Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекция / Лекция 8. Неравенства и предельные теоремы.ppt
Скачиваний:
83
Добавлен:
01.06.2015
Размер:
168.96 Кб
Скачать

ЛЕКЦИЯ 8

Теория вероятностей и математическая статистика

Неравенства и предельные теоремы

Неравенства

Неравенство Маркова.

Для любой случайной величины ξ и для любого ε > 0

P(| | ) M | k |k

Доказательство.

M | |k | xk | dF (x) | xk | dF (x)

|x|

k dF (x) k P(| | ).

|x|

Неравенство Чебышёва

Для любой случайной величины ξ и для любого ε >0

P(| M | )

D

 

2

 

Доказательство

В неравенстве

 

 

 

 

 

 

Маркова (1)

 

 

 

 

 

 

подставим

P(| | ) M | |k

(1)

вместо ξ

 

 

k

 

 

ξ –Mξ

P(| M |

)

 

 

2

и возьмем k=2.

 

M | M |

 

 

 

 

 

2

 

P(| M |

)

 

D

.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

Пример применения неравенства Чебышёва

Оценить

вероятность того, что сл.в. отклонится от своего матожидания

на величину

≥ 2σ, где σ – средне – квадратичное отклонение.

P(| M | )

 

D

,

 

 

2

 

 

 

 

 

P(| M | 2 )

 

D

 

,

(2 )2

 

 

D 2 ,

 

 

 

 

P(| M | 2 )

1 .

 

 

 

4

 

 

Неравенства

Неравенство Коши – Буняковского – Шварца.

M | | M 2 M 2

Сходимость по вероятности

Определение. Последовательность случайных величин ξ1, ξ2 ,…, ξn сходится по вероятности

к сл. в. ξ, если для любого ε > 0

lim P(| n | ) 0

n

Сходимость по вероятности

Обозначение:

Замечание:

«p» есть сокращение от «probability»

p

n

Пример

Последовательность случайных величин ξ1, ξ2 ,…, ξn задана законом:

ξn

0

1

2

P

2/n

1/n

1 – 3/n

p

n 2