2) Отчет по пределам (рис.16)

Рис.16. Отчет по пределам

Отчет по пределам содержит две таблицы: «Целевое» и «Изменяемое».

Новой информацией по сравнению с рассмотренными отчетами здесь является указание пределов изменения значений переменных.

В столбцах «Нижний предел», «Верхний предел» отчета о пределах указываются соответственно нижний и верхний предел диапазона возможных значений переменной при фиксированных значениях остальных переменных, а в столбцах «Целевое результат» - соответствующие значения целевой функции.

В столбце «Нижний предел» указано наименьшее значение соответствующей переменной при условии, что остальные переменные равны соответствующим координатам найденной оптимальной точки и при этом сама точка не покидает допустимого множества:

.

В столбце «Целевое результат» указано значение целевой функции в точке .

В столбце «Верхний предел» указано наибольшее значение соответствующей переменной при условии, что остальные переменные равны соответствующим координатам найденной оптимальной точки и при этом сама точка не покидает допустимого множества:

.

В столбце «Целевое результат» указано значение целевой функции в точке .

Запись #Н/Д означает недостижимость соответствующих значений (значение переменной в формулах для максимума (минимума) может неограниченно возрастать).

Замечание 1. Следует отметить, что описанная программа позволяет найти лишь одно решение задачи (даже если оно не единственно).

Замечание 2. Здесь описан один из возможных вариантов действий. Последовательность действий, состав записываемых данных и выбор ячеек для записи могут быть иными.

Упражнения

I. Составить математическую модель задачи и решить ее.

1. В ателье имеется рулон материи длиной 300 м и 500 пуговиц. Из этого материала можно сшить костюмы трех видов с расходом материи 2м, 3м и 5м и пуговиц - 8 шт., 7 шт. и 5 шт. соответственно. Цена одного готового костюма составляет соответственно 80$, 140$ и 200$. Составить оптимальный план пошива костюмов.

2. На заводе имеется запас олова и свинца в объеме 3 тонн и 5 тонн соответственно. Из этих металлов завод может изготовить три вида сплавов: с содержанием олова 20%, 30% и 50%. Сплав первого вида завод может реализовать по цене 80$ за кг, второго - 140$, третьего - 200$. Составить оптимальный план производства.

3. Фирма организовала выпуск трех видов продукции: варенья стоимостью 8 рублей за банку, компота стоимостью 14 рублей за банку и яблочного сока стоимостью 20 рублей за банку. Для производства одной банки варенья расходуется 2 кг сахара и 8 кг яблок; компота - 3 кг сахара и 7 кг яблок; сока 5 кг сахара и 5 кг яблок. При ограничении на количество имеющегося на складе сахара (300 кг) и яблок (500 кг) определить выпуск продукции, максимизирующий выручку от ее продажи, и найти максимальную выручку.

4. Имеется 3 вида продуктов питания А, В и С, которые можно купить по ценам $8, $10 и $10 за килограмм. В одном килограмме продукта А содержится 50 г питательного вещества М и 100 г питательного вещества N. Для продукта В соответствующие цифры составляют 100 и 50, для продукта С - 100 и 100. Сколько требуется закупить продуктов А, В и С, чтобы общее количество питательных веществ М и N составляло не менее 4 кг и 5 кг соответственно, а расходы были минимальны? Вычислить также минимальные расходы.

5. Домостроительный комбинат располагает запасами стройматериалов: бруса - 120 м³ и вагонки - 60 м³. Заказчик представил три проекта домов стоимостью 40, 27 и 28 тыс. рублей соответственно. На строительство одного дома первого типа требуется 10 м³ бруса и 4 м³ вагонки, второго - 3 м³ бруса и 9 м³ вагонки, третьего - 4 м³ бруса и 4 м³ вагонки. Определить оптимальный план производства домов и максимальную выручку от их продажи.

6. Домостроительный комбинат может приобрести до 120 м3 бруса по цене 2 тыс. рублей и до 60 м3 вагонки по цене 2,5 тыс. рублей за кубометр. Проектировщик предложил на рассмотрение три проекта домов, рыночная стоимость которых (с учетом материала) составляет 70, 55,5 и 46 тыс. рублей соответственно. На строительство одного дома первого типа требуется 10 м3 бруса и 4 м3 вагонки, второго - 3 м3 бруса и 9 м3 вагонки, третьего - 4 м3 бруса и 4 м3 вагонки. Определить оптимальный план производства домов и максимальную прибыль от их реализации.

7. Для производства сплава олова со свинцом заводу необходима ежедневная выработка не менее 3 т олова и 5 т свинца. Завод имеет возможность заключать договора с тремя горнодобывающими фирмами. Первая фирма добывает руду, содержащую 5% олова и 10% свинца, и готова поставлять руду по $12 за тонну. Вторая фирма добывает руду, содержащую 8% олова и 12% свинца, и готова поставлять руду по $15 за тонну. Третья фирма добывает руду, содержащую 12% олова и 14% свинца, и готова поставлять руду по $18 за тонну. Найти оптимальный план закупок заводом руды в этих фирмах , минимизирующий стоимость закупки необходимого количества сырья, а также минимальную стоимость закупки.

8. Цех выпускает трансформаторы трех видов. На один трансформатор первого вида расходуется 3 кг трансформаторного железа и 3 кг проволоки. На один трансформатор второго вида расходуется 6 кг трансформаторного железа и 4 кг проволоки. На один трансформатор третьего вида расходуется 2 кг трансформаторного железа и 3 кг проволоки. От реализации трансформаторов цех получает прибыль соответственно в $15, $22 и $13. Сколько трансформаторов каждого вида должен выпустить цех, чтобы получить наибольшую сумму прибыли, если цех располагает 555 кг трансформаторного железа и 600 кг проволоки? Чему равна наибольшая сумма прибыли?

9. Для откорма животных на ферме в их еженедельный рацион необходимо включать определенные количества питательных веществ А и В. Используется три вида кормов. Содержание веществ в килограмме кормов первого вида: 400 г и 100 г. Содержание веществ в килограмме кормов второго вида: 300 г и 200 г. Содержание веществ в килограмме кормов третьего вида: 300 г и 300 г. Цены кормов равны 500, 500, 700 рублей за килограмм соответственно. Количество питательных веществ А и В, получаемых животными еженедельно, должно быть не менее 160 кг и 100 кг соответственно. Каков оптимальный план закупок кормов, минимизирующий стоимость закупок? Какова минимальная стоимость закупок?

10. Завод планирует выплавку олова и свинца на следующий год в объемах не менее 3 т и 5 т в день. Завод имеет возможность заключить договора с тремя горнодобывающими комбинатами, поставляющими руду с содержанием олова и свинца соответственно на первом комбинате - от 5% до 6% и от 10% до 11%, на втором - от 8% до 9% и от 12% до 14%, на третьем - от 12% до 13% и от 14% до 15%. Прогнозируемая цена руды в следующем году составит для первого комбината от 10 до 12 тыс.руб., для второго – от 12 до 15 тыс рублей, для третьего – от 15 до 18 тыс. руб. Определить оптимальный план закупки руды, гарантирующий минимальные расходы на приобретение руды в предположении независимости неопределенных факторов, и величину этих расходов.

11. Завод планирует в следующем году выпуск трансформаторов трех видов: А, В и С. На один трансформатор вида А расходуется от 2,7 до 3 кг трансформаторного железа и от 2,8 до 3 кг проволоки., вида В – от 5,8 до 6 кг трансформаторного железа и 4 кг проволоки, вида С – от 1,9 до 2 кг трансформаторного железа и от 2,8 до 3 кг проволоки. Завод планирует закупить 500 кг трансформаторного железа и 600 кг проволоки. Прогнозируемая цена 1 кг трансформаторного железа – от 1,8 до 2 долларов, проволоки – от 1,3 до 1,5 долларов. Рыночная цена трансформаторов вида А прогнозируется в пределах от $15 до $18, вида В – от $22 до $25, вида С - от $13 до $15. Определить оптимальный план выпуска трансформаторов, гарантирующий максимальную прибыль в предположении независимости неопределенных факторов, а также значение этой прибыли.

12. Для откорма животных на ферме в их ежедневный рацион необходимо включить не менее 160 кг питательного вещества А и не менее 100 кг питательного вещества В. Используется три вида кормов с содержанием питательных веществ А и В в одном килограмме соответственно в количествах: 400- 420 г и 100 - 110 г, 300 - 310 г и 200 - 205 г, 300 - 312 г и 300 - 320 г. Ферма планирует закупку кормов на следующий месяц. Прогнозируемая цена кормов составляет: для первого вида – от 450 до 500 руб., для второго вида – от 480 до 500 руб., для третьего вида – от 600 до 700 руб. за килограмм. Определить оптимальный план закупки кормов, при котором достигается гарантированный минимум затрат в предположении независимости неопределенных факторов, и найти эти затраты.

13. (Подиновский В.В.) На трех станках обрабатываются детали двух видов: А и В, причем каждая деталь проходит обработку на всех станках. Известно время обработки детали на каждом станке, время работы станков в течение одного цикла производства и прибыль от продажи одной детали каждого вида. Данные приведены в таблице.

Станки	Время обработки детали		Время работы станка за 1 цикл
	А	В
I	1	2	16
II	1	1	10
III	3	1	24
Прибыль на 1 деталь	4	2

1. Составить план производства, обеспечивающий наибольшую прибыль.

2. Найти графическим методом оптимальный план выпуска продукции. Провести анализ чувствительности для параметров c₁, c₂, b₁, b₂, b₃. Построить графики трех зависимостей f*(b_i) на интервалах постоянства оптимального базиса. Найти их угловые коэффициенты. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов. Достроить графики f*(b_i) для всего диапазона возможных значений b_i – интервала [0, +∞).

3. Записать двойственную задачу и решить ее аналитически. Пояснить полученный результат при помощи графиков f*(b_i). Дать экономическую интерпретацию.

14. Песок для двух домостроительных комбинатов А и В берется из трех карьеров. Первому комбинату требуется 40 тонн песка в день, второму - 30 тонн. В карьерах №№1, 2, 3 добывается соответственно 20т, 20т и 30т песка в день. Расстояния от карьеров до ДСК равны соответственно: 10, 20, 8 и 15, 17, 12. Затраты на перевозку песка пропорциональны расстоянию и массе груза. Найти наиболее дешевый способ перевозки песка.

15. Предприятию необходимо выполнить заказ по изготовлению 20 металлических цилиндров диаметром 50мм, 15 цилиндров диаметром 30мм и 10 цилиндров диаметром 20мм. Для выполнения этого заказа предприятие располагает двумя токарными станками с фондом рабочего времени соответственно 8 часов и 6 часов. Себестоимость изготовления одного 50мм цилиндра на первом станке равна 10 р., 30мм – 12 р., 20мм – 15р., а на втором соответственно: 8р., 9р. и 10р. Производительность первого станка по изготовлению цилиндров указанных типов равна соответственно: 5, 4 и 3 штуки в час, а второго: 6, 5 и 4. Нужно распределить изготовление цилиндров таким образом, чтобы себестоимость всей продукции была минимальной.

II. Решить задачи линейного программирования.

1. 2.

3. 4.

III. Привести задачи линейного программирования к каноническому и стандартному видам.

1. 2. 3.

IV. При каких значениях параметра задача линейного программирования:

1) не имеет решений; 2) имеет единственное решение; 3) имеет бесконечное множество решений? Найти эти решения:

1. 2. 3.

1 Можно показать, что и это ограничение может быть снято, т.е. условие Куна-Таккера для задач вида (4.4) и (4.5) всегда является необходимым и достаточным для наличия локального (= глобального) максимума , соответственно минимума.

1 В общем случае количество базовых переменных равно рангу системы функциональных ограничений-равенств, а свободных – количеству линейно независимых ограничений минус ранг системы.

1 На самом деле алгоритм несколько сложнее (см., например, [ ]), поскольку в общем случае увеличиваемая переменная может входить в некоторое уравнение из (4) с отрицательным коэффициентом. Поэтому при увеличении данной переменной соответствующая базисная переменная может оказаться отрицательной.

1 В общем случае следует рассматривать только те строки, в которых коэффициенты в столбце ( ) положительны. Если какой-то из коэффициентов переменной в таблице отрицательный (для системы (6) – положительный), то это означает, что в данном ограничении значение переменной можно увеличивать до бесконечности, что не влияет на выбор разрешающего элемента. Если же все коэффициенты в столбце ( ) положительны, то задача не имеет решения, поскольку значение переменной можно увеличивать до бесконечности, оставляя все переменные неотрицательными и неограниченно уменьшая значение целевой функции.

1 Линия может быть самопересекающейся, например такой:

1 При следующем использовании мастера функций данная функция будет стоять в списке «10 недавно использовавшихся» на первом месте.

1 Если окно, изображенное на рис.5, заслоняет упомянутые ячейки, его следует передвинуть в другое место, поместив курсор «мыши» в серое поле этого окна, нажав левую клавишу и, не отпуская ее, переместить «мышь».