- •ЛЕКЦИЯ 14
- •Проверка статистических гипотез
- •Примеры гипотез
- •Примеры гипотез
- •Критерии согласия
- •Проверка гипотезы
- ••Статистика T(X), определенная выше, называется статистикой критерия, V –
- •Критическая область V
- •Если значение статистики попадает критическую область, то H0
- •• При n→∞, если H0 – верная гипотеза, распределение статистики √n Dn сходится
- •• Таким образом, при заданном уровне значимости α правило проверки гипотезы H0 при
- ••Обозначим npi как niТ ( теоретические частоты)
- ••Для нахождения теоретических вероятностей pi надо знать параметры. Если параметры неизвестны (как обычно
- •ν– параметр распределения χ2, называемый числом степеней свободы.
- •Пример. Проверить гипотезу о нормальности распределения
- •Решение
- •Числовые характеристики
- ••5,70 – эмпирическое значение
- •Критическая область V
ЛЕКЦИЯ 14
Теория вероятностей и математическая статистика
Проверка статистических гипотез
Проверка статистических гипотез
•Определение. Статистической гипотезой называется утверждение о виде распределения генеральной совокупности.
Проверяемая гипотеза называется нулевой и обозначается H0. Наряду с ней рассматривают альтернативную гипотезу H1.
• Правило, согласно которому проверяют гипотезу H0 (принимают или отвергают), называется
статистическим критерием.
Примеры гипотез
• Гипотеза о виде распределения. H0: F=F0, H1: F=F1.
(Или: H1: F≠F0).
• Гипотеза о параметре. H0: θ= θ0, H1: θ = θ1. (Или: H1: θ ≠ θ0).
Примеры гипотез
•Гипотезы о параметре называются параметрическими гипотезами.
Например, H0: θ= θ0, H1: θ = θ1 параметрические гипотезы.
• Гипотеза называется простой, если она
однозначно фиксирует распределение наблюдений. Иначе это сложная гипотеза.
• H1: θ = θ1 – простая гипотеза, а H1: θ ≠ θ0 – сложная.
Критерии согласия
• Критериями согласия называют критерии, предназначенные для проверки простой гипотезы H0: F=F0, при сложной альтернативной Для проверки гипотезы возьмем статистику
T=T(X), характеризующую отклонение эмпирических данных от соответствующих гипотезе теоретических значений.
(!) Должно быть известно (точно или приближенно) распределение статистики T в случае справедливости H0.
Проверка гипотезы
•Определим для малого α >0 область V так, чтобы вероятность осуществления события T(x)€ V в случае справедливости гипотезы H0 удовлетворяла бы условию P(T(x) € V ) = α.
•По выборке вычислим значение статистики Т=tв
•Если окажется, что tв € V, то в предположении справедливости гипотезы H0, произошло маловероятное событие и эта гипотеза должна быть отвергнута как противоречащая статистическим данным. В противном случае нет основания отказываться от рассматриваемой гипотезы и следует считать, что наблюдения не противоречат гипотезе (согласуются с ней).
•Статистика T(X), определенная выше, называется статистикой критерия, V –
критической областью критерия, α – уровнем значимости критерия (вероятностью
ошибочного отвержения гипотезы H0, когда она верна).
•В конкретных задачах величину α берут равной 0,005; 0,01; 0,05; 0,1.
•Обычно используют области вида V=(t*,+∞) для неотрицательной статистики или
V=( – ∞ ,t1*) U(t2*, +∞), если статистика принимает положительные и отрицательные значения.
Критическая область V
•Граница критической области – квантиль распределения.
Если значение статистики попадает критическую область, то H0
отвергается!
H0: F=F0. Критерий согласия Колмогорова
•Критерий применяется для непрерывных сл.в.
•В качестве статистики T выбирают величину
•Dn=Dn(x)=max|Fn(x) –F0(x)|,
•где Fn(x)– эмпирическая функция
распределения, а в качестве критической области – область вида V=(t*,+∞).