3. Теорема 12.1 (об иммунизирующем свойстве дюрации облигации).

Пусть D = D(r) – дюрация облигации в момент t = 0, когда безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Тогда в момент времени, равный дюрации облигации, t = D, фактическая стоимость инвестиции в облигацию не меньше планируемой, т.е.

P(, D) P(r, D) (12.10)

для любых значений .

Доказательство. Если после покупки облигации временная структура процентных ставок не изменилась, то = r и P(, D) = P(r, D).

Если сразу после покупки облигации безрисковые процентные ставки изменились и стали равными , то в момент t = D фактическая стоимость инвестиции в облигацию P(, D) является функцией . Согласно (12.6),

P(, D) = .

Продифференцируем это выражение по :

.

Так как = (см. параграф 1.11), то

.

Пусть > r. Тогда по свойству 3 дюрации облигации D() < D(r) = D. Отсюда P(, D)^/ > 0. Значит, P(, D) – возрастающая функция . Следовательно,

P(r, D) < P(, D).

Если < r, то D() > D(r) = D. Тогда P(, D)^/ < 0. Значит, P(, D) – убывающая функция . Следовательно,

P(, D) > P(r, D). (12.11)

Таким образом, при любых значениях выполняется неравенство (12.10). Заметим, что при ≠ r неравенство является строгим, т.е. имеет вид (12.11). Теорема доказана.

Замечание. На основании доказанной теоремы можно сформулировать иммунизирующее свойство дюрации облигации. Пусть в момент инвестирования t = 0 безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы. Тогда в момент времени, равный дюрации облигации, инвестиция в облигацию иммунизирована (защищена) против изменений безрисковых процентных ставок сразу после t = 0 на одну и ту же величину (или до момента t₁ – первого платежа по облигации, в чем несложно убедиться). Таким образом, иммунизирующее свойство дюрации облигации имеет место при условии горизонтальности кривой доходностей и параллельности ее сдвигов.

Следствие. Пусть D = D(r) – дюрация облигации в момент t = 0, когда безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r, а r₁ и r₂ – безрисковые процентные ставки сразу после t = 0. Тогда если r₁ < r < r₂, то

t*(r₂) < D < t*( r₁). (12.12)

Доказательство. Рассмотрим r₁ < r. Согласно теореме

P(r₁, D) > P(r, D).

Так как P(r₁, D) = P(r₁)(1 + r₁)^D и P(r, D) = P(r)(1 + r)^D, то

P(r₁)(1 + r₁)^D > P(r)(1 + r)^D.

Отсюда

,

.

Так как r₁ < r, то P(r₁) > P(r), , . Тогда

D < = t*(r₁).

Аналогично доказывается вторая часть неравенства (12.12).

Рис. 1.12.3

Пример 12.2. Дана 10% - ная купонная облигация номиналом 100 д.е., по которой ежегодно обещают производить купонные выплаты в течение трех лет. Безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны 10% годовых. Сразу после покупки облигации процентные ставки а) снизились до 9% годовых; б) увеличились до 11 % годовых. Найти:

1) планируемую и фактическую стоимость инвестиции в облигацию в момент времени, равный дюрации облигации;

2) моменты времени, когда планируемая и фактическая стоимости инвестиции совпадают.

В таблице приведены расчеты цены P(r) и дюрации облигации D = D(r) на момент покупки облигации, где r = 10% годовых, а также величин P(r₁) и P(r₂), где r₁ = 9%, r₂ = 11% годовых.

Номер платежа	Срок платежа ti	Сумма платежа Ci	Ci(0)				ti
			r = 0,1	r1 = 0,09	r2 = 0,11
1	1	10	9,0909	9,1743	9,0090	0,09091	0,09091
2	2	10	8,2645	8,4168	8,1162	0,08264	0,16529
3	3	110	82,6446	84,9402	80,4311	0,82645	2,47934
		Сумма	100,0000	102,5313	97,5563	1,00000	2,73554

Таким образом, дюрация облигации в момент ее покупки D = 2,73554 лет. Цена покупки P(0,1) = 100,00 д.е. Величины P(0,09) = 102,5313 д.е. и P(0,11) = 97,5563 д.е. – оценки облигации на момент t = 0, соответствующие новой временной структуре процентных ставок после t = 0. Тогда планируемая стоимость инвестиции в облигацию на момент времени t = D равна

P(0,1; D) = P(0,1)(1 + 0,1)^D = 129,7870.

Фактические стоимости

P(0,09; D) = P(0,09)(1 + 0,09)^D = 129,7891.

P(0,11; D) = P(0,11)(1 + 0,11)^D = 129,7891.

В обоих случаях фактическая стоимость инвестиции в момент t = D больше планируемой. В первом случае в момент t = D снижение ставки реинвестирования компенсировано ростом рыночной цены облигации в момент t = D по сравнению с планируемой. Во втором случае снижение рыночной цены в момент t = D вследствие роста процентных ставок компенсировано возросшей ставкой реинвестирования по сравнению с планируемой.

2) Моменты времени, когда планируемая и фактическая стоимости инвестиции совпадают, равны соответственно

t*(0,09) = = 2,73726

t*(0,11) = = 2,73381.

Таким образом, t*(0,11) < D < t*(0,09).

207