- •4.1. Формы представления задач линейного программирования
- •4.2. Структура допустимого множества и типы решений
- •Пример 1
- •4.3. Прямая и двойственная задачи. Теоремы двойственности. Экономическая интерпретация двойственных задач
- •Теорема о существовании решений
- •Теорема о совпадении оптимальных значений
- •Теорема о дополняющей нежесткости
- •Прямая задача
- •Двойственная задача
- •4.4. Графический метод решения задач линейного программирования
- •Задача 1
- •Решение
- •Задача 2
- •Решение
- •Задача 3
- •Решение
- •Задача 4(см. Рис. 4.12)
- •Задача 4(см. Рис. 4.13)
- •4.5. Анализ чувствительности оптимального решения к параметрам задачи линейного программирования
- •Задача 1
- •4.6. Принцип гарантированного результата в задачах линейного программирования
- •4.7. Решение задач линейного программирования симплекс-методом
- •4.8. Транспортные задачи линейного программирования
- •2) Отчет по пределам (рис.16)
Теорема о существовании решений
Задача линейного программирования вида (4.4) или (4.5) имеет решение тогда и только тогда, когда допустимые множества прямой и двойственной задачи оба не пусты.
Действительно, если в прямой задаче допустимое множество пусто, то условие Куна-Таккера не выполняется ни при каких значениях х иу, а значит, и не может быть оптимума ни в одной из задач.
Обратно, если оба допустимых множества не пусты, то существуют допустимые точки и, причем для любых допустимых точекх иу:и, т.е. максимизируемая функцияограничена сверху, а минимизируемая () – снизу. Ввиду линейности функций и замкнутости допустимых множеств отсюда следует наличие глобальных оптимумов.
Теорема о совпадении оптимальных значений
Допустимые векторы х иуявляются решениями задач (4.4) и (4.5) тогда и только тогда, когда значения целевых функций обеих задач на этих векторах совпадают:.
Это утверждение непосредственно следует из неравенства (4.9) и условия задач (4.4) и (4.5) – требований максимизации и минимизации целевых функций.
Теорема о дополняющей нежесткости
Допустимые векторы х иуявляются решениями задач (4.4) и (4.5) тогда и только тогда, когда они удовлетворяют условиям дополняющей нежесткости:
. (4.11)
Это утверждения вытекает из предыдущей теоремы и системы условий (4.10).
Ввиду практической важности последней теоремы для решения задач графическим способом рассмотрим условия (4.8) подробнее. Для этого представим их в скалярной форме:
(4.12)
Поскольку мы рассматриваем только допустимые точки, то и,а значит,т.е. каждое слагаемое в первом неравенстве (4.12) неположительно. Однако сумма их равна нулю. Очевидно, это возможно только при равенстве нулю каждого слагаемого. Таким образом,,а это, в свою очередь, означает, что в каждом таком произведении хотя бы один из сомножителей равен нулю.
Иными словами, можно сказать, что если в оптимальной точке (прямой задачи) , то, или, что то же самое,, т.е. соответствующее ограничение в оптимальной точке двойственной задачи превращается в равенство (активно). И наоборот, если в оптимальной точке двойственной задачи, т.е. некоторое ограничение не активно, то соответствующая переменная в оптимальной точке прямой задаче равна нулю:.
Аналогичные рассуждения справедливы относительно второго равенства из (4.12) с той лишь разницей, что там все сомножители неотрицательны.
Суммируя сказанное, теорему о дополняющей нежесткости можно сформулировать следующим образом:
10 Если в оптимальной точке прямой задачи некоторое ограничение не активно (неравенство выполняется строго), то в оптимальной точке двойственной задачи соответствующая переменная равна нулю.
20 Если в прямой задаче некоторая переменная не равна нулю (строго положительна), то в оптимальной точке двойственной задачи соответствующее ограничение обращается в равенство (активно).
Напомним, что понятия прямой и двойственной задач относительны: любую из взаимно двойственных задач можно считать прямой, тогда другая будет двойственной к ней.
Двойственные задачи допускают следующую экономическую интерпретацию.
Будем называть прямой задачей задачу на максимум вида (4.4), а двойственной – задачу на минимум вида (4.5).