Лабораторная работа n 4 исследование спектров сигналов измерительных генераторов с помощью цифрового модуля «дископ»

Цель работы: освоить методику измерения спектров импульсных и гармонических сигналов.

Введение

1. Реальные сигналы, генерируемые электронными схемами, например, так называемые гармонические и прямоугольные, строго говоря таковыми не являются. Их отличия от идеальных обусловлено множеством факторов, например, невозможностью создания такой схемы, которая обеспечивала бы переход сигнала с низкого уровня на высокий (как в мультивибраторе) за бесконечно малое время. Помимо этого практически все электронные схемы вследствие нелинейных эффектов в той или иной мере трансформируют спектры обрабатываемых сигналов. Поэтому зачастую встает задача экспериментального определения спектра реального сигнала. Эффективным средством анализа спектров сигналов является метод дискретного преобразования Фурье (ДПФ).

2. Для осуществления ДПФ исследуемый аналоговый сигнал, представляющий собой, как правило, зависимость напряжения от времени, переводится в дискретную цифровую форму («оцифровывается»): V(t)  S_i, S_i = V(t_i), i = 0, … N-1, t_i = t_i-1 + t, т.е. аналоговый сигнал дискретизируется c шагом (периодом) t, что соответствует частоте дискретизации (sampling frequency) f_s = 1/t. Затем каждый отсчет оцифровывается с шагом квантования, определяемым разрядностью аналого-цифрового преобразователя (АЦП). При этом погрешность оцифровки за счет квантования составляет 1/2V_Q, где V_Q – шаг квантования: V_Q = V_max/2ⁿ, n – разрядность АЦП, V_max – максимальное значение динамического диапазона АЦП. При этом суммарная погрешность оцифровки V_ = , где V_N – собственный шум сигнала.

3. Как известно, периодическая функция f(t) = f(t+T), определенная на бесконечном интервале (-,+) может быть разложена в ряд Фурье:

, (1)

где M_i – магнитуда i-ой гармоники f_i = i/T (_i = 2f_i), а _i - соответствующая фаза. Или, в «декартовых координатах» (см. Рис.1):

(2)

Y

M_k X_k = M_kcos(_k)

Y_k = M_ksin(_k) (3)

Y_k Y YY

X

X_k

Рис.1 Иллюстрация к определению магнитуды гармоникики.

Величины X_k и Y_k определяются следующими формулами:

для k = 0,1,2,…, (4)

где А₀ = 1/T, A_k = 2/T и  = 2/T, Т – период функции (аналового сигнала), а t₀ – произвольно.

4. В случае дискретного сигнала S_i длиной N (i = 0, …,N-1) преобразование Фурье (дискретное

преобразование Фурье – ДПФ), переводящее сигнал из временной области в частотную, имеет вид:

X_k = , Y_k = , k = 0, … N/2 (5)

При этом предполагается, что N отсчетов оцифровынного сигнала составляют ровно период (T = N/f_s) некоего бесконечного периодического сигнала (сравни с (3)). В качестве иллюстрации на Рис.2 сплошными ромбами показаны отсчеты оцифрованного сигнала, справа и слева – периодическое бесконечное повторение сигнала, как это «молчаливо» предполагается при ДПФ.

t

T

Рис.2 Иллюстрация «бесконечности» конечного цифрового сигнала при ДПФ

5. При расчете ДПФ методом корреляций (4) число операций и, как следствие, время расчета Т_расч  N², где N – число отсчетов сигнала. Зачастую это время становится неприемлемо большим, особенно при работе с длинными сигналам и/или в режиме on-line. Поэтому на практике применяется так называемое «быстрое преобразование Фурье» (БПФ), основанное на использовании специальных алгоритмов расчета¹⁾ для сигналов, длина которых N = 2^m, где m – целое число.. При этом время расчета существенно сокращается: Т_расч  Nlog₂N. Если длина сигнала N  2^m, то сигнал дополняется нулевыми отсчетами до длины N’ равной ближайшему к N числу 2^m.

6. Как известно, сигнал, называемый "меандром" (длительность импульса  составляет половину периода T, т.е. скважность равна двум, Рис.3а), имеет частотный спектр (Рис.3б), содержащий только нечетные гармоники и его ряд Фурье имеет следующий вид:

а) б)

Рис. 3 Меандр (а) и его частотный спектр (б) ( = 2/T).

(6)

В данной лабораторной работе необходимо экспериментально определить спектры импульсных сигналов и сравнить их с теоретическими.