6.2Исследование равновесия твердого тела

Определить реакции опор твердого тела под действием заданных активных сил. При нахождении неизвестных сил сотавить уравнения равновесия и представить их в матричной форме. Решить систему линейных уравнений с помощью алгоритмической программы. Выполнить проверку путем составления и решения системы уравнений для новой системы координат.

Методические указания и пример расчета

Дано:Плита, закрепленная на шести стержнях, находится в равновесии под действием двух активных сил:составляющей уголс осьюxв плоскости (z,x) и силы тяжестиИзвестны размеры

Определить:усилия в стержнях

Выполнить проверку.

Рис. 6.7 Схема заданных сил и закрепления плиты

Решение:

Полагая стержни растянутыми, приложим к плите усилия со стороны отброшенной части стержней с нижними опорами (Рис. 6.8). Обозначим два острых угла , которые наклонные стержни составляют с вертикалью. Определим их значения в градусах:

Рис. 6.8 Схема заданных сил и реакций связей

Составим систему уравнения равновесия в осях (x,y,z):

Перенесем активные силы в правую часть уравнений, меняя при этом знак.

Представим систему уравнений равновесия в матричной форме

Обозначим матрицу в левой части системы

;

вектор-столбец в правой части системы

;

и вектор-столбец неизвестных

Тогда система уравнений запишется в компактной форме

Решение системы сводится к отысканию вектор-столбца неизвестных реакций стержнейДля определения реакций стержней воспользуемся методом Гаусса решения систем линейных уравнений методом исключения. Существуют стандартные программы решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса без нахождения обратной матрицы к матрице жесткости (SIMQ“Fortrun”). Используем аналогичную подпрограмму на языкеC# (ПРИЛОЖЕНИЕ 5).

Единственная форма проекта в конструкторе имеет вид:

Рис. 6.9 Форма проекта в конструкторе

При запуске проекта на выполнение и подстановке исходных данных результат расчетов появляется в нижней таблице:

Рис. 6.10 Форма проекта при запуске программы

Для проверки правильности решения задачи перенесем систему координат в нижний ярус конструкции и составим новую систему уравнений в осях :

Возможно использовать эти уравнения для подстановки в них найденных сил, при правильном решении, уравнения должны обращаться в тождества. Другой способ проверки заключается в повторном нахождении неизвестных из новых уравнений равновесия в системе координат и сравнении их с ранее найденными в системе координат. Используем второй способ.

Перенесем активные силы в правую часть уравнений, меняя при этом знак.

Представим систему уравнений равновесия в матричной форме

Обозначим матрицу в левой части системы

;

вектор-столбец в правой части системы

;

Результат вычислений представлен на форме:

Рис. 6.11 Форма проекта с проверкой.

Есть отклонения в результатах расчетных усилий ,, которые менее 0,2 % от усредненных значений искомых сил.

Варианты заданий

Варианты: 1, 2, 3, 4 (Рис. 6.12)

Дано:Плита, закрепленная на шести стержнях, находится в равновесии под действием двух активных сил:составляющей уголс осьюx и лежащей в плоскости параллельной плоскости (z,x)и силы тяжестиИзвестны размеры

Вариант 1: Сила Fприложена в точкеA;

Вариант 2: Сила Fприложена в точкеB;

Вариант 3: Сила Fприложена в точкеC;

Вариант 4: Сила Fприложена в точкеD

Определить:усилия в стержнях

Выполнить проверку.

Рис. 6.12 Схема к вариантам заданий 1,2,3,4.

Варианты: 5,6,7,8 (Рис. 6.13)

Дано:Плита, закрепленная на шести стержнях, находится в равновесии под действием двух активных сил:составляющей уголс осьюy и лежащей в плоскости параллельной плоскости (y,z)и силы тяжестиИзвестны размеры

Вариант 5: Сила Fприложена в точкеA;

Вариант 6: Сила Fприложена в точкеB;

Вариант 7: Сила Fприложена в точкеC;

Вариант 8: Сила Fприложена в точкеD

Определить:усилия в стержнях

Выполнить проверку.

Рис.6.13. Схема к вариантам заданий 5,6,7,8.

Варианты: 9,10,11,12. (Рис. 6.14)

Дано:Плита, закрепленная на шести стержнях, находится в равновесии под действием двух активных сил:составляющей уголс осьюx и лежащей в плоскости (x,y)и силы тяжестиИзвестны размеры

Вариант 9: Сила Fприложена в точкеA;

Вариант 10: Сила Fприложена в точкеB;

Вариант 11: Сила Fприложена в точкеC;

Вариант 12: Сила Fприложена в точкеD

Определить:усилия в стержнях

Выполнить проверку.

Рис. 6.14. Схема к вариантам заданий 9,10,11,12.

Содержание отчета

1. Постановка задачи для конкретного варианта.

2. Расчетные уравнения в развернутой и в матричной форме (в символьном виде и с подстановкой численных значений), сопровождая уравнения подробными расчетными схемами.

3. Текст клиентского кода программы.

4. Результаты выполнения программы (экранные формы).