- •1.12. Временная зависимость стоимости инвестиции в облигацию. Иммунизирующее свойство дюрации облигации.
- •Рыночная стоимость облигации через 3,5 года после ее покупки будет
- •Свойства планируемой и фактической стоимостей инвестиции.
- •2. Существует и притом единственный момент времени t*, когда фактическая стоимость инвестиции равна планируемой.
- •3. Теорема 12.1 (об иммунизирующем свойстве дюрации облигации).
Рыночная стоимость облигации через 3,5 года после ее покупки будет
Pt = = 119,2231(д.е.)
Таким образом, стоимость инвестиции в облигацию через 3,5 года после ее покупки составит 76,0486 + 119,2231 = 195,2717 (д.е.).
Теперь предположим, что в момент покупки облигации t = 0 временная структура процентных ставок такова, что безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Рассмотрим стоимость инвестиции в облигацию через t лет после покупки для двух случаев:
1) временная структура процентных ставок остается неизменной до погашения облигации;
2) сразу после покупки облигации безрисковые процентные ставки для всех сроков мгновенно изменились на одну и ту же величину и стали равными , а затем уже не менялись.
Стоимость инвестиции в облигацию в момент t в первом случае называют планируемой и обозначают через P(r,t), во втором случае – фактической и обозначают через P(, t).
Свойства планируемой и фактической стоимостей инвестиции.
1. P(r, t) и P(, t) – непрерывные возрастающие функции времени:
P(r, t) = , (12.5)
P(, t) =. (12.6)
Действительно, согласно (12.2),
P(r, t) = Rt(r) + Pt(r).
Здесь Rt(r) – результат реинвестирования на момент t поступивших до этого момента платежей от облигации по ставке r, Pt(r) – планируемая рыночная цена облигации через t лет после покупки. Пусть t1, t2,…, tm, tm + 1,…, tn – моменты поступления платежей С1, С2,…, Сm , Сm+1,…, Сn соответственно и t [tm, tm+1]. Тогда планируемая стоимость инвестиции
P(r, t) = + =
= = .
Здесь
P(r) =
– рыночная цена покупки облигации в момент t = 0, соответствующая существующей на этот момент времени временной структуре процентных ставок.
Фактическая стоимость инвестиции в момент t согласно (12.2), равна
P(, t) = Rt() + Pt().
Здесь Rt() – результат реинвестирования на момент t поступивших до этого момента платежей от облигации по ставке , Pt() – фактическая рыночная цена облигации через t лет после покупки. Выражение (12.6) для фактической стоимости инвестиции получаем аналогично:
P(, t) = + =
= = .
Здесь
P() =
– оценка облигации на момент t = 0, соответствующая новой временной структуре процентных ставок сразу после покупки облигации.
(12.5) и (12.6) – это показательные функции времени, основания которых больше единицы. Из элементарной математики известно, что такая функция является непрерывной и возрастающей.
2. Существует и притом единственный момент времени t*, когда фактическая стоимость инвестиции равна планируемой.
Доказательство. Пусть > r. Рассмотрим момент t = 0. Тогда P() < P(r) (см. зависимость цена – доходность, теорема 9.1), или
P(, 0) < P(r, 0). (12.7)
Рис. 1.12.1
Рассмотрим теперь момент погашения облигации t = tn. Тогда
P(r, tn) = ,
P(, tn) = .
Так как > r, то
P(, tn) > P(r, tn). (12.8)
Из неравенств (12.7) и (12.8) следует, что существует такой момент времени t*, когда P(, t*) = P(r, t*). Покажем, что момент t* является единственным. Предположим, что равенство стоимостей достигается в точках τ1 и τ2. Следовательно
P(,τ1) = P(r, τ1) и P(,τ2) = P(r, τ2).
= и = .
Тогда
.
Отсюда τ1 = τ2 = t*.
Рис. 1.12.2
Случай, когда < r, доказывается аналогично. Найдем t*.
P(, t*) = P(r, t*),
= ,
.
Отсюда
t* = . (12.9)