1. Теорема Гюйгенса-Штейнера

С-центр масс системы материальных точек.

X=X_i+d формулы перехода

Y=Y_i координат точек из одной

Z=Z_i системы в другую.

X_c=(∑X_im_i) /M, X_c=0(1)

Jz_i=∑m_i (X1_i²+Y1_i²)=∑m_i((X_i-d)²+Y_i²)=

∑ m_i (X_i²-2X_id+d²+Y_i²)=

∑ m_i (X_i²+Y_i²)+ ∑ m_id²-2d∑ m_i X_i=Jz+Md²-2dMX_c(с учетом 1)=Jz+Md²

Теорема: момент инерции системы масс относительно какой-либо оси, равен моменту инерции относительно оси параллельной исходной и проходящей через центр масс системы плюс масса системы помноженной на квадрат расстояния между осями.

2. Теорема о движении центра масс.

2-ой закон Ньютона для к-ой точки.

m_ka_k=F_k⁽ⁱ⁾+F_k^(e) сложим равенства для всех k

∑m_ka_k(1)=∑ F_k⁽ⁱ⁾(2)+∑ F_k^(e)(3)

(2)=∑ F_k⁽ⁱ⁾=0(внутр.силы)

(1)=∑m_kr_k(d²/dt²)=d²/dt²(∑m_kr_k)=d²/dt²Mr_c=Md²/dt²=Ma_c

Ma_c=∑F_k^(e)

Теорема: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех внешних сил ,действующих на систему. Иными словами, центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все действующие на систему внешние силы.

3. Теорема об изменении количества движения (импульса) системы.

Определение: ∑m_kv_k=Q- количество движения системы

dQ/dt=d/dt∑m_kv_k=∑m_ka_k=∑F_kⁱ(=0)+∑F_k^e=∑F_k^e

dQ/dt=∑F_k^e (теорема об изменении количества движения)

производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме внешних сил.

Проинтегрируем от t=t₁ до t=t₂

S_k^e- импульс силы F_k^e за промежуток(t1;t2)

Q(t2)-Q(t1)=∑S_k^e теорема об изменении количества движения в интегральной форме.\

4. Теорема об изменении момента количества движения систем (момента импульса).

Определение: момент количества движения относительно центра О называется вектор K₀=∑m_kr_kv_k r_k=OP_k

Моментом количества системы движения относительно центра О называется проекция К_о на ось l.

dK_o/dt=d/dt∑m_k(r_k+v_k)=∑m_k((dr_k/dt)v_k)+∑m_kr_k(dv_k/dt)=∑m_k(v_kv_k)(=0)+∑m_k(r_ka_k)=

∑r_k(m_ka_k)=∑r_k(F_kⁱ+F_k^e)=∑r_kF_kⁱ(=0-главный момент внутренних сил)+∑r_kF_k^e=∑m₀(F_k^e)- главный момент внешних сил

M₀(F)=rF

dK₀/dt=∑m₀(F_k^e) теорема об изменении момента количества движения.

Скорость изменения момента количества движения системы относительно некоторого неподвижного центра равна моменту относительно этого центра.

5. Кинетическая энергия при вращательном движении.

V_i=ωh_i , T=∑(m_iv_i²)/2=∑(m_iω²h_i²)/2=ω²/2∑m_ih_i²=Jω²/2

6. Кинетическая энергия при плоскопараллельном движении.

Точка Р - мгновенная ось вращения.

T=(J_pω²)/2, J_p – момент инерции относительно оси вращения.

По Т.Штейнера, J_p=J_c+md², J_c - момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр С.

T=(J_pω²)/2= ((J_c+md²)ω²)/2=(J_cω²)/2+(md²ω²)/2, v_c=dω,

T=(J_cω²)/2+(mv_c²)2