1) Оценка значимости коэффициентов регрессии.
Найдем S, , .
= = 0,201/(8-2) = 0,0335; Отсюда S = 0,183.
= 0,1025
= /n* = 0,0335/(8*0,1025) = 0,0408; Отсюда = 0,202.
= * = 0,0408 * 5,165 = 0,211; Отсюда = 0,459.
Проверим значимость обоих коэффициентов:
Значимость
: = 0
: ≠ 0
T = / = 0,713415/0,202 = 3,531
Данное значение не входит в интервал ±, следовательно, принимаем гипотезу : ≠ 0, это говорит нам о том, что коэффициент значим.
Значимость
: = 0
: ≠ 0
T = / = 2,557317/0,459= 5,5715
Данное значение тоже не входит в интервал ±, следовательно, принимаем гипотезу и является значимым. Этот коэффициент показывает долю пенсии.
2) Интервальные оценки коэффициентов регрессии.
Найдем доверительные интервалы.
- * 1 + *
0,16553 1 1,2613
1ϵ(0,16553;1,2613)
- * 0 + *
1,312371 0 3,802263
0ϵ(1,3124;3,8022)
Эти доверительные интервалы показывают диапазон вокруг значения наших случайных величин и , и мы можем с уверенностью 93% заявлять, что истинные значения попадут в пределы этого интервала.
3) Значимость уравнения регрессии в целом.
Мерой общего качества уравнения регрессии является коэффициент детерминации R2 :
R2 = 1 - еi2 / ( yi - )2 .
R2 = 1 – 0,201/0,61875= 0,674501
Полученное значение показывает, что данная математическая модель, которая описывается уравнением регрессии = 2,557317 + 0,713415, на 32,5% достоверно описывает экспериментальные данные, и было использовано достаточное количество переменных.
6. Прогноз денежных доходов, направленных на прирост сбережений и доверительный интервал для нее, при значении X = = 3.
Вычислим прогнозируемое значение пенсии, при оплате труда 3 тыс. руб.
= 2,557317 + 0,713415*3 = 4,697562
= 2,7123 (уровень значимости α = 0,07, в таблицу входим со значениями: α/2 = 0,035, и ν = n – 2 = 8 – 2 = 6 степенями свободы).
Интервальный прогноз для среднего значения вычисляется следующим образом:
р tкр S ,
построим дополнительную таблицу:
n |
- |
||
1 |
1,8 |
-0,450 |
0,203 |
2 |
1,9 |
-0,350 |
0,123 |
3 |
2,4 |
0,150 |
0,023 |
4 |
2,1 |
-0,150 |
0,023 |
5 |
2,7 |
0,450 |
0,203 |
6 |
2 |
-0,250 |
0,063 |
7 |
2,6 |
0,350 |
0,123 |
8 |
2,5 |
0,250 |
0,063 |
9 |
18 |
0,000 |
0,820 |
Сумма |
2,25 |
-0,450 |
0,203 |
Среднее |
1,8 |
|
|
S = 0,183;
= 0,203.
Доверительный интервал будет заключен в [4,32339; 5,071734]. Следовательно, при прогнозируемом значении прожиточного минимума в 3 тыс. руб., мы можем спрогнозировать пенсию в размере 4,698 тыс. руб.
i |
xi |
yi |
x2 |
x*y |
y2 |
yi roof |
ei |
ei^2 |
1 |
1,8 |
3,8 |
3,24 |
6,84 |
14,44 |
3,841463415 |
-0,041 |
0,002 |
2 |
1,9 |
3,8 |
3,61 |
7,22 |
14,44 |
3,912804878 |
-0,113 |
0,013 |
3 |
2,4 |
4,1 |
5,76 |
9,84 |
16,81 |
4,269512195 |
-0,170 |
0,029 |
4 |
2,1 |
4 |
4,41 |
8,4 |
16 |
4,055487805 |
-0,055 |
0,003 |
5 |
2,7 |
4,5 |
7,29 |
12,15 |
20,25 |
4,483536585 |
0,016 |
0,000 |
6 |
2 |
4,3 |
4 |
8,6 |
18,49 |
3,984146341 |
0,316 |
0,100 |
7 |
2,6 |
4,6 |
6,76 |
11,96 |
21,16 |
4,412195122 |
0,188 |
0,035 |
8 |
2,5 |
4,2 |
6,25 |
10,5 |
17,64 |
4,340853659 |
-0,141 |
0,020 |
Сумма |
18 |
33,3 |
41,32 |
75,51 |
139,23 |
|
0,000 |
0,201 |
Среднее |
2,25 |
4,1625 |
5,165 |
9,43875 |
17,40375 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
0,18321319 |
|
|
|
|
|
|
|
S^2 |
0,033567073 |
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
0,713414634 |
|
|
|
0,13140625 |
|
|
|
b0 |
2,557317073 |
|
|
|
0,13140625 |
|
|
|
Sb1^2 |
0,040935455 |
Sb1 |
0,20232512 |
|
0,00390625 |
|
|
|
Sb2^2 |
0,211431626 |
Sb2 |
0,45981695 |
|
0,02640625 |
|
|
|
R^2 |
0,674501109 |
|
|
|
0,11390625 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,01890625 |
|
|
|
Sx |
0,320156212 |
|
|
|
0,19140625 |
|
|
|
Sy |
0,278107443 |
|
|
|
0,00140625 |
|
|
|
r |
0,821280165 |
|
|
|
0,61875 |
|
|
|
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Множественный R |
0,821280165 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
R-квадрат |
0,674501109 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Нормированный R-квадрат |
0,620251293 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Стандартная ошибка |
0,18321319 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Наблюдения |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|
|
|||||||
Регрессия |
1 |
0,417347561 |
0,417347561 |
12,43324251 |
0,012426602 |
|
|
|
|||||||
Остаток |
6 |
0,201402439 |
0,033567073 |
|
|
|
|
|
|||||||
Итого |
7 |
0,61875 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Нижние 93,0% |
Верхние 93,0% |
|||||||
Y-пересечение |
2,557317073 |
0,459816948 |
5,561598121 |
0,001430661 |
1,432185536 |
3,68244861 |
1,545232875 |
3,569401272 |
|||||||
Переменная X 1 |
0,713414634 |
0,202325122 |
3,526080332 |
0,012426602 |
0,218342896 |
1,208486373 |
0,268085117 |
1,158744151 |
|||||||
ВЫВОД ОСТАТКА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Наблюдение |
Предсказанное Y |
Остатки |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
3,841463415 |
-0,041463415 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
3,912804878 |
-0,112804878 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
4,269512195 |
-0,169512195 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
4 |
4,055487805 |
-0,055487805 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
5 |
4,483536585 |
0,016463415 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
6 |
3,984146341 |
0,315853659 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
7 |
4,412195122 |
0,187804878 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
8 |
4,340853659 |
-0,140853659 |
|
|
|
|
|
|