Билет 5

Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины X—числа появлений события в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р; вероятность возможного значения Х = k ; (числа k появлений события) вычисляют по формуле Бернулли:

Соответствие между значениями x и их вероятностями (рассчитанными по формуле

Бернулли) называется законом распределения Бернулли.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, принимающую только целые неотрицательные значения (0, 1, 2,…, т,…), последовательность которых не ограничена. Такая случайная величина называется распределенной по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет значение т, выражается формулой: где а – некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.

Покажем, что сумма всех вероятностей равна 1:

Билет 6

Случайную величину Х называют непрерывной (непрерывно распределенной) величиной, если существует такая неотрицательная функция p(t), определенная на всей числовой оси, что для всех х функция распределения случайной величины F(x) равна: При этом функция p(t) называетсяплотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Свойства плотности распределения вероятностей

непрерывной случайной величины:

1. Плотность распределения – неотрицательная функция: p(t)³0. Геометрически это означает, что график плотности распределения расположен либо выше оси Ох, либо на этой оси.

2. =1.

Любая неотрицательная функция p(t), для которой =1, является плотностью распределения вероятностей некоторой непрерывно распределенной случайной величины.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значения, принадлежащие интервалу (a, b), равна определенному интервалу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b: P(а£Х<b)= Геометрически вероятность попадания значений непрерывной случайной величины в интервал (a, b) может быть рассмотрена как площадь фигуры, ограниченной осью Ох, графиком плотности распределения p(t) и прямыми х=a и х=b

Билет 7

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется несобственный интеграл

М[X] =

Свойства математического ожидания

1. , где-постоянная величина

2. , где-постоянная величина

3. , где-постоянная величина

4. , для любыхa,b

5. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

6. Математическое ожидания произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Для вычисления дисперсии

D[X] =

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется также, как и для случая дискретной случайной величины:

Модой М дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, модой М непрерывной случайной величины – значение, в котором плотность вероятности максимальна.

Медианой Ме случайной величины называется ее средневероятное значение, т.е. такое, которое обладает следующими свойствами:

1.вероятность того, что анализируемая величина окажется больше Ме равна вероятности того, что она окажется меньше Ме. . Медианой Ме непрерывной случайной величины называют такое ее значение, для которого p( X < Me ) = p( X > Me)

2.Графически прямая х = Ме делит площадь фигуры, ограниченной кривой распределения, на две равные части.

Квантилем уровня q(или q–квантилем) называется такое значение случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное q, т.е.Кроме квантиля вводится понятиеq– процентной точкой распределения – это квантиль .