Свойства дюрации и показателя выпуклости облигации.
Дюрация облигации не превосходит срока до ее погашения Т.
Действительно,
,
где P(r) – рыночная стоимость облигации в момент t = 0, r – ее внутренняя доходность.
Дюрация чисто дисконтной облигации равна сроку до ее погашения.
Действительно, для чисто дисконтной облигации имеем ,
где A – номинал облигации. Тогда дюрация облигации равна
.
Если облигация не является чисто дисконтной, то чем больше внутренняя доходность облигации, тем меньше ее дюрация и показатель выпуклости.
Доказательство. Рассмотрим облигацию, по которой через t1 , t2,…, tn лет от текущего момента времени t = 0 (0 < t1 < t2 < … < tn ) обещают выплатить денежные суммы С1, С2,…, Сn соответственно. Безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны r. Покажем, что дюрация D и показатель выпуклости C облигации - это убывающие функции r. Согласно определению
.
Рассмотрим производную
= .
Используем обозначения
, , .
Покажем, что a2 – bc < 0 методом математической индукции по числу платежей n.
Основание индукции n = 2.
a2 – bc = =
= , где t2 > t1.
Предположим, что утверждение верно для ( n – 1 ) платежей по облигации, т.е.
= .
Пусть теперь число платежей по облигации равно n. Рассмотрим
a2 – bc = =
= ( )– ,
где < 0 по предположению индукции.
, где 0 < t1 < t2 <…< tn.
Следовательно a2 – bc < 0 для всех целых n > 1. Значит, .
Согласно определению, показатель выпуклости равен
.
Тогда
C =D + B,
где – дюрация облигации,. Следовательно,, где. Покажем, что.
.
Используем обозначения
, ,,.
Покажем, что ab – dc < 0 методом математической индукции по числу платежей n.
Если n = 2, то
, где 0 < t1 < t2.
Положим, для (n – 1 ) платежей по облигации, т.е.
.
Для n платежей по облигации имеем
.
по предположению индукции, =
= =
, где 0 < t1 < t2 <…< tn.
Значит, ab – dc < 0 для всех целых n > 1. Следовательно . Тогда. Свойство доказано.
Если все платежи по облигации отсрочить на t0 лет, не изменяя ее внутренней доходности r, то дюрация облигации увеличится на t0 лет, а показатель выпуклости – на (t02 + 2 t0D + t0 ) лет2.
Доказательство. Дюрация исходной облигации
.
Дюрация облигации с отсроченными платежами
= .
Таким образом,
= D + t0. (11.12)
Показатель выпуклости исходной облигации
.
Показатель выпуклости облигации с отсроченными платежами равен
= C + 2 t0D + t02 + t0 .
Таким образом,
= C + (t02 + 2 t0D + t0 ). (11.13)
Свойство доказано.
Если до погашения облигации остается больше одного купонного периода, то при заданном значении внутренней доходности r дюрация облигации и показатель выпуклости тем больше, чем меньше купонная ставка.
Доказательство. Покажем, что дюрация облигации и показатель выпуклости – убывающие функции купонной ставки f .
Формула (11.6) для дюрации купонной облигации, продающейся через время после купонной выплаты с доходностью к погашениюr, когда до погашения остается n купонных выплат, имеет вид:
. (11.14)
Цена облигации
.
Используем обозначения
. (11.15)
Тогда
.
Рассмотрим производную дюрации по купонной ставке f.
,
так как и по условиюn > 1. Таким образом, .
Показатель выпуклости купонной облигации равен
. (11.16)
Используем те же обозначения (11.15). Тогда
C = .