, s2 = 1.9;

3.yˆt = 1.8 + 0.55yt−1 − 0.25yt−2 + 0.01yt−3, s2 = 1, 85.

Какую модель вы выберете?

Упражнение 6. Для временного ряда были вычислены коэффициенты автокорреляции

(1) = 0.7; (2) = 0.4; (3) = −0.2

и выборочное среднее значение y¯ = 1.7. Найти оценки коэффициентов в модели

185

1.AR(1);

2.AR(2);

3.AR(3).

Упражнение 7. Для модели временного ряда длины n = 50 были оценены несколько моделей и в каждой из моделей вычислены коэффициенты автокорреляции остатков. Исследовать адекватность этих моделей

1.re(1) = 0.001; re(2) = 0.0006; re(3) = 0.0002; re(4) = 0.001 в

модели AR(2).

2.re(1) = 0.04; re(2) = 0.02; re(3) = 0.006 в модели AR(1).

3.re(1) = 0.02; re(2) = 0.0008; re(3) = 0.003; re(4) = 0.001 в модели

AR(3).

186

Приложение A

Статистические таблицы

Приведем список функции MS Excel и OpenO ce для вычисления критических значений стандартных распределений с уровнем значимости

Таблица A.1: Критические значения стандартного нормального распределения

187

Таблица A.2: Критические значения распределения χ2k

188

Таблица A.3: Критические значения распределения tk (распределения Стьюдента)

189

Таблица A.4: 5% критические значения распределения Fk1,k2 (распределения Фишера)

190