Свойства неопределенного интеграла
.
Проверка результата интегрирования производится дифференцированием.
или
.
.
.
Если
,
то
,
где
– дифференцируемая функция.
Например,
.
В частности, если
– линейная функция, то
(**),
т.к.
.
Заметим, что преобразование дифференциала
к виду
соответствует внесению константы
под знак дифференциала (см. 1.3 п. 3).
Таблица основных неопределенных интегралов
.
В частности,
.
.
.
В частности,
.
.
.
.
.
.
В частности,
.
.
В частности,
.
.
.
Основные методы интегрирования
Непосредственное интегрирование.
Метод состоит в нахождении интеграла по таблице с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции (выражения) с применением свойств интеграла.
Примеры:
.
.
.
.
В некоторых случаях сведение интеграла к табличным интегралам требует искусственных преобразований:
.
.
Заметим, что
последний пример можно решить по-другому,
применив в знаменателе формулу
тригонометрии
:
.
Метод подстановки (замены переменной).
Заключается во введении новой переменной интегрирования.
Пусть требуется найти интеграл
.
Рассмотрим
подстановку:
– непрерывно дифференцируемая функция,
тогда дифференциал функции
и
–(1)
формула замены переменной в неопределенном интеграле.
После нахождения
интеграла правой части следует перейти
от новой переменной интегрирования
к переменной
,
т.е. сделать обратную подстановку
.
Таким образом,
,
где
– функция, обратная к
.
Метод применяется, если новый интеграл проще исходного.
Пример 1. Найти
интеграл
.
Пусть
и
.
Пример
2.
Найти интеграл
.
.
Пример 3. Найти
интеграл
.
Пусть
и
.
Наиболее часто на практике формулу (1) применяют в обратном порядке.
Пусть требуется найти интеграл
,
где
– сложная функция.
Сделаем подстановку
,
тогда дифференциал функции
и
.
Пример 4.
Найти интеграл
.
Пусть
,
тогда
и
.
Пример 5.
Найти интеграл
.
.
Пример 6.
Найти интеграл
.
.
Метод подведения (внесения) функции под знак дифференциала.
Применяется, когда
в подынтегральном выражении есть
произведение
(дифференциал функции).
Пусть требуется
найти интеграл
.
По определению
дифференциала функции:
.
Тогда
и, применяя свойство 5 интеграла, получим
первообразную
.
Заметим, что
рассмотренный метод равносилен
подстановке
.
Пример 1.
.
Данный пример
показывает самый простой случай внесения
под знак дифференциала константы, когда
,
а
является
дифференциалом функции
.
Очевидно, чтобы внести функцию под знак
дифференциала, надо найти ее подходящую
первообразную.
Пример 2.
.
Пример 3.
.
Приведем формулы наиболее часто встречающихся дифференциалов:
-
,
,
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Интегрирование по частям.
Метод основан на формуле интегрирования по частям:
,
(2)
где
– непрерывно дифференцируемые функции.
Интегрирование
по частям применяется, если интеграл
правой части формулы (2) проще исходного.
Например,
в интегралах вида
,
где
– многочлен,
.
в интегралах вида
,
где
– многочлен,
,
.
В некоторых случаях формула применяется последовательно несколько раз.
Пример 1.
Найти интеграл
.
Пусть
,
тогда
и
.
Пример 2.
Найти интеграл
.
.
Пример 3.
Найти интеграл
.
.