Моделирование инвестиционных ожиданий и инвестиционные стратегии

1.1 Аналитическое решение уравнения Штюрма-Лиувилля

Рассмотрено решение уравнения Штюрма-Лиувилля для неоднородного случая при выполнении следующих условий (1.1), (1.2), (1.3), (1.4):

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

Решение основано на разложении оператора второго порядка на произведение двух операторов первого порядка, которое приводится к аналитически разрешимой спецификации уравнения Риккати при условии, что задан коэффициент мгновенной диффузии σ(х). Оба коэффициента, μ(х) и σ(х) являются параметрами уравнения Фоккера-Планка. При получении однородных решений мы предполагаем, что эти коэффициенты независимы от времени. Первая задача решается в несколько этапов. Вначале строится дифференциальный оператор второго порядка (уравнение Штюрма – Лиувилля) и предлагается сценарий такого его решения, чтобы, во-первых, решение всегда получалось в явном виде, не численно и не в виде бесконечного ряда (матрицанта). Уравнение предлагается решать на основе разложения оператора второго порядка в произведение двух дифференциальных операторов первого порядка и последующего приведения к аналитически разрешимому виду уравнения Риккати.

Сам данный подход уже составляет научную новизну, поскольку обычно аналитическое решение уравнения Штюрма – Лиувилля с функциональными (не постоянными) параметрами получается по сценарию приведения его к виду уравнения Эйлера – Коши, что совместимо лишь с одним видом исходных функций мгновенной диффузии и мгновенного сдвига, параметризующих уравнение Фоккера – Планка. Предлагаемый же сценарий позволяет выстраивать решения при обширном семействе исходных диффузий и – что интересно – получать при этом функции мгновенного смещения эндогенно, в процессе решения, а не задавать априорно.

Полезно, что функции мгновенного смещения (сдвига) во многих случаях при этом включают в себя эффект изменения средних по знаку, в отличие от стандартного подхода (к примеру, по Уленбеку – Орнштайну), при котором mean reversion также задается априорно.

Решение представлено ниже, коэффициент мгновенного сноса μ(х) получается эндогенно: