Числовой и цифровой контроль

Различают два вида контроля по модулю: числовой и цифровой.

Если для образования контрольного кода (КК) все число делится на модуль q, то контроль называется числовым:Аºrmod q.

Для модуля q = p ( р - основание системы счисления), то A ºa0 mod p и контроль не имеет смысла, так как контролируется только младший разряд а0 числа А, а старшие разряды не принимают участия в образовании КК и ошибки в этих разрядах выявляться не будут. Также нецелесообразно применять модули q = 2^m, так как не все цифры участвуют в образовании остатка по данному модулю и любые ошибки в разрядах старше m-го обнаруживаться не будут.

Для дальнейшего уп­рощения контрольных операций предложен и широко применяется цифровой контроль по модулю, который в отличие от вышеизложенного числового контроля по мо­дулю основан на контроле по модулю суммы цифр, обра­зующих число. Поскольку разрядность суммы цифр боль­шого числа значительно меньше разрядности самого числа, операции вычисления остатка упрощаются, хотя дополнительно требуется операция для образования суммы цифр числа. Однако аналогов теорем 1 и 2 для суммы цифр операндов и результата сложения или ум­ножения не существует и поэтому цифровой контроль непосредственно применим только для контроля операции хранения и передачи чисел (за исключением класса модулей р^m – 1: 3, 7, 15).

Для образования цифры числа необходимо выполнить переход к новой системе счисления, т.е. разрядность цифры должна соответствовать разрядности модуля. Например, для модуля q = 3 цифра составляет два бита, для q = 5 и 7 – три бита, для q = 9, 11, 15 – четыре бита. Тогда для числа:

Модуль q = 3: 11010110 = 11.01.01.10 = (3 + 1 + 1 + 2) mod 3 = 1;

Модуль q = 7: 11010110 =11. 010.110 = (3 + 2 + 6) mod 7 = 4;

Модуль q = 15: 11010110 =1101.0110 = (D + 6) mod 15 = 4.

Особенно просто цифровой контроль реализуется в случае двоичных чисел, когда модуль q=2.Такой конт­роль называетсяконтролем по четности.При контроле по четности остаток суммы цифр равен либо нулю, либо единице в зависимости от четности числа единиц в ис­ходном коде. В качестве контрольного остатка достаточ­но иметь один дополнительный разряд, называемыйконтрольным разрядом.

Для упрощения нахождения КК для числового контроля по модулю qнет необходимости все число делить на модуль, так как важно не само число или его веса разрядов, а их остатокrsi по модулю q:

Функцию rsi называют весовой функцией разряда и определяется выражением:

rsi º rsi-1 р mod q (8).

По формуле 8 производится расчет весовых функций всех разрядов числа. Весовые функции всегда имеют периодический характер. Для младшего разряда для любых значений р и q весовая функция равна 1, а далее вычисляется по формуле 8.

Пример: р = 2

rsi	q = 3	q = 5	q = 7	q = 9	q = 11	q = 15
rso rs1 rs2 rs3 rs4 rs5 rs6 rs7 rs8 rs9 rs10	1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1	1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4	1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2	1 2 4 8 7 5 1 2 4 8 7	1 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1	1 2 4 8 1 2 4 8 1 2 4
Период	2	4	3	6	10	4

Периодический характер весовых функций упрощает построение схем сверток для получения контрольного кода числа, так как достаточно построить схему свертки только для одного периода и в дальнейшем эта схема дублируется на всю разрядность числа.