Рассмотрим производную
.
Отсюда
.
Таким образом, . Свойство доказано.
Зависимость дюрации облигации от срока до погашения при неизменных f и r, где f и r – купонная ставка и внутренняя доходность облигации соответственно, сформулируем в виде следующих утверждений. Пусть Dn – дюрация облигации, платежи по которой выплачиваются m раз в год и до погашения которой остается n купонных периодов. Тогда
6а. .
6b. Если , то последовательность {Dn} является возрастающей.
6с. Если f < r, то можно указать число n0 такое, что для облигаций с числом периодов до погашения n < n0 последовательность {Dn} является возрастающей.
Доказательство. 6а. Согласно (11.14), дюрация облигации при τ = 0, когда до погашения остается n купонных периодов, равна
. (11.17)
Так как
,
то
,
где < 1. Поскольку ,то получаем .
Так как обычно r мало, то
.
Тогда
. (11.18)
Заметим, что значение предела не зависит от купонной ставки облигации.
6b. Пусть . Для простоты будем считать, что платежи по облигации выплачиваются раз в год (m = 1) и до ее погашения остается n лет (τ = 0). Тогда дюрация купонной облигации равна
.
Используем обозначение . Тогда
.
Так как , , то
,
где a = (1 – p)(1 – p – fp). Покажем, что .
Рассмотрим разность
Dn+1 – Dn = =
= ,
где .
Покажем, что B > 0. Используем метод математической индукции по числу оставшихся до погашения облигации купонных платежей.
Основание индукции n = 0. Тогда
.
Заметим, что при n = 0 разность D1 – D0 = 1, т.к. D1 = 1 - дюрация облигации за год до погашения, когда она уже является чисто дисконтной, D0 = 0 - дюрация облигации в день погашения сразу после купонной выплаты.
Предположим, что B > 0 при n = k, т.е.
.
Пусть теперь n = k + 1. Рассмотрим
.
По предположению индукции Bk > 0.
,
так как ,при. Следовательно,Bk+1 > 0. Отсюда B > 0 для любого целого неотрицательного n. Значит, Dn+1 – Dn > 0. Утверждение доказано.
На рис. 1.11.2 показана зависимость дюрации облигации от срока до погашения при ,m = 1, τ = 0.
Рис. 1.11.2
6с. Пусть . Дюрация купонной облигации, платежи по которой выплачиваются раз в год (m = 1) и до погашения остается n лет (τ = 0), равна
.
Рассмотрим разность
Dn+1 – Dn = ,
где
,
a = (1 – p)(1 – p – fp), .
Преобразуем это выражение к виду:
. (11.19)
Легко убедиться, что если , то B > 0 (следовательно ). С другой стороны, если n достаточно велико, например , то B < 0 (следовательно,). Действительно,
.
Следовательно, существует срок, когда разность изменяет знак. В качестве приближенного значения такого срока можно взять (целую часть). Число получено при условии, что ,когда выражение в квадратных скобках в (11.19) равно нулю. Равенство является приближенным с точностью до . Следовательно, чем ближе значения r и f , тем точнее полученное данным методом значение , что и подтверждается расчетами для r = 25% и ряда значений f.
f |
|
(лет) |
Значение n (лет), при котором Dn+1 - Dn меняет знак (точное) |
3 % |
9,7 |
9 |
12 |
5 % |
10,3 |
10 |
12 |
10 % |
12,3 |
12 |
13 |
15 % |
16,5 |
16 |
17 |
20 % |
29,0 |
29 |
30 |
23 % |
66,5 |
66 |
67 |
24 % |
129,0 |
129 |
129 |
Из выражения для n0 следует, что чем ближе значения r и f , тем больше срок n0. Кроме того, несложно убедиться, что чем больше купонная ставка f, тем больше n0. Эти выводы подтверждаются приведенными расчетами. Элементы последнего столбца в этой таблице получены из непосредственных вычислений дюрации облигации для различных значений n по формуле (11.17). Пример таких вычислений для купонных ставок f1 = 5% и f2 = 10% показан в следующей таблице:
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
Df1 |
1 |
1,94 |
2,82 |
3,60 |
4,29 |
4,87 |
5,34 |
5,70 |
5,96 |
6,13 |
6,21 |
6,24 |
6,22 |
6,16 |
6,08 |
Df2 |
1 |
1,90 |
2,68 |
3,35 |
3,90 |
4,34 |
4,68 |
4,93 |
5,11 |
5,23 |
5,30 |
5,34 |
5,36 |
5,35 |
5,33 |
Покажем, что если , то для любого .
Имеем
,
где
.
Установим знак B при условии .
B
,
так как и. Значит.
Следовательно, если f < r, то можно указать число n0 такое, что для облигаций с числом периодов до погашения n < n0 последовательность {Dn} является возрастающей. Таким образом, если облигации A1, A2, …, Ak продаются с дисконтом и число периодов до их погашения n1 < n2 < …< nk < n0, то при прочих равных условиях Dn1 < Dn2 <…< < , где Dn1 , Dn2 ,…, – дюрации этих облигаций.
Покажем, что значение дюрации облигации со сроком погашения n0 удовлетворяет неравенству , где при m = 1 (см. пункт 6а). Предположим противное. Пусть . Следовательно .Отсюда, учитывая, что при , получаем . Противоречие, так как . Следовательно, приf < r характер зависимости дюрации облигации от срока до погашения имеет вид, показанный на рисунке 1.11.3. На этом рисунке показана зависимость дюрации облигации от срока до погашения для купонных ставок .
Рис. 1.11.3.