Статистическое изучение вариации
Вариация – это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени
Абсолютные показатели вариации 1) Размах вариации – разность между максимальным и минимальным значением признака R X max X min
2) Среднее линейное отклонение – представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их
средней арифметической |
|
|
х |
х |
|
|
|
|
|
|
х х |
|
f |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
для сгруппированных данных:d |
||||||||||
для несгруппированных данных: d |
|
||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
f |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) Дисперсия – это средний квадрат отклонений индивидуальных значений от средней арифметической (не имеет единиц измерения)
простая дисперсия: |
2 |
|
x x 2 |
взвешенная дисперсия: |
2 |
|
x x 2 |
f |
|
|
|
n |
|
f |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) Среднее квадратическое отклонение это есть квадратный корень из |
|
||||||||
среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней |
|
||||||||
арифметической |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Относительные показатели вариации
1. Коэффициент осцилляции KR Rx 100%
2. Относительное линейное отклонение Kd dx 100%
3. Коэффициент вариации X 100%
Пример 14
По исходным данным (таблица 1) определить показатели вариации
Решение
Промежуточные вычисления для удобства представим в виде таблицы
АО с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
размером |
Число АО (f) |
Середина |
xf |
|
õ õ |
|
х х |
2 |
х х 2 f |
|
|
||||||||
дивидендов, |
интервала (х) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
руб |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 – 130 |
13 |
68,5 |
890,5 |
|
|
|
|
|
|
130 – 253 |
12 |
|
|
|
|
|
|
||
253 – 376 |
7 |
191,5 |
2298 |
|
|
|
|
|
|
376 – 499 |
13 |
314,5 |
2201,5 |
|
|
|
|
|
|
499 – 622 |
16 |
437,5 |
5687,5 |
|
|
|
|
|
|
622 – 745 |
12 |
560,5 |
8968 |
|
|
|
|
|
|
745 – 868 |
13 |
683,5 |
8202 |
|
|
|
|
|
|
868 – 991 |
14 |
806,5 |
10484,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
929,5 |
13013 |
|
|
|
|
|
|
ИТОГО |
100 |
– |
51745 |
|
|
|
|
|
|
õ 517, 45
|
õ õ |
|
1 |
|
68,5 517, 45 |
|
|
|
448,95 |
|
448,95 |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
õ õ |
|
f 448,5 13 |
|
|
5836,35 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
õ õ 12 448,952 201556,1 |
|
|
||||||||||||
õ õ 2 f 201556,1 13 |
2620229,33 |
||||||||||||||
АО с размером |
Число |
Середина |
|
|
|
|
|
|
|
х х |
|
х х 2 f |
|
интервала |
xf |
|
õ õ |
|
õ õ |
|
f |
2 |
|||||
|
|
|
|||||||||||
дивидендов, руб |
АО (f) |
|
|
|
|
|
|||||||
(х) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7 – 130 |
13 |
68,5 |
890,5 |
448,95 |
5836,35 |
201556,1 |
2620229,33 |
||||||
130 – 253 |
12 |
325,95 |
3911,40 |
106243,4 |
|||||||||
191,5 |
2298 |
1274920,83 |
|||||||||||
253 – 376 |
7 |
202,95 |
1420,65 |
41188,7 |
|||||||||
314,5 |
2201,5 |
288320,92 |
|||||||||||
376 – 499 |
13 |
79,95 |
|
1039,35 |
6392,003 |
||||||||
437,5 |
5687,5 |
|
83096,03 |
||||||||||
499 – 622 |
16 |
43,05 |
|
688,80 |
1853,303 |
||||||||
560,5 |
8968 |
|
29652,84 |
||||||||||
622 – 745 |
12 |
166,05 |
1992,60 |
27572,6 |
|||||||||
683,5 |
8202 |
330871,23 |
|||||||||||
745 – 868 |
13 |
289,05 |
3757,65 |
83549,9 |
|||||||||
806,5 |
10484,5 |
1086148,73 |
|||||||||||
868 – 991 |
14 |
412,05 |
5768,70 |
169785,2 |
|||||||||
929,5 |
13013 |
2376992,84 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ИТОГО |
100 |
– |
51745 |
|
|
|
24415,50 |
– |
|
8090232,75 |
|||
Ста
|
|
Абсолютные показатели вариации |
|
|
||||||||||||||||||||||
1) Размах вариации |
R Xmax Xmin 991 7 984 руб. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2) Среднее линейное отклонение |
|
|
|
|
|
|
õ õ |
|
f |
24415,50 |
244,16руб. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
d |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
||||||
3) Дисперсия |
2 |
x x 2 f |
8090232,75 80902,33 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
f |
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
4) Среднее квадратическое отклонение |
|
|
|
|
|
|
80902,33 284, 43 руб. |
|||||||||||||||||||
|
Относительные показатели вариации |
|
|
|||||||||||||||||||||||
1. Коэффициент |
KR |
R |
100% |
|
|
|
|
984 |
|
|
100 |
190% |
|
|||||||||||||
осцилляции |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
517, 45 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. Относительное линейное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100% |
244,16 |
100 |
47% |
|||||||||||
|
|
|
|
K |
|
|
d |
|
||||||||||||||||||
отклонение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
517,45 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Коэффициент |
|
|
|
|
|
284,43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
вариации |
|
|
|
100% 517,45 |
|
|
100 |
55% |
|
|
||||||||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Вывод
Анализ полученных данных говорит о том, что размер дивидендов АО отличается от среднего размера (517,45) в среднем на 284 рубля, или на 55 %. Значение коэффициента вариации превышает 33 %, следовательно, вариация размера дивиденда велика, найденный средний размер дивиденда плохо представляет всю совокупность АО, не является ее типичной, надежной характеристикой, а саму совокупность нет оснований считать однородной по размеру дивидендов
Показатели
Объем генеральной совокупности
Объем выборки
Генеральная средняя
Выборочная средняя
Генеральная доля
.
Выборочная доля
Генеральная дисперсия
Выборочная дисперсия
Выборочное наблюдение
Определения
Численность единиц всей совокупности
Число обследованных единиц
Среднее значение признака в генеральной совокупности
Среднее значение признака в выборке
Доля единиц обладающих данным значением признака в общем числе единиц генеральной совокупности
Доля единиц обладающих данным значением признака в общем числе единиц в выборке
Число единиц, обладающих изучаемым признаком
Дисперсия признака в генеральной совокупности
Дисперсия признака в выборке
Генеральная
совокупность
N
–
x
–
p
–
–
2
–
Выборочная
совокупность
–
n
–
x
–
w mn
m
–
S2
Формулы для вычисления средних ошибок и необходимого объема выборки
Вид отбора
Простая случайная выборка
Механическая
выборка
Типическая выборка
Серийная выборка
Комбинированная
выборка
Многоступенчатая
выборка
Способ отбора |
Средняя ошибка μ |
|
|
|
|
единиц |
для средней |
для доли |
|
|
|
S2 |
|
|
|
|
|
|
w |
w(1 w) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
повторный |
|
x% |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 |
|
|
n |
|
|
|
|
w(1 w) |
|
|
n |
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
бесповторный |
x% |
n |
|
|
|
N |
|
|
|
n |
|
|
N |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Применяются формулы случайной бесповторной выборки
повторный
бесповторный
повторный
бесповторный
повторный
бесповторный
|
|
|
|
|
S2 |
|
|
|
|
|
|
w |
w(1 w) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x% |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||
|
|
|
S2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
w(1 w) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x% |
|
n |
|
|
|
|
|
N |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
N |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x% |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
w |
|
w |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x% |
x |
|
r |
||
|
2 1 rR
x
|
|
|
w2 |
|
|
r |
|
|
w |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
r |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
R |
||
S2 2 n r
|
|
S2 |
|
|
|
|
n |
|
|
2 |
|
|
|
r |
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x% |
n |
|
|
|
|
N |
|
|
r |
|
|
|
R |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
12 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
K |
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Объем выборки |
|
|
|||
для средней |
|
для доли |
|||||||
|
n |
t2 S2 |
|
|
n |
t2w(1 w) |
|
||
|
2x |
|
2p |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
n |
|
t2 NS2 |
n |
t2 Nw(1 w) |
|||||
|
2x N t2 S2 |
|
2p N t2w(1 w) |
||||||
ni n NNi
ni n kNi iNi i
1
Взависимости от целей исследования
Взависимости от комбинируемых методов
Взависимости от целей исследования
Пример 15: Пусть в регионе в порядке случайной бесповторной выборки было исследовано 100 предприятий из 1000 и получены следующие данные (таблица 1):
Требуется определить: 1) средний размер дивидендов, гарантируя результат с вероятностью 0,999; 2)долю предприятий, имеющих дивиденды более 745 руб., гарантируя результат с вероятностью 0,999.
Решение: 1) средний размер дивидендов лежит в доверительном интервале
x% x% x x% x%
Средний размер дивидендов в выборке находили ранее (517,45 руб.). Необходимо рассчитать предельную ошибку в выборке, для чего используем формулу простой случайной бесповторной выборки для средней (дисперсияS 2 была80902,33найденаn 100,ранееN 1000, t 3,9
|
|
|
S 2 |
|
|
n |
|
|
80902,33 |
|
100 |
|
|
|
x |
t |
|
1 |
|
|
|
3,9 |
|
1 |
|
|
105, 24 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
n |
|
|
N |
|
100 |
|
1000 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соответственно: 517,45 105,24 x 517,45 105,24
412,21 x 622,69
2) Доверительные интервалы для генеральной доли:
w p p w p
w |
13 14 |
0,27 |
-доля предприятий имеющих дивиденды более 745 руб |
|
100 |
|
|
Предельная ошибка доли: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
w(1 w) |
|
|
n |
|
|
0, 27 1 0, 27 |
|
100 |
|
|
|
p |
t |
|
1 |
|
|
|
3,9 |
|
1 |
|
|
0,16 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
n |
|
|
N |
|
100 |
|
1000 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Соответственно: |
0,27 0,16 p 0,27 0,16 |
|
|
||||||||||
0,11 p 0,43
Статистическое изучение динамики
Условные обозначения: уi |
– уровень сравниваемого периода; |
|
yi 1 |
– уровень предыдущего периода; |
|
y0 |
– уровень базисного периода; |
|
t |
– продолжительность периода; |
|
n |
– число уровней ряда. |
|
|
Показатели динамики |
|
|
Метод расчета |
|
Показатель |
Цепные |
Базисные |
|
||
|
(с переменной базой) |
(с постоянной базой) |
Абсолютный прирост (Δ)
Коэффициент роста (Кр)
Темп роста (Тр), %
Темп прироста (Тпр), %
Абсолютное значение 1% прироста (А%)
уц уi yi 1
К цр |
у |
|
i |
||
yi 1 |
||
|
у
Тц i 100
р yi 1
Тц уц 100
пp yi 1
Тпpц Т цр 100
Тпhц (Кцр 1) 100
А% уц
Тпpц
А% yi 1
100
уб уi y0
Кб уi р y0
Тб уi 100
р y0
Тб уб 100
пp y0
Тпpб Т бр 100
Тпpб (Кбр 1) 100
А% уб
Тпpб
А% 100y0