17

Билет 17.

Метод искусственного базиса. Теоремы о связи решений М-задачи и канонической задачи(формулировка)^.

Пусть ЗЛП записана в канонической форме,но при этом сист огран (1) не позволяет сразу выписать исходное опорное решение. В этом случае можно использовать метод искусственного базиса. В каждое ур-е сист (1),не разрешенной относительно какой-либо переменной, вводится неотрицательная искусственная переменная Х _n+1>=0, i=1....n

В целевую функцию также вводятся эти искусственные переменные с коэффициентом -М(-∞), М - достаточно большое число.

Расширенная задача.

(1) a_ijx_j+x_n+1=b_i; i=1...m;

(2) x_j≥0, j=1...n, n+1, ...n+m.

(3) f( = c_jx_j - x_n+1max

Затем решается симплексным методом, по результату его решения находится оптимальное решение, либо делается вывод об отсутствии на основании следующих теорем.

Теорема 1. Если расширенная задача имеет _опт=(х1;...х_n;0...0), причем х_n+i = 0, тогда исходная задача тоже имеет оптимальное решение Х_опт=(х1,х2,...х_n)

Теорема 2. Об отсутствии решения ввиду несовместности системы ограничений. Если расширенная задача имеет оптимальное решение, у которого хотя бы 1 искусственная переменная отличная от нуля, то исходная задача не имеет решения ввиду несовместности системы ограничений.

Теорема 3.Об отсутствии решения ввиду неограниченности целевой функции. Если расширенная задача не имеет оптимальное решение ввиду неограниченности целевой функции, то и исходная задача не имеет решения ввиду неограниченности целевой функции.

Расширенная задача решается симплексным методом. Особенности в том, что δ_k = δ'_k+δ''_k , при этом δ'_k - не зависят от М, δ''_k - зависят от М.

1 этап. Из базиса выводятся все искусственные переменные с учетом только слагаемых оценок δ''_k

2 этап. После вывода искусственных переменных, выбор вводимых в базис переменной производится с учетом переменных слагаемых оценки δ'_k. При исключении из базиса последних из искусственных переменных все δ''_k=0.