18

18 билет

1) Неоднородное линейное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами (3.51) , где коэффициенты есть постоянные действительные числа. Будем предполагать, что функция f(x) в правой части уравнения (3.51) непрерывна в некотором интервале (a,b). Для некоторых частных видов f(x) удается найти частное решение уравнения (3.51) способов неопределенных коэффициентов. В таких случаях, складывая это частное решение с общим решением соответствующего однородного уравнения, мы получаем общее решение уравнения (3.51). Частное решение у₁ уравнения (3.51) записывается в форме, аналогичной форме правой части этого уравнения, а затем форма частного решения уточняется в соответствии с тем, какие корни имеет характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения.

1⁰ . Пусть в уравнении (3.51) правая часть f(x) представляет собой произведение многочлена на показательную функцию , где P_m(x) – алгебраический многочлен степени m.

I случай. Число а не является корнем характеристического уравнения. Частное решение у₁ следует искать в виде (3.52) , где (3.53) , есть алгебраический многочлен степени m с неопределенными коэффициентами. Коэффициенты многочлена Q_m(x) определяются подстановкой (3.52) в (3.51) и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного равенства.

II случай. Число а является корнем характеристического уравнения кратности s. Частное решение ищется в виде (3.54) , где Q_m(x) имеет вид (3.53).

2⁰. Пусть правая часть уравнения (3.51) имеет вид f(x)=M cos bx+ N sin bx (3.55) , где M и N – постоянные числа.

1) число bi не является корнем характеристического уравнения. Частное решение имеет вид y₁ = Acosbx + Bsinbx (3.56) , где А и В - постоянные неопределенные коэффициенты;

2) число bi является корнем характеристического уравнения кратности s. Тогда y₁ = x^S(Acosbx + Bsinbx) (3.57) .

3⁰. Пусть правая часть уравнения (3.51) имеет вид (3.58) , где P(x) и Q(x) – многочлены от х;

1) Число а+bi не является корнем характеристического уравнения. Частное решение ищется в виде (3.59) , где u(x) и v(x) - многочлены; степень каждого из них равна наибольшей степени многочленов P(x) и Q(x);

2) Число а+bi является корнем кратности s характеристического уравнения. Тогда (3.60) .

Замечание. Обращаем особое внимание на то, что в случаях 2⁰ и 3⁰ указанные формы отыскания частного решения сохраняются и тогда, когда правая часть уравнения, т.е. функция f(x), содержит только cosbx или только sinbx.

2)

Степенным рядом наз-ся функц-ый ряд вида (1), где а₀,...- постоянные числа= коэффициенты ряда.

Интервал сходимости степенного ряда; радиус сходимости. Теор.

Для каждого степенного ряда (1) сущ. такое число или символ R, , что ряд абсолютно сходится при каждом Х, если |х| < R; расходится, если \х\ > R.

Если существует , то

Док-во:

Рассм. ряд (1) при любом фиксированном значении х = х₀. Получим числовой ряд Абсолютную сходимость этого ряда исследуем по признаку Даламбера.

Если l = 0, то q = 0. Ряд сходится абсолютно на всей числовой оси; R = +. l = + и х_о0, то q = + . Ряд расходится при всех .

. Ряд сходится абсолютно при каждом х = х₀, если

. Ряд расходится, если .

Теорема устанавливает, что областью сходимости степенного ря­да (1) является интервал радиуса R с центром в начале координат, который может вырождаться в одну точку х = 0 или совпадать со всей осью Ох. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, интервал (-R, R) называется интервалом сходимости степенного ряда.

В каждой внутренней точке этого интервала ряд сходится абсо­лютно. Для того чтобы выяснить сходимость степенного ряда на кон­цах интервала, т. е. при х= R и при х = -R, нужно рассмотреть сте­пенной ряд при этих значениях х и исследовать на сходимость полученные числовые ряды.