- •ЛЕКЦИЯ 8
- •Неравенства
- •Доказательство.
- •Неравенство Чебышёва
- •Доказательство
- •Пример применения неравенства Чебышёва
- •Неравенства
- •Сходимость по вероятности
- •Сходимость по вероятности
- •Пример
- •Закон больших чисел (ЗБЧ)
- •Смысл: среднее значение случайных величин
- •ЗБЧ в форме Чебышёва
- •Доказательство ЗБЧ в форме Чебышёва
- •ЗБЧ в форме Бернулли
- •Доказательство ЗБЧ в форме Бернулли
- •ξi независимы и их дисперсии ограничены одним числом
- •ЗБЧ в форме Пуассона
- •Доказательство ЗБЧ в форме Пуассона
- •ЗБЧ в форме Хинчина
- •Центральная предельная теорема (ЦПТ)
- •Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных сл. в.
- •Смысл ЦПТ для н.о.р.сл.в.
- •Смысл ЦПТ в форме Ляпунова
- •Зависимость от числа слагаемых
- •Практическое значение ЦПТ
- •валютные курсы;
ЛЕКЦИЯ 8
Теория вероятностей и математическая статистика
Неравенства и предельные теоремы
Неравенства
Неравенство Маркова.
Для любой случайной величины ξ и для любого ε > 0
P(| | ) M | k |k
Доказательство.
M | |k | xk | dF (x) | xk | dF (x)
|x|
k dF (x) k P(| | ).
|x|
Неравенство Чебышёва
Для любой случайной величины ξ и для любого ε >0
P(| M | ) |
D |
|
|
2 |
|||
|
Доказательство
В неравенстве |
|
|
|
|
|
|
Маркова (1) |
|
|
|
|
|
|
подставим |
P(| | ) M | |k |
(1) |
||||
вместо ξ |
|
|
k |
|
|
|
ξ –Mξ |
P(| M | |
) |
|
|
2 |
|
и возьмем k=2. |
|
M | M | |
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
P(| M | |
) |
|
D |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
Пример применения неравенства Чебышёва
Оценить
вероятность того, что сл.в. отклонится от своего матожидания
на величину
≥ 2σ, где σ – средне – квадратичное отклонение.
P(| M | ) |
|
D |
, |
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
||
P(| M | 2 ) |
|
D |
|
, |
|
(2 )2 |
|||||
|
|
||||
D 2 , |
|
|
|
|
|
P(| M | 2 ) |
1 . |
|
|
||
|
4 |
|
|
Неравенства
Неравенство Коши – Буняковского – Шварца.
M | | M 2 M 2
Сходимость по вероятности
Определение. Последовательность случайных величин ξ1, ξ2 ,…, ξn сходится по вероятности
к сл. в. ξ, если для любого ε > 0
lim P(| n | ) 0
n
Сходимость по вероятности
Обозначение:
Замечание:
«p» есть сокращение от «probability»
p
n
Пример
Последовательность случайных величин ξ1, ξ2 ,…, ξn задана законом:
ξn |
0 |
1 |
2 |
P |
2/n |
1/n |
1 – 3/n |
p
n 2