Артамонов - Введение в эконометрику

a)Опишите двухшаговую процедуру тестирования ошибок регрессии на автокорреляцию третьего порядка и напишете спецификацию вспомогательной модели регрессии.

b)Пусть во вспомогательной регрессии R02 = 0.17. Можно ли сделать вывод об автокоррелированности (третьего порядка) ошибок регрессии в кривой Филлипса? Уровень значимости 10%.

c)Можно ли в данной модели регрессии для тестирования ошибок регрессии на автокорреляцию первого порядка использовать тест

Durbin – Watson ?

Упражнение 35 ([29]). Рассмотрим регрессионную модель зависимости доходности краткосрочных казначейских облигаций США i3 (3-х месячный T-bill rate) от годового уровня инфляции inf (основанного на consumer price index CPI) и дефицита бюджета def (в процентах от GDP), основанную на данных с 1948 по 2003 года

\

ln(i3t) = 1.733 + 0.606 ln(inft) + 0.513 ln(deft) R2 = 0.602 DW = 0.716

a)Опишите двухшаговую процедуру тестирования ошибок модели регрессии на автокорреляцию второго порядка и напишете спецификацию вспомогательной регрессии.

b)Пусть во вспомогательной регрессии R02 = 0.371. Можно ли сделать вывод об автокоррелированности (второго порядка) ошибок регрессии? Уровень значимости 5%.

c)Можно ли в данной модели регрессии для тестирования ошибок регрессии на автокорреляцию первого порядка использовать тест Durbin–Watson ? Если да, то тестируйте ошибки на автокорреляцию первого порядка.

161

Глава 4

Модели временных´ рядов

При построении эконометрических регрессионных моделей для временных рядов необходимо учитывать следующие особенности:

•фактор времени естественным образом упорядочивает данные, т.е. важен порядок, в котором записаны данные временного ряда (в отличие от пространственной выборки);

•в отличие от пространственной выборки во временном ряду естественно допускать зависимость элементов ряда в различные моменты времени ( эффект памяти );

•часто приходится оценивать регрессионные модели по небольшим выборкам и нет возможности получить выборочные данные большого объема. Например, такая ситуация может возникать при работе с годовыми макроэкономическими данными.

4.1.Условия Гаусса – Маркова для регрессионных моделей временных´ рядов

для временных´ рядов {yt, xt1, . . . , xtk}. Основное отличие этой модели от модели для случайных пространственных выборок (cross-section data) состоит в том, что случайные величины, формирующие временной ряд, не обязаны быть независимыми. Соответственно, условия Гаусса – Маркова должны быть скорректированы.

162

Введем обозначение

Тогда уравнение (4.1) может быть записано в матричном виде

yt = β0 + x0tβ + ut.

Относительно ошибок регрессии будем предполагать выполнение следующих условий:

1.M(ut|x1, . . . , xn) = 0;

2.Var(ut|x1, . . . , xn) = Var(ut) = σ2;

3.cov(ut, us|x1, . . . , xn) = 0;

4.ut|x1, . . . , xn N (0, σ2).

Замечание. отличие от модели регрессии для пространственных выборок состоит в том, что условное математическое ожидание и условная дисперсия берутся при условии x1, . . . , xn, т.к. допускается коррелирование элементов временного ряда в разные моменты времени.

Теорема. Пусть ошибки модели регрессии удовлетворяют условиям 1. – 3. и ни один из регрессоров не выражается линейно через остальные. Тогда OLS-оценки коэффициентов в модели (4.1) будут BLUE-оценками.

Замечание. Как и в случае пространственных выборок для несмещенности OLS-оценок достаточно условия 1. на ошибки регрессии.

Теорема. Пусть для модели регрессии выполнены условия предыдущей теоремы и выполнено условие 4. нормальной распределенности ошибок. Тогда для OLS-оценок коэффициентов в модели регрессии (4.1) верны статистические выводы регрессии для пространственных выборок.

Для модели регрессии (4.1) применимы все описанные выше методы исследования на функциональную форму и гетероскедастичность.

Следует обратить внимание на два вида моделей регрессии для временных рядов:

163

•статические модели (static model) включает объясняющие переменные, взятые за тот же период времени, что и зависимая переменная. Пример - статическая кривая Филлипса, описывающая зависимость уровня инфляции inf от уровня безработицы unem

inft = β0 + β1unemt + ut

•модель (конечных) распределенных лагов (finite distributed lag, FDL model) содержит лаговые значения регрессоров.

Замечание. Также в модель можно включить лаговые значения зависимой переменной, однако этот случай не описывается вышеизложенной моделью, так нарушаются условия 1. – 3. на ошибки регрессии. Эта модель будет рассмотрена отдельно.

4.2.Модель тренда и сезонность

В экономическом анализе встречаются временные ряды имеющие (в среднем) устойчивую тенденцию к возрастанию с течением временем. Поведение таких временных рядов можно описывать регрессионной моделью тренда, где в качестве объясняющей переменной выступает фактор времени.

Модель линейного тренда задается уравнением

yt = β0 + β1t + ut, t = 1, . . . , n.

Будем предполагать, что ошибки {ut} удовлетворяют условиям теоремы Гаусса – Маркова. Тогда к модели линейного тренда применимы выводы стандартной линейной модели регрессии. В частности, среднее значение Myt линейно зависит от времени t:

Myt = β0 + β1t.

Коэффициент β1 имеет следующую интерпретацию: это есть среднее приращение временного ряда за один период времени

4Myt = Myt − Myt−1 = β1.

Следовательно, с увеличением времени,

• при β1 > 0 во временном ряду есть тенденция к возрастанию ,

164

• при β1 < 0 во временном ряду есть тенденция к убыванию ,

причем средняя скорость изменения временного ряда за один период времени постоянна.

Модель экспоненциального тренда задается уравнением

ln(yt) = β0 + β1t + ut.

Будем предполагать, что ошибки {ut} удовлетворяют условиям теоремы Гаусса – Маркова. Тогда к модели линейного тренда применимы выводы стандартной линейной модели регрессии. В частности, среднее значение зависит от t экспоненциально

M ln(yt) = β0 + β1t.

Для коэффициента β1 получаем следующую интерпретацию:

yt

4M ln(yt) = M ln(yt) − M ln(yt−1) = M ln yt−1 = β1

Следовательно, за один период времени (в среднем) значение yt изменяется в exp(β1) раз.

Если β1 мало, то exp(β1) 1 + β1 и за один период времени в среднем значение yt изменяется (в первом приближении) на β1 · 100%.

Другие модели тренда. Наряду с линейным и экспоненциальным трендом в прикладных задачах могут встречаться и другие функциональные формы трендов. Например, квадратичный тренд, задаваемый уравнением

yt = β0 + β1t + β2t2 + ut.

Для выбора функциональной модели тренда применимы методы и тесты модели регрессии на функциональную форму.

Использование временных´ рядов с трендом в регрессионных моделях

Применение трендовых временных рядов в качестве зависимой и объясняющих переменных имеет важную особенность. Поясним ее на примере модели с одной объясняющей переменной. Итак, пусть

165

и оценивается линейная модель регрессии

yt = β0 + β1xt + error .

Но тогда мы имеем проблему невключения значимого фактора (кото-

рый коррелирует с xt), а именно фактора времени t. Это приводит к смещению OLS-оценок параметров регрессии, в частности коэффициент β1 может оказаться значимым, хотя из экономических соображений факторы должны быть независимыми. Описанная проблема назы-

вается ложной регрессией (spurious regression problem). Необходимо учесть тренд (включить в модель значимый фактор времени) и оценивать регрессию

yt = β0 + β1xt + β2t + error .

Пример (Housing investment & Prices [29]). На основе годовых данных с 1947 по 1988 года (n = 42) была оценена лог-линейная модель зависимости инвестиций в строительство (invpc) от индекса цен на дома

(price, равен 1 для 1982 г.):

\ −

ln(invpc) = 0.550 + 1.241 ln(price) s0 = 0.043, s1 = 0.382, R2 = 0.208.

Согласно этой модели, эластичность invpc по price значима и положительна. Оба временных ряда имеют возрастающие значимые тренды:

Чтобы учесть трендовое поведение факторов в модель необходимо включить временной тренд

\ − −

ln(invpc) = 0.913 0.381 ln(price) + 0.0098t s0 = 0.136, s1 = 0.697, s2 = 0.0035, R2 = 0.307

В этой модели эластичность отрицательна и незначима. Временной тренд значим и показывает увеличение invpc за год в среднем на

0.98%.

Замечание. Включение в модель трендовой переменной может и повышать значимость существенных объясняющих переменных.

166

Используя формулы для двухфакторной регрессии несложно показать, что включение в модель трендовой переменной равносильно следующей двухшаговой процедуре:

1.детрендируем зависимую и объясняющую переменные: вычисляем y˙t и x˙ t – остатки в моделях тренда

yt = 0 + 1t + ut xt = γ0 + γ1t + vt,

соответственно;

2. оцениваем парную модель регрессию

y˙t = β0 + β1x˙ t + error

Тогда оценки коэффициентов β0 и β1 в регрессии yt на xt, t и в регрессии y˙t на x˙ t совпадают.

Сезонность

В некоторых временных рядах, особенно полученных на основе месячных или квартальных (иногда недельных или дневных) данных может наблюдаться сезонность или периодичность.

Пример. Объем продаж мороженного имеет выраженную сезонность, что связано с погодными условиями. Число постояльцев курортного отеля также может иметь выраженную сезонность, что также связано с погодными условиями. Однако в финансовых данных (доходности и т.д.) как правило сезонность не наблюдается.

Для учета сезонности и периодичности в модель регрессии вводят фиктивные переменные.

Замечание. Следует отметить, что часто статистические данные публикуются с поправкой на сезонность (seasonally adjusted), так что учитывать ее не нужно. Например, квартальные данные U.S. GDP публикуются с исключением сезонности.

167

4.3.Модель распределенных лагов

Как уже отмечалось, модель распределенных лагов (finite distributed lag, FDL model) содержит в качестве регрессоров лаговые значения объясняющих переменных. При выполнении условий на ошибки регрессии к данной модели применимы все статистические выводы многофакторной регрессии.

Интерпретацию коэффициентов в модели распределенных лагов рассмотрим на примере модели FDL(2) с одним регрессором

yt = β0 + β1xt + β2xt−1 + β3xt−2 + ut

Пусть в момент времени t значение объясняющей переменной увеличилось на единицу. Тогда ожидаемое изменение зависимой переменной в тот же момент времени t равен

4Myt = β1,

а ожидаемое изменение в будущие периоды времени равны

4Myt+1 = β2, 4Myt+2 = β3,

4Myt+l = 0, l > 3

Коэффициент β1 есть таким образом отклик за один период или краткосрочный мультипликатор (impact multiplier).

Пусть начиная с момента времени t значения регрессора увеличилось на единицу. Тогда ожидаемое изменение зависимой переменной равно

4Myt = β1

4Myt+1 = β1 + β2

4Myt+l = β1 + β2 + β3, l > 2.

Долгосрочный отклик или долгосрочный мультипликатор (long-run multiplier) для модели FDL(2) таким образом равен β1 + β2 + β3. Это можно рассматривать как наличие долгосрочной зависимости между факторами вида

y = β0 + (β1 + β2 + β3)x .

Аналогично определяется долгосрочные мультипликаторы и долгосрочная зависимость для произвольной модели FDL.

168

4.4.Модель авторегрессии временных рядов

При анализе экономических и финансовых показателей могут возникать ситуации, когда изучаемый процесс не имеет устойчивой тенденции к росту или убыванию (тренда), а представляет собой случайные колебания вокруг некоторого среднего уровня. Такие явления могут иметь место, например, в случае, когда экономические показатели характеризуются случайными отклонениями под воздействием внешних факторов от положения равновесия, т.е. описывают случайные колебания системы, находящейся в равновесии. Для описания таких классов временных рядов используются вероятностные модели стационарных временных рядов.

4.4.1.Стационарные временные ряды

Определение. Временной ряд yt называется стационарным (в ши-

роком смысле), если

Myt const, cov(yt, yt+h) = γ(h) (h = 0, ±1, ±2 . . .)

Понятие стационарного временного ряда означает, что его среднее значение не изменяется во времени, т.е. временной ряд не имеет тренда. Кроме того, ковариация между разными элементами временного ряда (как между случайными величинами) зависит только от того, насколько сильно они отдалены друг от друга во времени. Величина h, характеризующая разницу во времени между элементами временного ряда, называется лаговой переменной или запаздыванием. Так как

γ(0) = cov(yt, yt) = Var(yt),

то дисперсия стационарного временного ряда также не меняется со временем.

Определение. Функция γ(h) как функция от лаговой переменной,

называется автоковариационной функцией временного ряда.

Она определена как для положительных, так и для отрицательных лагов h. Так как

γ(−h) = cov(yt, yt−h) = cov(yt−h, yt) = cov(y , y +h) = γ(h),

169

то γ(h) – четная функция. Для произвольных моментов времени t и s очевидно равенство

cov(yt, ys) = γ(t − s)

Вычислим теперь коэффициенты корреляции между разными элементами стационарного временного ряда с временным лагом h:

Также как и в случае коэффициента ковариации, коэффициент корреляции между разными элементами стационарного временного ряды зависит только от лага между ними.

Определение. Функция (h) = corr(yt, yt+h) называется автокова-

риационной функцией (autocorrelation function, ACF) стационарного временного ряда.

Очевидно, что она также является четной функцией лаговой переменной и (0) = 1. Для коэффициента автокорреляции очевидно:

corr(ys, yt) = (s − t).

Предложение. Для произвольного стационарного ряда существует предел автокорреляционной функции

lim (h) = 0.

h!±1

Это означает, что с ростом временного лага элементы временного ряда становятся менее коррелированными . Это можно интерпретировать следующим образом: с ростом времени t временной ряд забывает свои прошлые состояния , так как corr(ys, yt) = (t − s) ! 0 при t ! +1 если s фиксированно.

Определение. Коррелограммой стационарного временного ряда называется график функции (h).

Пример. Рассмотрим основной пример стационарного временного ряда. Пусть {yt} – последовательность некоррелируемых, нормально распределенных случайных величин с нулевым средним и одинаковой

170