Теоретическая механика-наука о мех.движ. И взаимодействии тел.Мех.движ-происходящее с теч.времени изменение взаиморасп.тел в пространстве.Мех.взаимодействие -взаимодейств.,приводящее к изменению движения/формы тела.Система отсчета-система координат,жестко связ с телом.Тело-расстояние между 2 его точками в рассматриемом движ.явл конст.Разделы механики:статика-общее учение о силах и послед.усл.равновесия тел,находящихся под действ.сил,кинематика-изучает общие геом.св-ва движ.тел,без учета вызвавших их сил,динамика-движ.тел под действ.сил.Сила-мера механического взаимодействия одних тел на другие, характеризуется величиной, направлением действия и точкой приложения. Аксиома-1: Мат. точка находиться в покое или соверш. равномерное прям. движение, если на неё действ. уравновеш. система сил. Аксиома-2: 2 силы являются уравновеш. системой, тогд, когда они направлены в противоположные стороны по общей линии действия.(силу можно перемещать по линии действ. -с1) Аксиома-3:Если к системе сил, действ. на тв. тело, присоединить или от нее отбросить уравн. систему сил, то получиться система сил, эквивалентная исходной Аксиома-4:Равнодействующая двух сил, пересекающихся в одной точке, изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах(Теорема о равновесии 3 непараллельных сил. Если абс. тв. тело нах-ся в равновесии по действием 3 непарал. сил, располож. в одной плоскости,то линии действия этих сил пересекаются в одной точке ) Аксиома-5: 2 тела действуют друг на друга с силами, равными по величине и по одной линии действия, но в противоположные стороны.(внутр.тела-уравновеш) Аксиома-6: Равновесие деформ-го тела сохраняется,если в задачах статики его принять абсолютно твёрдым.

Свободное тело – свобода движения, которого в пространстве ничем не ограничена. Уравновешенные силы – система сил, приложенная к тв. телу, не изменяют его кинемат. состояния Сходящиеся силы: линии их действия проходят через одну точку.

Связь – тело, ограничивающее свободу перемещения несвободного тела, сила с которой эти тела действуют-реакции связей. (типы6гладкая поверхность,нить,подшипник,шарнирно-подвижная опора,сферический шарнир)

Момент силы относительно точки – вектор, произведение силы на длину перпендикуляра, опущенного из центра на линию действ. силы M0(F)= +\-Fh .направление-по правилу буравчика от F к O.h-плечо-расст. От т.О до линии действия силы.Момент перпенд. Плоскости,проходящей через о и силу, характеризует усилие с которым эта сила пыталась бы повернуть тело отн.О

Пара сил – система из 2 сил, равных по модулю, и противоположно направлены по парал. линиям действия Момент пары сил-механический эффект от действия пары сил(сумма моментов отн.О). Плоскость действия-плоскость, в которой лежат силы, составляющие пару.Не зависит от выбора центра(OO1+O1A1=OA1 ,OO1+O1A2=OA2 ,m0=mo(F1)+moF2=OA1*F1+OA2*F2=(OO1+O1A1)*F1+(OO1+OA2)*F2=OO1*F1+O1A1*F1+OO1*F2+O1A2*F2=m01*F1+m02*F2+OO1*(F1+F2 =0)=m01*F1+m02*F2=m0),явл.свободным вектором,равен моменту одной из сил пары отн.т. Приложения другой силы,перпенд.плоскости действия пары

Теорема об эквивалентности пар сил: пары сил, лежащих в одной плоскости эквивалентны, если их алгебраические моменты равны.

Теорема сложения пар сил: при сложении 2 пар, действующих на тв. тело момент результирующей пары = геометрической сумме моментов состав. пар. M=M1+M2

Чтобы тело, на которое действует система пар сил, находилось в равновесии, необходимо равенство нулю результирующей пары: M=0

т.о параллельном переносе сил-силу,прилож к телу можно не измен.ее действие на тело паралелльно переложить в любую точку тела доб.при этом пару с моментом=моменту исходной силы отн.точки,в которую сила переносится

Приведение системы сил к центру пусть [F1...Fn]-произв.сист сил ,О-произв.центр.Fi'-сила получ.переносом Fi в О,тогда по т.о пар.пер.сил. [F1'...Fn]~{{F1;mo(F1)},...{Fn';mo{Fn}}~{F1'...Fn'},{mp(F1?mo(Fn))}~{R,m} R-сила,равная сумме Fi=∑Fi-главный вектор сист.сил ,прилож вО.,мо-пара сил с моментом ∑ мо(Fi)-глав.момент системы отн.О.

Произв.сист.сил при приведении к произв.центру О заменяется одной силой ,равной главному вектору системы и прилож.в центре О и одной паре с моментом ,равном главному мменту сист. отн О

Критерии равновесия произвольной системы сил.-явл.уравновеш.,когда при приведении к какому-либо центру ее глав.вектор и глав момент равны нулю.∑Fi=o ∑moFi=o= по осям тоже все рано нулю.

Плоская система сил.-линии действ.сил лежат в одной плоскости.суммы сил-в плоскости,моменты-перпендикулярны плоскости.Алгебр.момент силы отн О-проекция момента отн О на ось перпендикуляра.По часовой минус,против +.Критерий равновесия:ее главн.вектор и главн.алгебр.момент ранвы нулю. ∑Fi(x,y,z)=0 ∑x=o ∑y=o ∑m0=0

Центр тяжести.

Т. о моменте равнодейств.(Вариньона)Если система сил, приложенных к абсолютно твердому телу имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно произвольного центра (оси) равен сумме моментов всех сил системы относительно того же центра (оси).

Система параллельных сил . Если ф1+ф2 не равно 0,то имеют равнодейств.Пусть параллельные силы ф1 и ф 2 имеют сумму не равн.0 приложены в а1 и b. Равнодействующая ф этой системы параллельна каждой из сил ф1 и ф2.смещая,если нужно точку приложения силы ф вдоль линия действия этой силы будем считать,что ф приложена в o(c) лежащей на q'1q'2(a1a2).По т вариньона mc(F)=Mc(F1)+mc(F2)

mc(F1)=-F1h1=-F1A1Ccosa , mc(F2)=F2h2=F2A2Ccosa

0=-F1(A1C1)cosa+F2(A2C)cosa

F1(A1C)=F2(A2C)-> A1C/A2C=F2/F1

Вывод:точка приложения равнодейств. Делит А1А2 в отношении,обратном отношению сил.При поворотах сил-равнод.поворачивается на тот же угол.Координаты С :

Центр тяжести-центр сист.всех сил тяжести,действ.на все частицы тела,находящиеся в поле действия сил тяжести.Система масс m1...mn в точке A 1....An A1(xi,yi,zi)=> Fi=mig

C(xc,yc,zc)-центр тяжести.xc= ∑Fi*xi/ ∑Fi= ∑migxi/ ∑mig= ∑mixi/ ∑mi

Cвойства центра тяжести:1)если сист.масс имеет центр симметрии,то ее центр тяжести лежит в этой плоскости(на оси,в этой точке)2)Т.о группирвке масс .Если система масс S разбита на подсистемы S1...Sn имеющие массы M1...mn и центры масс C1...Cn ,то центры масс системы S совпадает с центром системы точечных масс М1....Мн расп в С1....Сн..Центры масс фигур:у треуголника на медианах.у параллелограмма на пересеч.диагоналей.Кинематика точки  — раздел кинематики, изучающий математическое описание движения материальных точек. Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение.

Движение любого объекта в кинематике изучают по отношению к некоторой системе отсчета, включающей:

• Тело отсчета;

• Систему измерения положения тела в пространстве (систему координат);

Прибор для измерения времени (Часы).Материальная точка  — тело, размерами которого по сравнению с характерными расстояниями данной задачи можно пренебречь. Радиус-вектор — Вектор, определяющий положение М. Т. в пространстве. Траектория — воображаемая линия, описываемая концом радиус-вектора в процессе движения. Иными словами, траектория — это линия вдоль которой движется М. Т.  Длину участка траектории между начальным и конечным моментами времени часто называют пройденным расстоянием, длиной пути или путем и обозначают буквой S. Законы движения в этом случае записывается в виде S = S(t) и аналогичны соответствующим законам для координат. Например закон равноускоренного криволинейного движения может быть записан в виде:

S=S0+Vt+at2\2, Где : V — модуль начальной скорости, а — Тангенциальное ускорение.

Ускорение - вторая производная радиуса-вектора по времени. Производную по времени от какой-либо величины называют скоростью изменения этой величины. Ускорение - это скорость изменения скорости. Нормальное ускорение направлено по нормали к скорости, его модуль:

Вектор ускорения характеризует быстроту и направление изменения скорости материальной точки относительно тела отсчета.

Скорость и ускорение

Скорость материальной точки представляет собой вектор, характеризующий направление и быстроту перемещения материальной точки относительно тела отсчета. Скорость - это производная радиуса - вектора по времени.

либо, применяя другое обозначение производной по времени,

Ускорение - вторая производная радиуса-вектора по времени. Производную по времени от какой-либо величины называют скоростью изменения этой величины. Ускорение - это скорость изменения скорости. Нормальное ускорение направлено по нормали к скорости, его модуль:

Вектор ускорения характеризует быстроту и направление изменения скорости материальной точки относительно тела отсчета.

2) Равномерное и равнопеременное движение

Криволинейное движение называется равномерным ⇔ = const

Криволинейное движение называется равнопеременным ⇔ = const

Если знак совпадает со знаком скорости, то движение равноускоренное

Равномерное движение ⇒ V = S = const ⇒ S = ʃ Vdt = Vt + So

Равнопеременное движение ⇒ = V = const ⇒ V = ʃ dt = t + Vo

S = ʃVdt = ʃ(t + Vo)dt = t^2 / 2 + Vo t + So – уравнение равнопеременного движения

Сложным движением точки называется такое ее движение, при кото­ром она движется относительно системы отсчета, перемещающейся по отношению к некоторой другой системе отсчета, принятой за непод­вижную. Движение точки по отношению к подвижной системе ко­ординат называется относительным движением точки. Скорость и ускорение этого движения называют относитель­ной скоростью и относительным ускорением и обозначают   и .Движение точки, обусловленное движением подвижной системы координат, называется переносным движением точки. Переносной скоростью и переносным ускорением точки на­зывают скорость и ускорение той, жестко связанной с под­вижной системой коор­динат точки, с которой совпадает в дан­ный момент времени движущаяся точка, и обозначают   и .Движение точки по отношению к неподвижной системе координат называ­ется абсолютнымили сложным. Скорость и ускорение точки в этом движении называют абсолютной скоростью и абсолютным ускорением и обозначают   и .

Вращательным движением называется движение, при котором все точки тела описывают окружности. Центры этих окружностей лежат на прямой, называемой осью вращения. В общем случае движение твердого тела можно представить как результат сложения поступательного и вращательного движений. При вращательном движении все точки тела описывают окружности, при этом радиус-векторы поворачиваются на угол за время . Для того, чтобы указать, в какую сторону совершается поворот, элементарные повороты изображают в виде вектора . По модулю равен величине угла поворота, а направление подчиняется правилу правого винта (рис. 1.6). Быстроту вращения характеризует угловая скорость .

Угловой скоростью называется производная от угла поворота по времени. Модуль угловой скорости равен

Угловым ускорением называется производная от угловой скорости по времени. Модуль углового ускорения равен

При вращении тела вокруг неподвижной оси угловое ускорение также как и угловая скорость направлено вдоль оси вращения. При ускоренном движении эти вектора сонаправлены , при замедленном - противоположны Угловое ускорение измеряется в рад/с². При равномерном вращении

.

При равнопеременном вращении

где    - начальная угловая скорость.        Знак "+" - при равноускоренном движении.        Знак "-" - при равнозамедленном движении.

скорость точки при сложном движении.

Пусть имеется неподвижная система отсчета   по отношению к кото­рой движется подвижная система отсчета . Относительно подвижной системы координат движет­ся точка   . Уравнение движения точки  можно задать векторным способом,где   - радиус-вектор точки , отн. не­подвиж. Сист. ; -  радиус-вектор подвиж. Сист. координат ; -  радиус-вектор рассматриваемой точки , относ. Подвиж. Сист. координат.Пусть   координаты точки   в подвижных осях. Тогда_,.

Дифференцируя равенство получим относитель­ную скорость: _,,  ,  выражение для переносной скорости дифференцируя по времени радиус-вектор , :.Выражение для абсолютной скорости найдем, дифферен­цируя по времени ,.

. теорема о сложении скоростей: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоро­стей.Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса).   

При непоступательном переносном движении абсолютное ускорение точки находится как сумма трех ускорений: относительного, переносного и кориолисоваускорений.

 ,     , 

где  − угловая скорость переносного вращения.

(Далее  )

    

Применяя  формулу  Бура   для   производной   вектора    получаем   

Выделяем  в  этом  выражении  переносное  ускорение  

Окончательно  имеем     

Динамика материальной точки

Точка, движение которой ничем не ограничено, называется свободной. Свободная точка под действием приложенных сил может двигаться в каком угодно направлении. Задачи, в которых рассматривается свободная точка, решаются при помощи основного уравнения динамики (жирным -вектор) (а)P = ma.Если на точку действует только одна сила Р , то векторное ур. (а) заменяется скалярным уравнением (б)P=ma, выражающим зависимость между модулями силы и ускорения,m-мера инертности тела,F-мера мех.взаимодейств.тел завис. От t,x,y,z,x',y',z'

Если на точку действует несколько сил Р₁, Р₂, ..., Р_n, то векторное уравнение (а) примет вид  (в)R=ma, где равнодействующая R=∑P_i и, согласно закону независимости действия сил, a=∑a_i(ускорение точки равно геометрической сумме ускорений, сообщенных ей каждой силой в отдельности).Векторное равенство (в) заменяется двумя или тремя скалярными равенствами.Если силы Р₁, Р₂, ..., Р_n, действующие в одной плоскости, спроектировать на две взаимно перпендикулярные оси, получим два скалярных уравнения (уравнения проекций на оси х и у):  (г)∑X_i=ma_x, ∑Y_i=ma_y, где a_x и a_y – проекции ускорения а соответственно на ось x и y.

Основные (общие) теоремы динамики систем свободных материальных точек являются уравнениями движения систем свободных материальных точек, т. е. математически дифференциальными уравнениями изменений основных мер движения.1. Для точки   уравнение движения отн. Инерц. Сист. отсчёта:

Перенесём все векторы, не изменяя их направления, в центр масс и сложим геометрически:  .

Производная по времени от количества движения системы свободных материальных точек равна геометрической сумме внешних сил. Это теорема об изменении количества движения системы.

Так как   то .Это уравнение движения центра масс системы  материальных точек с массой, равной массе всей системы, к которой приложена сумма всех внешних сил (главный вектор внешних сил ) или теорема о движении центра масс.2. Умножим уравнение движения точки   слева векторно на   и геометрически сложим, перенося векторы в центр масс:

 .

Теорема об изменении кинетического момента системы:Производная по времени от кинетического момента системы свободных материальных точек равна сумме моментов всех внешних сил (главному моменту всех внешних сил).Существенно: моменты количества движения и моменты сил вычисляются относительно общего неподвижного начала.3. Умножая скалярно уравнение движения точки   на   и суммируя: Теорема об изменении кинетической энергии системы:

Дифференциал кинетической энергии системы свободных материальных точек равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил.

Интегралы уравнений движения системы:1) Если равен нулю главный вектор внешних сил, то  = const, то есть центр масс системы свободных материальных точек движется равномерно и прямолинейно.2) Если главный момент внешних сил равен нулю, то сохраняется кинетический момент системы свободных материальных точек: .3) Если внешние и внутренние силы консервативны, тоЗдесь:  - потенциал внешнего силового поля;  - потенциал взаимодействия точек;  - потенциальная энергия системы точек во внешнем поле;  - потенциальная энергия взаимодействующих точек.

При плоском движении твердого тела, если его угловая скорость ≠ 0, в каждый момент времени есть точка, связанная с плоской фигурой, скорость которой в этот момент времени =0. Эта точка наз-ся мгновенным центром скоростей. Если известно положение МЦС тела и скорость какой-либо его точки, то угловая скорость тела определяется как отношение скорости точки к расстоянию от этой точки до МЦС.

Т-ма о проекциях скоростей двух точек тела: проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу. Рассмотрим две точки А и В плоской фигуры. Принимая точку А за полюс, получаем . Отсюда, проектируя обе части равенства на ось, направленную по АВ, и учитывая, что вектор перпендикулярен АВ, находим и теорема доказана.

Силы внутренние и внешние.Система материальных точек или тел движение или рановесие которой рассматривается, будем называть механической системой. Если между точками или телами механической системы меняются силы взаимодействия, то движение любой точки системы связано с движением остальных точек. Силы действующие на каждую из точек можно разделить на внешние и внутренние.Внешние силы-действующие на точу со стороны тел не входящих в систему.Внутренние-действующие со стороны тел системы. Свойства внутренних сил. Силы действующие на k-ую точку обозначим: (внутр.сила.), (внеш.сила)

А)Главный вектор(геометрическая сумма)всех внутренних сил равен 0.

Б)главный момент сиcтемы внутренних сил относительно любого центра О равен нулю.

Замечание:свойства а и б не означают что внутренние силы уравновешивают друг друга,т.к. они приложены к разным точкам.

Закон сохранения движения центра масс.1) Если , то Если сумма всех внешних сил действующих на систему равно нулю, то центр масс движется равномерно и прямолинейно.2)Если , то Если сумма проекций на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось константа.

Кинетическая энергия-это .Для каждой точки к ,суммируем по к , где 1-энергия прирощения кинетической энергии, 2-сумма работ внутренних сил, 3-сумма работ внешних сил. Интегрируем по времени.. Закон изменения кинетической энергии. Изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех внутренних и внешних сил. В данной теореме внутренние силы исключить не удается.

Работа силы. Элементарная работа силы F на элементарном перемещении dэто .Определение-работы силы на конечном перемещении (вдоль пути) равна сумме элементарных работ силы на всех элементарных перемещениях, составляющих этот путь..

Для точки проектируем обе части равенства на ось тау, касательная к траектории. , но , , или теорема в дифф.форме.-кинетическая энергия точки, dT=dA (интегрируем по пути).,1-изменение кинетической энергии,2-работа силы на конечном перемещении.