Задача 2

Имеется два вида сырья: S₁и S₂в количествах 800 и 1400 единиц. Можно изготовить три вида продукции: Р₁, Р₂и Р₃. Затраты сырья на единицу продукции составляют соответственно: 4; 2; 5 и 2; 6; 5. Цена готовых изделий: 8; 14; 10. Найти оптимальный план производства и минимальные цены, по которым еще выгодно было бы продать сырье.

Решение

Представим данные в табличной форме:

	Р1	Р2	Р3	Запасы сырья	Цены сырья
S1	4	2	5	800	y1
S2	2	6	5	1400	y2
Цены изделий	8	14	10
Количество изделий	x1	x2	x3

Формализуем задачу. Поскольку задача содержит три переменные, графически на плоскости ее решить невозможно. Но так как она содержит два функциональных ограничения, можно перейти к двойственной, которая будет иметь две переменные, и решить ее графически.

Изобразим допустимую область, линию уровня целевой функции и направления ее градиента для двойственной задачи – см. рис. 4.10.

M

Рис. 4.10

Как видно из рис.10, точка М является точкой минимума функции Fна допустимой областиD. Она лежит на пересечении прямых 1 и 2. Ее координаты определяются из системы

Вернемся к решению прямой задачи. В соответствии с теоремой о дополняющей нежесткости в оптимальной точке имеем:

1. так как третье ограничение не эффективно, то ;

2. так как то оба соответствующих неравенства в прямой задаче должны обратиться в равенства.

Таким образом, получаем:

Ответ: Оптимальный план производства:

Сырье выгодно продавать по ценам не ниже 1 и 2 соответственно.

Задача 3

Производственное объединение, в которое входят две мебельные фабрики, нуждается в обновлении парка станков, причем первой фабрике нужно заменить 3 станка, а второй – семь. Заказы на изготовление станков можно разместить на двух станкостроительных заводах. Первый завод может изготовить не более 6 станков, а второй согласен производить станки, если их будет заказано не менее трех. Цена станков первого завода равна 9 ед, а второго – 10 единицам. Стоимость доставки одного станка с первого завода на первую фабрику равна 2 ед., на вторую – 3 ед., со второго завода – соответственно 4 и 2 ед. Определить оптимальное размещение заказа и план перевозок.

Решение

Обозначим через х_ij - количество станков, доставляемых с заводаi на фабрикуj. Тогда, с учетом того, что общая стоимость станко будет складываться из стоимости изготовления и доставки станка, будем иметь:

	Фабрика 1		Фабрика 2		Цена станка	Ограничения заводов
Завод 1	2	х11	3	х12	9	6
Завод 2	4	х21	2	х13	10	3
Кол-во заменяемых станков	3		7

Ответ: х₁₁ = 3;

х₁₂ {0; 1; 2; 3};

x₂₁ = 0;

x₂₂ = 7 -x₁₂.

Рис. 4.11

В заключение раздела рассмотрим две задачи, в первой из которых оптимальное решение достигается в вершине, в которой количество активных ограничений превышает размерность задачи, а во второй оптимальные решения образуют бесконечное множество – достигаются на ребре многогранного множества.