Артамонов - Введение в эконометрику

вероятности стремятся к нулю, то с ростом объема выборки мы получаем более точные оценки коэффициентов. В связи с этим некоторые эконометристы предлагают рассматривать мультиколлинеарность как проблему малых выборок (micronumerosity), т.е. причиной большой стандартной ошибки коэффициента следует считать не большое значение Rj2 (или V IFj), а малый объем выборки (см. [29] Гл. 3.4 и ссылки)

Таким образом, явление и проблема мультиколлинеарности не имеет строго общепризнанного определения и трактовки. Как следствие, существует различные подходы к устранению мультиколлинеарности. Приведем некоторые их них:

1.По возможности включать в модель слабокоррелированные между собой влияющие переменные (но в первую очередь при отборе влияющих переменных руководствоваться экономической целесообразностью и экономической теорией!).

2.Если есть возможность, то увеличить объем выборки (что, конечно же, не всегда представляется возможным).

3.Попытаться исключить из модели фактор, который подозревается в причине мультиколлинеарности. Однако к исключения факторов надо подходить крайне осторожно, т.к. исключение существенного фактора приводит к смещению оценок коэффици-

ентов (omitted variable problem, см. Главу 3).

4.Изменить спецификацию модели.

5.Оставить модель регрессии как есть (например, если экономическая теория говорит в пользу именно такой модели регрессии).

2.10.Задачи

Упражнение 1. Рассмотрим двухфакторную модель регрессии со стохастическими регрессорами

y = β0 + β1x1 + β2x2 + u

101

и будем предполагать, что выполнены все условия на ошибку u. Покажите, что

Найдите формулы для OLS-оценок ˆ и ˆ .

β1 β2

Упражнение 2. Рассмотрим двухфакторную модель регрессии со стохастическими регрессорами

y= β0 + β1x1 + β2x2 + u

ибудем предполагать, что выполнены все условия на ошибку u. Покажите, что для дисперсии OLS-оценок коэффициентов регрессии

где TSSj есть общая вариация фактора xj и r12 = corr(d x1, x2)

Упражнение 3. Рассмотрим двухфакторную модель регрессии со стохастическими регрессорами

Упражнение 4. Покажите, что для линейной модели регрессии при k > 1 верно неравенство Radj2 < R2.

Упражнение 5. Рассмотрим однофакторную и двухфакторную модели регрессии

(A) : yb = γ0 + γ1x

(B) : yb = β0 + β1x + β2z

102

Упражнение 6. Покажите, что для модели регрессии

R2 = corrd2(y, yˆ)

Упражнение 7. По 50 выборочным данным была оценена регрессионная модель зависимости рабочего времени Hours (в часах) от уровня оплаты W age (в $100):

Тестируйте гипотезу о линейной зависимости рабочего времени от оплаты. Рассмотрите случаи уровня значимости 10%, 5%, 1%.

Упражнение 8. По 1000 выборочным данным была оценена регрессионная модель зависимости уровня оплаты труда W age от возраста

Age:

Тестируйте гипотезу о линейной зависимости ln W age от возраста. Рассмотрите случаи уровня значимости 10%, 5%, 1%.

Упражнение 9. Была оценена модель зависимости логарифма зарплаты w от уровня школьного образования edu и возраста age

•Дайте интерпретацию коэффициента β1.

•Постройте доверительный интервал для коэффициента β3 с доверительной вероятностью 90%.

•Тестируйте гипотезу о линейной зависимости логарифма зарплаты от возраста при уровне значимости 10%.

Упражнение 10. Рассмотрим модель регрессии зависимости оценки за финальный экзамен exam от оценки за промежуточный срез midterm и времени time, отведенного на выполнение задания (в мин)

exam\= 0.98midterm + 0.001 time, n = 29.

(0.3) (0.0006)

103

•Дайте интерпретацию коэффициента β2.

•Найдите доверительный интервал для коэффициента β1 с доверительной вероятностью 99%.

•Значим ли коэффициент β1 при уровне значимости 1%?

Упражнение 11 ([29]). Рассмотрим регрессионную модель зависимости зарплаты CEO (Salary) от годового уровня продаж фирмы (sales), дохода на собственный капитал (roe, return on equity) и доходности ак-

ций (ros, return on stock)

\

ln Salary = 5.21 + 0.27 ln(sales) + 0.0201roe + 0.00052ros

•Дайте интерпретацию коэффициентам регрессии.

•Проверьте гипотезу

H0 : β3 = 0

против альтернативы

H1 : β3 > 0

уровень значимости 5%. Объясните выбор данной альтернативы.

Упражнение 12. Была оценена модель зависимости зарплаты W age от уровня школьного образования Edu и возраста Age (предполагаем, что нет проблемы эндогенности)

•Дайте интерпретацию коэффициента β1.

•Тестируйте гипотезу

H0 : β3 = 0

против альтернативы

H1 : β3 < 0

при уровне значимости 5%. Объясните выбор данной альтернативы.

104

Упражнение 13. По 32 выборочным данным была оценена модель регрессии (в скобках указаны стандартные ошибки коэффициентов):

Проверьте значимость коэффициентов регрессии при уровне значимости 10% и сформулируйте проверяемые статистические гипотезы. Значимо ли коэффициент β2 отличается от 3 (при уровне значимости 10%)? Сформулируйте проверяемую статистическую гипотезу.

Упражнение 14. По выборке объема 19 была оценена модель регрессии (в скобках указаны стандартные ошибки коэффициентов):

Чему равен коэффициент R2? Проверьте значимость регрессии в целом (при уровне значимости 5%) и сформулируйте проверяемую ста-

тистическую гипотезу. Вычислите ¯2.

R

Упражнение 15. По выборке объема 25 была оценена модель регрессии (в скобках указаны стандартные ошибки коэффициентов):

Постройте доверительные интервалы для коэффициентов регрессии с доверительной вероятностью 99%. Какие из факторов значимо, а какие незначимо влияют на Y (при уровне значимости 1%)? Сформулируйте проверяемые статистические гипотезы.

Упражнение 16. По 19 выборочным данным была оценена модель регрессии (в скобках указаны стандартные ошибки коэффициентов):

Проверьте значимость коэффициентов регрессии при уровне значимости 0.1% и сформулируйте проверяемые статистические гипотезы. Значимо ли коэффициент β2 отличается от (−1) (при уровне значимости 0.2%)? Сформулируйте проверяемую статистическую гипотезу.

105

Упражнение 17. На основе опроса 25 человек была оценена модель зависимости логарифма зарплаты (ln w) от уровня образования (edu, в годах) и возраста (age):

Когда в модель были введены переменные fedu и medu, учитывающие уровень образования родителей, величина ESS увеличилась до 110.3. Напишите спецификацию уравнения регрессии с учетом уровня образования родителей. Сформулируйте и проверьте гипотезу о значимом влиянии уровня образования родителей на зарплату (уровень значимости 5%).

Упражнение 18. На основе опроса 50 человек была оценена модель зависимости логарифма заработной платы (ln w) от уровня образования (edu, в годах), возраста (age):

Когда в модель были введены переменные fedu и medu, учитывающие уровень образования родителей, величина ESS увеличилась до 82.7. Напишите спецификацию уравнения регрессии с учетом уровня образования родителей. Вычислите скорректированный коэффициент R2 для обеих моделей регрессии. Улучшило ли включение в модель новых факторов качество модели?

Упражнение 19. Была оценена функция Кобба–Дугласа с учетом человеческого капитала H (K – физический капитал, L – труд)

\

ln(Q) = 1.4 + 0.46 ln(L) + 0.27 ln(H) + 0.23 ln(K) ESS = 170.4 RSS = 80.3 n = 21.

Чему равен коэффициент R2? Проверьте значимость регрессии в целом и сформулируйте проверяемую статистическую гипотезу. Уровень значимости 1%.

Упражнение 20. Случайным образом было выбрано 300 домов. Пусть P rice – цена дома (в $1000), BDR – количество спальных комнат, Bath – число ванных комнат, Hsize – площадь дома, Lsize – площадь

106

участка вокруг дома, Age – возраст дома (в годах), P oor – бинарная переменная, равная 1, если состояние дома оценивается как плохое . Была оценена регрессия

\

P rice = 134.3 + 0.369BDR + 22.7Bath + 0.134Hsize

+ 0.00036Lsize + 0.016Age − 23.4P oor, R2 = 0.63, SER = 6.5

•Пусть владелец дома решил переделать одну из жилых комнат (не спальню) в новую ванную комнату. Какое ожидаемое изменение цены дома?

•Пусть владелец дома решил добавить еще одну ванную комнату, увеличив площадь дома на 100м2. Какое ожидаемое изменение цены дома?

•Найдите коэффициент R2.

Упражнение 21. В условиях предыдущей задачи были также получены стандартные ошибки коэффициентов

\

P rice = 134.3 + 0.369BDR + 22.7Bath + 0.134Hsize

(23.9) (2.13) (8.94) (0.014)

•Значимо ли фактор BDR влияет на цену дома? Рассмотрите уровень значимости 1%, 2%, 5%, 10%.

•Обычно дома с шестью спальнями стоят гораздо дороже, чем дома с двумя спальнями. Как это соотносится с ответом на предыдущий пункт? Дайте несколько возможных объяснений.

•Владелец дома увеличил площадь участка на 2000 м2. Постройте 99% доверительный интервал для изменения стоимости дома.

•F -статистика для проверки влияния BDR и Age равна F = 0.782. Значимо ли факторы BDR и Age влияют на стоимость дома? Рассмотрите уровни значимости 1%, 5%, 10%.

Упражнение 22. Оценивается модель зависимости школьной оценки по математике (math, по 100-бальной системе) от возраста матери при

107

рождении ребенка (agebirth), способностей матери (mothabil), уровня школьного образования матери (school), дохода матери (income, в $1000) и бинарной переменной married, равной 1, если мать ребенка замужем и 0 иначе. Результаты оценивания:

[

math = 30.741 + 0.068agebirth + 6.775mothabil + 1.607school

(3.439) (0.108) (0.571) (0.256)

•Значимо ли школьные оценки зависят от семейного положения матери? Рассмотрите уровень значимости 1%, 5%, 10%.

•Значимо ли возраст матери при рождении ребенка влияет на оценку ребенка по математике? Рассмотрите уровень значимо-

сти 1%, 5%, 10%.

•Постройте доверительный интервал для эффекта влияния уровня доходов матери на школьную оценку. Рассмотрите доверительные вероятности 90%, 95%, 99%.

•Постройте доверительный интервал для эффекта влияния уровня образования матери на школьную оценку по математике. Рассмотрите доверительные вероятности 90%, 95%, 99%.

Упражнение 23. В условиях предыдущей задачи также была оценена модель

[

math = 33.019 + 0.072agebirth + 6.936mothabil

(3.299) (0.106) (0.569)

+ 1.646school R2 = 0.1461 n = 2524

(0.253)

Значимо ли доход матери и ее семейное положение (совместно) влияют на школьную оценку по математике? Сформулируйте проверяемую гипотезу. Рассмотрите уровни значимости 1%, 5%, 10%.

Упражнение 24. Рассмотрим регрессионную модель зависимость логарифма зарплаты ln(W age) от уровня образования edu, опыта работы experience, experience2 и уровня образования родителей fedu и medu

108

a)Напишите спецификацию модели регрессии с ограничениями для проверки статистической гипотезы H0 : β4 = β5.

b)Дайте интерпретацию нулевой гипотезе из п. a).

c)Для модели регрессии из п. a) был вычислен Rr2 = 0.262. Тестируйте нулевую гипотезу при уровне значимости 5%.

d)Вычислите скорректированный коэффициент R2 для исходной модели.

Упражнение 25. Была оценена производственная функция Кобба – Дугласа (Cobb–Douglas production function)

a)Проверьте значимость коэффициентов β1 и β2 (уровень значимости

5%).

b)Проверьте значимость регрессии в целом (уровень значимости

5%).

c)Также был вычислен corr(ln(d K), ln(L)) = 0.96. Как это соотносится с ответами на пп. a) и b)?

d)Напишите спецификацию модели регрессии с ограничениями для тестирования гипотезы H0 : β1 + β2 = 1.

e)Дайте интерпретацию нулевой гипотезе.

f)Пусть в модели с ограничениями Rr2 = 0.79. Тестируйте нулевую гипотезу при уровне значимости 1%.

Упражнение 26. Была оценена функция Кобба–Дугласа с учетом человеческого капитала H (K – физический капитал, L – труд)

\

ln(Q) = 1.4 + 0.46 ln(L) + 0.27 ln(H) + 0.23 ln(K)

a)Проверьте значимость коэффициентов регрессии (уровень значимости 1%);

109

b)проверьте значимость регрессии в целом (уровень значимости

1%);

c)Напишите спецификацию модели регрессии с ограничениями для тестирования гипотезы H0 : β1 + β2 + β3 = 1.

d)Дайте интерпретацию нулевой гипотезе.

e)Пусть в модели с ограничениями Rr2 = 0.72. Тестируйте нулевую гипотезу при уровне значимости 1%.

Упражнение 27. Рассмотрим модель зависимости цены дома P rice (в $1000) от его площади Hsize (в м2), площади участка Lsize (в м2), числа ванных комнат Bath и числа спален BDR

\

P rice = β0 + β1Hsize + β2Lsize + β3Bath + β4BDR R2 = 0.218 n = 23

Напишите спецификацию регрессии с ограничениями для проверки статистической гипотезы H0 : β3 = 20β4. Дайте интерпретацию проверяемой гипотезе. Для регрессии с ограничениями был вычислен Rr2 = 0.136. Тестируйте нулевую гипотезу при уровне значимости 5%.

Упражнение 28. Рассмотрим модель зависимости почасовой оплаты труда w от уровня образования educ, возраста age и уровня образова-

ния родителей fathedu, mothedu

n = 27 R2 = 0.341

Напишите спецификацию регрессии с ограничениями для проверки статистической гипотезы H0 : β5 = 2β4. Дайте интерпретацию проверяемой гипотезе. Для регрессии с ограничениями был вычислен Rr2 = 0.296. Тестируйте нулевую гипотезу при уровне значимости 5%.

Упражнение 29. Рассмотрим модель зависимости цены дома P (в $1000) от его площади Hsize (в м2), площади участка Lsize (в м2), числа ванных комнат Bath и числа спален BDR

b 2

P = β0 + β1Hsize + β2Lsize + β3Bath + β4BDR R = 0.218 n = 23

Напишите спецификацию регрессии с ограничениями для проверки статистической гипотезы H0 : β2 = 0, β3 = β4. Дайте интерпретацию

110