6

Лабораторная работа № 2.

ПРОВЕРКА НОРМАЛЬНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИ МНОГОКРАТНЫХ НАБЛЮДЕНИЯХ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

Цель работы: Освоение метода проверки нормальности распределения случайной величины при многократных наблюдениях в соответствии с критерием Пирсона и составным критерием.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ

При проведении измерений следует различать два понятия: истинные значения физических величин и их эмпирические проявления в процессе измерений.

Истинные значения физической величины - это значения, идеальным образом отражающие свойства данного объекта как в количественном, так и в качественном отношении. Они не зависят от средств нашего познания и являются той абсолютной истиной, к которой мы стремимся, но иногда не достигаем ее.

Результаты измерения являются продуктом нашего познания. Представляя собой приближенные оценки значений величин, найденные путем измерения, они зависят и от метода измерений, и от технических средств измерений, и от особенностей органов чувств человека, осуществляющего измерения.

Измерение по сути своей является процедурой сравнения измеряемой физической величины со значением этой же физической величины, которое мы принимаем на единицу. Громадный опыт практических измерений, накопленный к настоящему времени, показывает, что каждое отдельное наблюдение физической величины в процессе измерений является случайным числом, поскольку каждое отдельное наблюдение (сравнение) происходит в условиях влияния множества случайных (шумов, помех) и неслучайных обстоятельств, точный учет которых невозможен.

Для описания случайных величин, как известно из математической статистики и теории вероятностей, используются функции распределения: плотность распределения вероятности р(х) и интегральная функция распределения вероятности F(x).

Под интегральной функцией распределения результатов наблюдений понимается зависимость вероятности того, что результат наблюдения X_i в i-том опыте окажется не больше некоторого текущего значения х, от самой величины х:

(1)

Р – вероятность события, заключенного в фигурных скобках.

Более наглядным является описание свойств результатов наблюдений с помощью дифференциальной функции распределения (плотности распределения) p_х(x). Интегральная и дифференциальная функции распределения связаны соотношением:

Р_х(х) = dF_x(x)/dx; (2)

Используя понятие функции распределения, легко получить выражение вероятности того, что результат наблюдений X примет при проведении измерений некоторое значение в интервале [х₁, х₂]. В терминах интегральной функции:

(3)

В терминах дифференциальной функции распределения:

(4)

Важнейшей функцией распределения случайных величин является нормальное распределение или распределение Гаусса. Широкое распространение нормального распределения в практике измерений объясняется существованием центральной предельной теоремы теории вероятностей, утверждающей, что распределение случайной величины будет близко к нормальному всякий раз, когда результаты наблюдений формируются под влиянием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает незначительной действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.

Дифференциальная функция плотности распределения Гаусса имеет следующий вид:

(5)

где: m_х – математическое ожидание (первый момент функции распределения), _х – среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений (квадратный корень из второго момента функции распределения).

ПРОВЕРКА НОРМАЛЬНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ.

Хотя нормальное распределение и является самым распространенным в измерительной практике, при обработке результатов наблюдений случайной величины необходимо убедиться, что она (случайная величина) подчиняется нормальному распределению. Эта задача представляет собой частный случай общей проблемы, заключающейся в подборе теоретической функции распределения, наилучшим образом согласующейся с опытными данными (проверка гипотез).

При большом числе наблюдений n  50 необходимо провести следующие действия.

Весь диапазон полученных результатов X_max – X_min разделяют на r интервалов (при 50 < n < 100, рекомендуемое число интервалов r = 7 . . . 9) шириной Х_i (i = 1, 2, . . . , r) и подсчитывают частоты m_i, равные числу результатов, лежащих в каждом i-том интервале. Отношения

P_i*=m_i/n (6)

называются частностями. Распределение частностей по интервалам образует статистическое распределение результатов наблюдений. Разделив частность на длину интервала, получим оценку средней плотности распределения в интервале X_i:

p_i^*=P_i^*/X_i=m_i/nX_i (7)

Отложив вдоль оси абсцисс интервалы Х_i в порядке возрастания индекса i, на каждом интервале построим прямоугольник с высотой р_i*. Как известно, такая картинка называется гистограммой статистического распределения. Масштабы по осям следует выбирать такими, чтобы высота гистограммы относилась к ее основанию примерно как 5 : 8. Легко убедиться, что суммарная площадь всех прямоугольников равна 1.

Если статистическое распределение, определяемое гистограммой, мы хотим описать кривой нормального распределения, то стоит потребовать, чтобы математическое ожидание и дисперсия последнего совпадали со средним арифметическим и оценкой дисперсии, вычисляемым по экспериментальным данным.

Для ответа на вопрос, объясняется ли расхождение между гистограммой и подобранным теоретическим распределением только случайными обстоятельствами используются методы проверки статистических гипотез.

Меру расхождения можно определить как сумму квадратов разностей частностей и теоретических вероятностей попадания результатов наблюдений в каждый интервал, взятых с некоторыми коэффициентами:

где Ci - статистический вес разряда, Р_i – теоретические вероятности.

Мера расхождения U является случайной величиной и, как показал К.Пирсон, независимо от исходного распределения подчиняется ² – распределению и k степеням свободы, если все т_i  5, число измерений стремится к бесконечности, а статистические веса выбираются равными n / Р_i. Число степеней свободы в нашем случае k = r - 3. Мера расхождения, выбранная по К.Пирсону, обозначается _k ² и ее можно записать в виде:

(8)

По Таблице 1 приложения можно при заданной доверительной вероятности  = 1 – q (q – уровень значимости), найти доверительный интервал (  ²_{k, ½  q} ; ²_{k, 1- 1/2 q} ) значений  ²_k, в который мера расхождения может попасть по случайным причинам. Если вычисленная по опытным данным мера расхождения  ² окажется в указанном интервале, то гипотеза принимается.

Процедура проверки гипотезы о том, что данное статистическое распределение является нормальным распределением, называется критерием согласия  ².