4

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ С МНОГОКРАТНЫМИ НАБЛЮДЕНИЯМИ

Цель работы: освоение методики выполнения прямых измерений с многократными независимыми наблюдениями, а также основных положений обработки результатов наблюдений и оценивания погрешностей результатов измерений (по ГОСТ 8.207-76).

ОСНОВЫ ТЕОРИИ

Если у нас отсутствует априорная информация об измеряемой величине, однократное проведение измерения может привести к ошибочным результатам и не дает возможности оценить погрешность измерения. Поэтому в измерительной практике широко применяется метод многократных измерений, причем каждое такое измерение называется наблюдением, а результатом измерения принято считать обработанные по определенным правилам результаты всех отдельных наблюдений.

При обработке группы результатов наблюдений следует выполнить следующие операции:

- исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений;

- вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения;

- вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата наблюдения;

- вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата измерения;

- проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению;

- вычислить границы неисключенной систематической погрешности результата измерения;

- вычислить доверительные границы погрешности результата измерения (обычно для определения доверительных границ погрешности задаются доверительной вероятностью Р=0,95).

Остановимся подробнее на каждом из положений статистической обработки.

1. Определение результата измерения и оценка его среднего квадратического отклонения.

Среднее арифметическое результатов наблюдений А, принимаемое за результат измерения вычисляется по формуле:

(1)

где _i – i-ый результат наблюдения

п - число наблюдений

Среднее квадратическое отклонение  результата наблюдения определяется по формуле:

(2)

Обычно после вычисления этих величин обнаруживаются грубые погрешности (промахи) в группе результатов наблюдений. На практике широкое распространение получило правило "трех сигм", т.е. результаты наблюдений отличающиеся более чем на от среднего, считаются грубыми погрешностями и отбрасываются, после чего вычисляется новое среднее значение и среднее квадратическое отклонение результата наблюдения по формулам (1) и (2). Существуют и другие способы обнаружения грубых погрешностей, но они должны быть оговорены в методике выполнения измерений.

Далее вычисляется оценка среднеквадратического отклонения по формуле:

(3)

2. Доверительные границы случайной погрешности результата измерений.

Перед определением доверительных границ случайной погрешности, должна быть проведена оценка нормальности распределения результатов наблюдений. При числе наблюдений n>50 это осуществляется по критерию Пирсона, при числе наблюдений 15<n<50 по составному критерию (см. лаб. раб № 2).

При числе наблюдений n15 принадлежность их нормальному распределению не проверяют, а используют априорную информацию об измеряемой величине, в большинстве практических случаев анализ такой информации приводит к выводу о применимости нормального распределения (в соответствии с центральной предельной теоремой).

Доверительные границы  (без учета знака) случайной погрешности результата измерения находят по формуле:

 = tS(A) ₍₄₎

где t - коэффициент Стьюдента, который в зависимости от доверительной вероятности и числа наблюдений находят в справочной таблице.

3. Доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерений.

Неисключенная систематическая погрешность результата измерений образуется из составляющих, в качестве которых могут быть неисключенные систематические погрешности: метода, средств измерений, других источников.

В качестве границ составляющих неисключенной систематической погрешности принимают на практике пределы допустимых основных и дополнительных погрешностей средств измерений.

Границы неисключенной систематической погрешности  результата измерений вычисляют путем построения композиции неисключенных систематических погрешностей средств измерений, метода и погрешностей, вызванных другими источниками. При равномерном распределении (что на практике имеет наиболее широкое распространение) эти границы (без учета знака) можно вычислить по формуле:

(5)

где _i - граница i-ой неисключенной систематической погрешности

k - коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при Р=0,95, К = 1,1).

Доверительную вероятность для вычисления границ неисключенной систематической погрешности принимают той же, что при вычислении доверительных границ случайной погрешности результата измерения.

4. Границы погрешности результата измерений.

В случае, если /S(A)<0,8, то неисключенными систематическими погрешностями пренебрегают по сравнению со случайными, и граница погрешности результата измерений =. Если /S(A)>8, то случайной погрешность. пренебрегают и принимают, что .

В промежуточном случае границы погрешности результата измерения  (без учета знака) вычисляется по формуле:

S_, (6)

где К вычисляется по эмпирической формуле:

При симметричной доверительной погрешности результаты измерений представляют в форме х = А ± , Р (9)

где X – результат измерения.

Числовое значение результата должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности . При этом значение погрешности не должно содержать более двух значащих цифр, а в случае, если первая значащая цифра более 7 достаточно одной значащей цифры.

ОПИСАНИЕ МЕТОДА И ПОРЯДКА ПРОВЕДЕНИЯ ИЗМЕРЕНИЙ

Физической величиной, меняющейся случайным образом в процессе измерений, в настоящей работе служит электрическое сопротивление резисторов с одинаковым номинальным сопротивлением. Поскольку в процессе изготовления окончательное значение сопротивления каждого отдельного резистора складывается под воздействием значительного числа независимо действующих факторов, можно с достаточной степенью уверенности утверждать, что в соответствии с центральной предельной теоремой, распределение значений электрического сопротивления резисторов в партии с одинаковым номиналом будет подчиняться нормальному закону (закону Гаусса).

Экспериментальная часть работы заключается в том, что последовательно проводятся измерения сопротивления резисторов и каждое такое измерение в нашем случае выполняет роль наблюдения. Используемое оборудование включает в себя цифровой вольтметр типа В7 (В7-22, В7-40 и т.п.) и набор из пятнадцати резисторов одинакового номинала.

Измерения проводятся в следующем порядке:

1. Включить вольтметр в сеть и дать ему прогреться.

2. Исходя из номинального сопротивления резисторов, выбрать диапазон измерений, обеспечивающий минимальную систематическую погрешность.

3. Провести измерение (наблюдение) сопротивления 15 резисторов, данные занести в таблицу 1.

Таблица 1

№ резистора	1	2	…	14	15
R (кОм, Ом)

4. Провести повторное (проверочное) измерение (наблюдение) всех резисторов, при необходимости скорректировать результаты в таблице.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

1. Вычислить по формуле (1) среднее арифметическое результатов наблюдений, принимаемое за результат измерений.

2. Вычислить по формуле (2) оценку среднего квадратичного отклонения результата наблюдения.

3. По правилу "трех сигм" проверить результаты на наличие грубых погрешностей, при обнаружении таковые откинуть и вновь выполнить п.п. 1 и 2.

4. Вычислить по формуле (3) оценку среднего квадратического отклонения результата измерения S(A).

5. Вычислить по формуле, приведенной в описании вольтметра, неисключенной остаток систематической погрешности (предел допускаемой основной погрешности) .

6. Если /S(A)<0,8, вычислить по формуле (4) доверительные границы погрешности результата измерений при Р=0,95.

7. Если /S(A)>8, то доверительная граница погрешности результата измерения равна .

8. Если 0,8</S(A)<8, то вычислять по формуле (7) эмпирический коэффициент К, по формуле (8) коэффициент S_. Доверительную границу погрешности результат измерения определить по формуле (6).

9. Написать заключение по работе, представив результаты измерения по формуле (9).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1 Чем термин "наблюдение" отличается от термина "измерение"?

2. В чем разница между средне квадратическим отклонением результата наблюдения и средне квадратическим отклонением результата измерения?

3. Что такое центральная предельная теорема?

4. Какой установлен порядок определения погрешности результата измерений при различных соотношениях случайной и систематической составляющих погрешности?

5. Что такое грубые погрешности и каковы способы их обнаружения?

ЛИТЕРАТУРА

1. ГОСТ 8.207-76. ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями.

2. Шишкин И.Ф. Теоретическая метрология: Учебник для ВУЗов. - М.: Изд-во стандартов, 1991.