- •ЛЕКЦИЯ 15
- •Общая схема проверки параметрических гипотез
- •4.Рассчитать по выборке значение ст –ки Тв.
- •Пример
- •• 3. (Продолжение).
- •Проверка гипотез о параметрах нормального распределения
- •Пример
- •Гипотеза о среднем. H0: a
- •Пример
- •Гипотезы о параметрах двух распределений (две независимые
- •Гипотеза о дисперсии. H0: σ1
- •Критерий Стьюдента для
- •Ошибки первого и второго рода
- •Ошибки первого и второго рода на графике
- •Ошибка первого рода
- •Ошибка второго рода
- •Ошибки первого и второго рода
- •Двусторонняя критическая область
- •Мощность критерия
- •Замечание
ЛЕКЦИЯ 15
Теория вероятностей и математическая статистика
Проверка параметрических гипотез
Общая схема проверки параметрических гипотез
1.Сформулировать статистическую параметрическую модель, нулевую и альтернативную гипотезы, задать уровень значимости α.
2. Выбрать статистику Т, такую, что она сама зависит от параметра θ, а ее распределение
от θ не зависит, и различается при H0 и при H1. 3. Найти критическую область V.
4.Рассчитать по выборке значение ст –ки Тв.
5.Если Тв попадает в критическую область V, то нулевая гипотеза отвергается (в пользу альтернативной). Если Тв не попадает в
критическую область V, то нулевая гипотеза не
отвергается.
6. Сформулировать ответ в терминах вопроса.
Замечание. Гипотеза H0 отвергается или не отвергается с уровнем значимости α.
Пример
Автомат производит шарики диаметра 10 мм,
σ=0,3 мм. Выборочному контролю были подвергнуты 100 случайно взятых шариков.
Оказалось, что средний диаметр равен 10,06
мм. Можно ли считать это отклонение
случайным, или следует признать, что автомат
производит нестандартную продукцию?
Решение. N=100, a0=10, a1=10,06,
σ=0,3
1. Модель: N(θ,σ). (Далее будем
неизвестный параметр θ обозначать, как обычно, a.)
H0: a = a 0, H1: a > a0 .
α=0,05.
2. В случае, если справедлива H0 :
T x a0 N (0,1)
n
•3. Критическая область V =(t*,+∞), где
•t*=u1 –α/2 (квантиль нормального распределения порядка 1 –α/2). Область правосторонняя, поскольку в случае, когда справедлива H1, распределение статистики T сместится вправо.
T x a0 .
n
Если MX a0 , то
MT 0.
• 3. (Продолжение).
α =0,05; 1 –α =0,95. u1 –α/2=1,64.
Т.о., критическая область V =(1,64;+∞).
• 4.
T 10,06 10 2.
в |
0,3 |
|
|
|
100 |
•5. Тв попадает в критическую область V (поскольку 2>1,64). Следовательно, с уровнем значимости α =0,05 нулевая гипотеза H0 отвергается (в пользу альтернативной H1).
•6. Ответ. Отклонение нельзя считать
случайным, следует признать, что автомат
производит нестандартную продукцию.
Проверка гипотез о параметрах нормального распределения
Гипотезы о параметрах одного распределения (одна выборка).
Гипотеза о дисперсии.
(X1,, X2,...,Xn)€, N(a,θ), то есть параметр σ не известен.
H0: σ = σ0.
Гипотеза о дисперсии. H0: σ = σ0.
|
nS 2 |
|
(n 1) |
|
2 |
|
T |
|
S |
. |
|||
2 |
2 |
При справедливой гипотезе H0
nS 2 |
2 n 1 |
|
2 |
||
|