Билет 3

Условной вероятностью события А относительно события В называется величина

Теорема умножения. Вероятность совмещения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие осуществилось, т. е. P(AB)=P(A)PA(B)

Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ)=Р(А)*Р_А(В).

в частности, для независимых событий

Р(АВ)=Р(А)*Р(В),

т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Вероятность появления хотя бы одного из попарно независимых событий А1, А2,…, Ап равна р (А) = 1 – q1q2…qn ,где qi – вероятность события , противоположного событию Аi .

Вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий А₁…An, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий А₁, … А_п Р(А)=1-q₁q₂…q_n

В частности, если все п событий имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий Р ( A ) = 1-q_n.

Формула полной вероятности Пусть событие A может произойти только вместе с одним из попарно несовместных событий H1, H2, ..., Hn, образующих полную группу. Тогда, если произошло событие A, то это значит, что произошло одно из попарно несовместных событий H1A, H2A, ..., HnA. Следовательно, Применяя аксиому сложения вероятностей, имеем

Формула Байеса. Пусть известно, что в результате реализации испытания событие А наступило. Однако какая именно гипотеза , , …, привела к появлению события А, неизвестно. Необходимо найти условные вероятности P_A(B₁), P_A(B₂), …, P_A(B_n).

Подставив P(А) по формуле полной вероятности, получим

()==(i=1, 2, …, n)

Билет 4

Случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта может принимать то или иное числовое значение.

Дискретной СВ называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа (т. е. между двумя соседними возможными значениями нет возможных значений), которые эта величина принимает с определенными вероятностями.

Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей.

P(X=Xi)=φ(Xi)

Эта функция называется функцией распределения случайной величины X и обозначается F(x):

F(x)=P(X<x).

Функцию распределения F(х) иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

1°. Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной.

2°. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания

3°. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин

4°. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин

Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины.

1°. Дисперсия постоянной равна нулю.

2°. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат

3°. Дисперсия суммы независимых СВ равна сумме их дисперсий

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины; для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется средним квадратическим отклонением случайной величины X.