Теорема Пуассона
Если n , р 0 так, что np , 0 < < , то для любого фиксированного m N справедливо:
Pn m Cnm pm 1 p n m p m |
me |
|
m! |
Доказательство
Пусть np = n. Тогда
m
mn!
|
|
|
|
Pn m Cnm pm 1 p n m |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
n m |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n m !m! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n n 1 n m 1 |
|
n |
m |
|
|
n n m |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
m! |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
n |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
m 1 |
|
m |
|||||||
1 |
n |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
При n , n= np
1 1 1,n
1 n |
n |
|
|
|
|
||
e , |
|
|
|||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
L |
m 1 |
|
||
1 |
|
1, |
, 1 |
|
1, |
||
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
n |
m |
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно,
Pn m Cnm pm 1 p n m p m |
me |
|
|
m! |
|
Приближенная формула Пуассона
Pn m p m me m!
где = np. Приближенную формулу Пуассона применяют при
n > 30,
р< 0.1,
0.1< = np < 10.
Пример (дни рождения)
Какова вероятность, что среди 500 случайно выбранных людей ни один не родился 1 января ?
Решение
По формуле Бернулли
0 0 |
|
500 |
|
364 |
|
500 |
P500 0 C500 p |
1 p |
|
|
|
|
0.2537 |
|
365 |
|||||
|
|
|
|
|
|
По приближенной формуле Пуассона
np 500 3651 1.3699
P500 0 0e e 1.3699 0.2541
0!
Предельная теорема Муавра –Лапласа
Если при n и постоянном р, не равном 0 или
1, величина
xm m np npq
ограничена так, что – < а хт b < + , то
|
|
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Pn m |
|
m |
1 |
O |
|
|
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
npq |
|
n |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
e |
x2 |
|||||
где |
|
|
|
2 |
. |
||||||
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство этой теоремы основано на применении формулы Стирлинга
O 1
n! nne n 
2 ne n
Локальная приближенная формула Муавра – Лапласа 
Pn m xm npq
x m np m 
npq
Локальную приближенную формулу Муавра –
Лапласа применяют при
n > 30, 0.1 p 0.9, nрq > 9.
График биномиальных вероятностей при n=30, p=0,2 и график φ(X)