Пример 16. Имеются следующие данные об объеме продажи продукции по месяцам отчетного года.
Месяц
Январь
Февраль
Март
Апрель
Решение представим в виде таблицы
Показатели Продажи, тыс. руб.
Абсолютные приросты, тыс. шт. Цепные Базисные
Темпы роста, % Цепные Базисные
Темпы прироста, % Цепные Базисные
Абсолютное значение 1% прироста, руб.
Продажа, тыс. руб. |
|
|
130 |
|
|
110 |
Исчислить |
показатели |
90 |
||
100 |
ряда динамики. |
|
Январь |
Февраль |
Март |
Апрель |
130,0 |
110,0 |
90,0 |
100,0 |
– |
–20,0 |
-20,0 |
+10,0 |
– |
–20,0 |
-40,0 |
-30,0 |
– |
84,6 |
81,8 |
111,1 |
100,0 |
84,6 |
69,2 |
76,9 |
– |
–15,4 |
-18,2 |
+11,1 |
0,0 |
–15,4 |
-30,8 |
-23,1 |
– |
1,3 |
1,1 |
0,9 |
Средние показатели динамики
Показатель
1. Средний уровень ряда а) для интервального ряда
б) для моментного ряда с равными интервалами
в) для моментного ряда с неравными интервалами
2. Средний абсолютный прирост
3. Средний коэффициент роста
4. Средний темп роста 5. Средний темп прироста
6. Средняя величина абсолютного значения 1% прироста
Метод расчета
y y n
|
1 y1 y2 |
K yn 1 |
1 yn |
y |
2 |
|
2 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
yy t
t
|
|
|
или |
|
|
||||
n 1 |
||||
|
|
|
||
K p n 1 K p1 K p2 K Kn 1 K p n 1 K p
K p n 1 yn
y1
Tp K p 100
Tп Tp 100
Tп (K p 1) 100
A
Тп
yn y1 n 1
Пример 17. На основе примера 16, рассчитать средние показатели динамики.
1.Средний уровень интервального ряда динамики – среднемесячный объем продаж продукции:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ó |
|
130 110 90 100 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ó |
|
107,5 |
тыс. руб |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
4 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Среднемесячный абсолютный прирост продаж: |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
20 20 10 10 |
тыс. руб., или |
|
|
100 130 |
10 тыс. руб |
|||||||||||
|
ó |
ó |
||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||
3. Среднемесячный темп роста: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3 0,846 0,818 1,111 |
0,92 |
или |
|
|
|
3 76,92 |
|
|
||||||||||
Ò |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Ò |
0,92 |
или 92%. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|||||||
4. Среднемесячный темп прироста: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0,92 1 0,08 |
или |
|
– 8%. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Следовательно, в среднем за каждый месяц продажи снижались на 10 тыс. руб., или на 8%.
Основная тенденция развития явления, методы ее изучения
1)Метод укрупнения интервалов это процесс преобразования периодов ряда динамики в более продолжительные (например, месячные периоды преобразуются в квартальные, квартальные в годовые и т.д.). Укрупнение интервалов при осреднении сглаживает сильные колебания уровней более коротких периодов, и тренд становится более заметным.
2)Метод скользящей средней заключается в исчислении средних из уровней рядом стоящих периодов. Они сглаживают случайные колебания. При исчислении каждой следующей скользящей средней слева один член ряда динамики отбрасывается, а справа – прибавляется
Пример 18. Имеются следующие данные о выгрузке из вагонов картофеля. Произвести расчет определения подвижности средних путем сглаживания.
Месяц |
Отгрузка, т |
За квартал |
В среднем за месяц |
|
Январь |
40,4 |
|
|
|
Февраль |
36,8 |
40,4 36,8 35,2 112,4 |
112,4 |
|
3 37,5 |
||||
Март |
35,2 |
|
||
|
|
|||
Апрель |
38,6 |
|
|
|
Май |
29,6 |
106,6 |
35,5 |
|
Июнь |
38,4 |
|
|
|
Июль |
40,6 |
|
|
|
Август |
20,9 |
94,2 |
31,4 |
|
Сентябрь |
32,7 |
|
|
|
Октябрь |
35,9 |
|
|
|
Ноябрь |
34,6 |
107,3 |
35,8 |
|
Декабрь |
36,8 |
|
|
Скользящая средняя
–
37,5 35,5 31,4 34,8
3
35,5 31,4 35,8 34,2
3
–
3) Метод аналитического выравнивания (количественная модель) – это метод получения сглаженной линии развития.
Виды трендовых моделей при аналитическом выравнивании
№
п/п
1
2
3
4
5
Наименование
функции
Линейная
Парабола второго порядка
Парабола третьего порядка
Показательная
Гиперболическая
Вид функции
yˆt = a0 +a1 ×t
yˆt = a0 +a1 ×+t
+a2 ×t 2
yˆt = a0 +a1 ×+t
+a2 ×t 2 + a3 ×t3
yˆt = a0 ×a1t
1 yˆt = a0 +a1 ×t
Система нормальных уравнений для нахождения параметров уравнения
|
|
|
|
|
|
ï |
å |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
ì |
|
|
|
y = a |
×n +a × t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
í |
å |
|
|
|
0 å |
|
|
|
|
|
1 |
å |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
îï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
yt = a |
× t +a × t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ï |
|
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
å |
|
|
|
|
|
2 |
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ì |
|
|
y = a ×n +a × t +a × t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ï |
å |
|
|
|
|
|
å |
|
|
|
å |
|
|
2 |
|
|
|
å |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ï |
yt = a0 |
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
í |
|
× |
|
+a1 × |
|
|
|
+a2 × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
îï å |
|
|
|
|
|
0 å |
|
|
1 |
å |
|
|
|
2 |
|
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ï |
|
yt |
|
= a × t |
+a × t |
|
+a × t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
ï |
ï å |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
å |
|
|
|
|
|
3 |
å |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
å |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ì |
|
y = a ×n +a × t +a × t |
2 |
+a |
× |
|
t |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
ï |
å |
|
|
|
|
0 |
|
å |
|
1 |
å |
|
|
|
2 |
|
|
å |
|
|
|
|
|
3 å |
|
|
|
|||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
ï |
|
yt = a × t +a × t |
|
+a × t |
|
+a × t |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
í |
å |
|
|
2 |
|
|
|
å |
2 |
|
|
|
|
å |
3 |
|
|
|
|
|
|
å |
|
4 |
|
|
|
å |
|
5 |
||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
ï |
|
yt |
= a0 × |
+a1 × |
|
+a2 × |
|
|
+a3 |
× |
|
t |
||||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
|
t |
|
t |
|
t |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
ï |
å |
yt |
|
|
0 |
|
å |
t |
|
1 |
|
å |
t |
|
|
2 |
|
|
å |
|
t |
|
|
3 |
å |
t |
|
|||||||||
|
îï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
ï |
|
3 |
= a |
|
× |
|
+a |
|
× |
|
|
+a |
|
|
× |
|
+a |
× |
|
6 |
||||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ï |
|
|
|
å |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ì |
|
|
|
|
|
lg y =(lg a )×n +(lg a )× |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
í |
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
å |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
å |
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
îï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
ï |
|
|
(lg y)×=t |
(lg a )× t +(lg a )× t |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ï |
|
å y = a0 ×n +a1 ×å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
í |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ï |
å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
îï |
|
|
t |
|
|
å t |
|
|
|
å t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
y× = a0 × +a1 × |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Пример 19: Рассчитать интервальный прогноз объема производства продукции на 2013 г. с вероятностью 0,99 на основе следующих отчетных данных:
Показатель |
|
|
|
|
Год |
|
|
|
|
2004 |
2005 |
2006 |
2007 |
2008 |
2009 |
2010 |
2011 |
||
|
|||||||||
Произведено продукции (ПП), |
720 |
762 |
802 |
844 |
886 |
926 |
970 |
1010 |
|
тыс.руб. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Составим вспомогательную таблицу для определения формы тренда и расчета его параметров
Год |
ПП, тыс.руб |
Первые |
t |
t2 |
yt |
yˆò åî ð |
y yˆò åî ð |
2 |
разности |
|
|||||||
2001 |
720 |
|
-7 |
49 |
-5040 |
719,8 |
0,03 |
|
2002 |
762 |
42 |
-5 |
25 |
-3810 |
761,3 |
0,48 |
|
2003 |
802 |
40 |
-3 |
9 |
-2406 |
802,8 |
0,62 |
|
2004 |
844 |
42 |
-1 |
1 |
-844 |
844,3 |
0,07 |
|
2005 |
886 |
42 |
1 |
1 |
886 |
885,7 |
0,07 |
|
2006 |
926 |
40 |
3 |
9 |
2778 |
927,2 |
1,47 |
|
2007 |
970 |
44 |
5 |
25 |
4850 |
968,7 |
1,71 |
|
2008 |
1010 |
40 |
7 |
49 |
7070 |
1010,2 |
0,03 |
|
Итого |
6920 |
|
0 |
168 |
3484 |
6920,0 |
4,48 |
|
Первые разности примерно равны между собой, следовательно можно строить в виде модели
уравнение прямой: |
|
|
yˆò åî ð a0 |
a1 t |
yt |
|
|
|
|
a0 |
y |
|
6920 |
865; |
a1 |
|
3484 |
20,7; |
|
n |
8 |
t 2 |
168 |
||||||
Модель тренда: yˆò åî ð 865 20,7 t |
|
|
|
|
|
||||
Используя данное уравнение, найдем теоретические значения уровней производства и занесем их в
таблицу
Тогда точечный прогноз на 2013 г. yˆ2013ò åî ð 865 20,7 11 1093,1 тыс.руб.
Год |
ПП, тыс.руб |
Первые разности |
t |
t2 |
yt |
yˆò åî ð |
|
y yˆò åî ð 2 |
2004 |
720 |
|
-7 |
49 |
-5040 |
719,8 |
|
0,03 |
2005 |
762 |
42 |
-5 |
25 |
-3810 |
761,3 |
|
0,48 |
2006 |
802 |
40 |
-3 |
9 |
-2406 |
802,8 |
|
0,62 |
2007 |
844 |
42 |
-1 |
1 |
-844 |
844,3 |
|
0,07 |
2008 |
886 |
42 |
1 |
1 |
886 |
885,7 |
|
0,07 |
2009 |
926 |
40 |
3 |
9 |
2778 |
927,2 |
|
1,47 |
2010 |
970 |
44 |
5 |
25 |
4850 |
968,7 |
|
1,71 |
2011 |
1010 |
40 |
7 |
49 |
7070 |
1010,2 |
|
0,03 |
Итого |
6920 |
|
0 |
168 |
3484 |
6920,0 |
|
4,48 |
Интервальный прогноз объема производства продукции: yˆò åî ð t Syˆ
|
|
y yˆ |
|
2 |
|
4, 48 |
|
2013 |
|
|
|
ò åî ð |
|
|
|
||||
Syˆ |
|
|
|
0,86 |
Соответственно: yˆï ðî ãí 1093,1 3,4 0,86 |
||||
n l |
|
8 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Объем производства в 2010 году составит приблизительно от 1090 тыс. руб. до 1096 тыс.руб.
Индексный метод в статистических исследованиях
Пример 20 : Имеются данные о реализации плодоовощной продукции в торговой организации города:
|
август |
|
сентябрь |
|
товар |
цена за 1 кг, руб. |
продано, кг |
цена за 1 кг, руб. |
продано, кг |
|
||||
яблоки |
27,3 |
630 |
25,5 |
750 |
виноград |
60,0 |
750 |
70,0 |
800 |
томаты |
18,5 |
850 |
22,5 |
800 |
огурцы |
22,2 |
345 |
25,0 |
320 |
Рассчитайте: 1)индивидуальные индексы цен, физического объема товарооборота, товарооборота;
2)общие индексы цен, физического объема товарооборота, товарооборота;
3)абсолютное изменение товарооборота: всего, в том числе за счет изменения цен и за счет количества проданного товара.
Решение: рассчитаем товарооборот как произведение количества на цену.
|
август |
сентябрь |
|
товарооборот |
|||
товар |
|
|
|
|
|
|
|
|
цена за 1 кг, |
продано, |
цена за 1 |
продано, |
август |
сентябрь |
|
|
руб. |
кг |
кг, руб. |
|
кг |
||
|
|
|
|
||||
яблоки |
27,3 |
630 |
25,5 |
|
750 |
17199,0 |
19125 |
виноград |
60,0 |
750 |
70,0 |
|
800 |
45000,0 |
56000 |
томаты |
18,5 |
850 |
22,5 |
|
800 |
15725,0 |
18000 |
огурцы |
22,2 |
345 |
25,0 |
|
320 |
7659,0 |
8000 |
Полученные результаты представим в виде таблицы:
|
|
индивидуальные индексы |
|
товар |
цены |
физического объема товарооборота |
товарооборота |
яблоки |
93,4 |
119,0 |
111,2 |
виноград |
116,7 |
106,7 |
124,4 |
томаты |
121,6 |
94,1 |
114,5 |
огурцы |
112,6 |
92,8 |
104,5 |
|
|
общие индексы |
|
товар |
цены |
физического объема товарооборота |
|
яблоки |
|
|
|
виноград |
111,9 |
105,6 |
|
томаты |
|||
|
|
||
огурцы |
|
|
|
|
|
абсолютное изменение товарооборота |
|
|
|
за счет изменения |
|
товар |
всего |
цены |
|
|
|
яблоки
виноград
15542,0 10746,0
томаты
огурцы
товарооборота
118,2
физического объема товарооборота
4796,0