conf1_book2

БАЗОВАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ДОЛГОВРЕМЕННОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДИНАМИКИ ДВИЖЕНИЯ ПРОФЕССОРСКОПРЕПОДАВАТЕЛЬСКОГО СОСТАВА В РОССИЙСКИХ ВУЗАХ

И. В. Пенние, Е. А. Питухин, В. А. Гуртов

Петрозаводский государственный университет, г. Петрозаводск ilia_pennie@karelia.rgs.ru; vgurt@psu.karelia.ru; pitukhin@onego.ru

Введение

Образовательная политика России на современном этапе исходит из необходимости повышения роли образования в развитии общества и государства. Эта роль определяется как задачами перехода России к демократическому обществу с рыночной экономикой, так и мировыми тенденциями развития. В современном мире образование стало одним из важнейших факторов и ресурсов экономического развития, формирования нового качества экономики. В связи с этим образование должно войти в состав основных приоритетов развития российского общества и государства на ближайшую перспективу.

Одной из образовательных проблем является проблема обновления кадрового состава профессионального образования. Процессы, которые проходили в российской системе образования за последние 10 лет, привели к тому, что возрастная структура профессорско-преподавательского состава (ППС) существенно изменилась. Например, изменилась в сторону постарения возрастная структура докторов наук и профессоров в высшей школе.

В связи с этим появляется необходимость в разработке и апробации методики долговременного прогнозирования потребностей в кадрах высшей квалификации для воспроизводства научно-педагогического потенциала высшей школы в субъектах Российской Федерации, а также проведении системного анализа и прогнозирования процессов формирования и развития кадрового потенциала высшей квалификации в вузах России.

Моделированием изменений возрастной структуры преподавательских кадров занимались в работе [1] с учетом финансирования и деления структуры по должностям, а не ученым степеням.

Для достижения данной цели предлагается разработать методику моделирования и прогнозировании движения ППС в высших учебных заведениях. В предыдущих работах авторов [2-5] были описаны отдельные элементы этой модели. Формализация и развитие модельных представлений по прогнозированию движения ППС приводятся ниже.

1. Математическая модель движения ППС

Выбор модели основывается на анализе имеющихся исходных данных, которые представлены в таблице 1. В качестве примера используются данные по Петрозаводскому государственному университету. Данные за каждый год приводятся по состоянию возрастной структуры ППС вуза на 1 января после-

141

дующего года. Ежегодный интервал наблюдений задает временную прерывистость процесса.

Возрастная структура делится на пять возрастных групп, или категорий. Основная задача состоит в том, чтобы достоверно спрогнозировать развитие категорий по годам от 2003 г. и далее до 2015 г. Для увеличения адекватности модели реальному процессу целесообразно учитывать в ней информацию о прошлых состояниях так, чтобы модель обладала динамическими свойствами.

Вследствие этого в качестве базовой предлагается выбрать математическую модель в виде системы конечно-разностных уравнений с дискретизацией по времени. Такое представление модели часто и эффективно применяется в теории управления. На первом этапе можно рассмотреть случай с постоянными коэффициентами. В дальнейшем предлагаемый вид модели позволит учесть нестационарность и стохастичность коэффициентов.

Общий вид записи такой модели представлен ниже:

где X (i) =(x(i)n )n=1,70 – вектор состояния системы (собственное движение); Y (i) =(y(i)m )m=1,5 – вектор сгруппированного выходного сигнала;

U (i) – вектор входных управляющих воздействий; A – матрица пространства состояний;

B– матрица управления;

C, D – матрицы выходов ( D =0);

i– порядковый индекс, обозначающий года; вектор X0 – начальные ус-

ловия, которые соответствуют состоянию возрастных групп на 1998 год; момент времени i =i0 = 0 соответствует 1998 год, i =i f = 4 – 2002 год, а i =ie =14 –

2015 году.

Для описания перехода лиц из одной возрастной группы в другую с учетом каждого года необходимо провести деталировку таблицы 1 так, чтобы декомпозировать возрастные группы по годам. Декомпозиция данных в катего-

142

Так, мы получаем все собственные числа матрицы пространства состояний равные 1, что говорит об устойчивости модели. Это делает коэффициент усиления передаточной функции собственного движения модели равным единице.

143

Учитывая первое уравнение системы (1), получаем ряд из i f =4 переход-

ных векторов управления (BU (i)) R70×1 , которые моделируют суммарный поток лиц ППС, увольняемых и принимаемых на работу в момент i :

(BU (i))= X (i +1) − AX (i) , i = 0, 4 .

Здесь мы рассматриваем матрицу управления и вектор воздействий не поодиночке, а их произведение, поскольку не располагаем статистикой о реальном притоке и оттоке кадров, а только о разнице между ними.

Матрица C R5×70 – матрица выходов – собирает результат моделирования верхнего разностного уравнения системы (1) обратно в возрастные группы, получаемые через нижнее уравнение системы (1). Тогда матрицу C =(cm,n )m=1,5, n=1,70 можно задать как

Основная проблема состоит в том, чтобы научиться достоверно моделировать эти расширенные аппроксимированные вектора прихода-ухода на период времени с 2003 до 2012 г. В случае ее решения станет возможным прогнозирование динамики движения ППС на этот период.

Рассматривается несколько подходов – моделирование векторов с помощью передаточных функций от года к году, построение модели в приложениях по идентификации систем управления, вычисление усредненного вектора перехода.

144

Наиболее приемлемый результат показывает моделирование векторов (BU (i)) с помощью комбинированного подхода: для большего совпадения при

расчете движения на участке исходных данных (с 1998 по 2002 г.) целесообразно использовать исходные вектора перехода. Для прогноза с 2003 г. по 2015 г. применяется методика прогнозирования переходных векторов, основанная на изучении дискретного закона распределения случайных элементов исходных векторов. На рисунке 2 видна кривая математического ожидания (МО) для каждой четверки распределения y - элементов векторов, которая используется в

качестве основы для прогноза переходных векторов с 2003 по 2015 г.

Закон распределения элементов векторов перехода моделируется с помощью метода Монте-Карло, что иллюстрируется на рисунке 3. Сначала задается дискретный закон распределения, далее при необходимости этот закон расширяется до целого.

Рис. 3. Розыгрыш случайного элемента вектора перехода (BU (i)) методом Монте-Карло

В итоге получается модель, которая отражает динамику воздействия переходных векторов на движение ППС вуза, не выходя при этом за границы имеющихся воздействий и соблюдая закон распределения каждого элемента, что делает достоверным прогноз модели движения ППС вуза. Пример моделирования представлен на рисунке 4.

145

Концептуально разделим потоки ППС на три потока: докторов наук, кандидатов и не остепененных, согласно исходным табличным данным, поскольку общая таблица контингента ППС может быть условно представлена суммой трех других таблиц:

ППС=НС+КН+ДН. (4) Выражение (4) представляет собой функциональное ограничение, и в си-

лу избытка информации будем моделировать движение трех составных частей НС, КН и ДН. Общую информацию по ППС будем получать суммированием этих трех слагаемых.

Изменим модель (1) следующим образом:

Введем независимые переменные состояния в разрезе категорий ученых степеней:

Объединим эти вектора состояний в один расширенный вектор

Xd (i) R[210]×1 =(xd (i)n )n=1,210 :

где AДН = AКН = AНС = A R70×70 , которая определена в (2);

AКНДН R70×70 – матрица перехода («матрица докторских защит»), которая переводит часть КН в ДН;

AНСКН R70×70 – матрица перехода («матрица кандидатских защит»), кото-

рая переводит часть НС в КН.

Соответственно размерности и смыслу вектора Ad у нас изменятся размерность и смысл детализированного вектора перехода (BU (i))d R270×1 :

(BU (i))ДН

(BU (i))d = (BU (i))КН . (8)

(BU (i))НС

147

Существенно модифицируется и матрица Сd R21×210 , поскольку выходов Yd (i) R21×1 у новой системы станет больше:

где YДН (i) R5×1 – выходной вектор возрастных групп ДН; YКН (i) R5×1 – выходной вектор возрастных групп КН; YНС(i) R5×1 – выходной вектор возрастных групп НС; YППС(i) R5×1 – выходной вектор возрастных групп ППС; YППСΣ (i) R1×1 – общее число ППС.

В этом случае матрица Сd =(cd k,n )k=1,21,n=1,210 с учетом выражения (3) за- пишется как блочная матрица:

Запишем новую систему уравнений, описывающую детализированную модель:

Рассмотрим процесс определения структуры «матрицы докторских и кандидатских защит».

Согласно (11), единственным внешним воздействием на вектор Xd (i +1) является слагаемое (BU (i))d R210×1 , в котором заложены переходы защитив-

шихся из группы НС в КН и из группы КН в ДН. Чтобы отобрать эту составляющую из вектора внешних воздействий, вычленим из них внутреннюю составляющую. Для этого рассмотрим вспомогательную систему уравнений:

148

Необходимо перевести поток внутреннего для вуза производства ДН (BU (i))ДНВНУТР и КН (BU (i))КНВНУТР правой части (12) от внешних воздействий к переменным состояния.

Если мы теперь пожелаем освободиться от «внутренних» слагаемых и пересчитать вектор (BU (i))d R210×1 как

(BU (i))ДН =(BU (i))ДНВНЕШН ,

(BU (i))КН =(BU (i))КНВНЕШН , (13)

(BU (i))НС =(BU (i))НСВНЕШН ,

то для этого мы будем вынуждены знать величины добавок (BU (i))ДНВНУТР и (BU (i))КНВНУТР . Такие данные существуют по Петрозаводскому университету.

Это не что иное, как «статистика кандидатских и докторских защит» в разрезе возрастной структуры, которая подводится каждый год.

Обозначим такую добавку, соответствующую возрасту y , для ДН – hДНy ,

i=0

Этот коэффициент будет характеризовать, сколько кандидатов наук возраста y в среднем будут переходить в доктора наук, то есть успешно защищаться.

Аналогично определим коэффициент

149

Данная система (16-18) задает динамику изменения кадрового состава вуза с учетом внутренних процессов повышения ученых степеней через защиты кандидатских и докторских диссертаций.

С учетом (16-18) запишем выражения для «матриц докторских защит» и «матриц кандидатских защит»:

Таким образом, учитывая корректную запись вектора внешних воздействий (13) и матриц докторских и кандидатских защит (19-20), модель (11) можно считать полностью формализованной.

На рисунке 5 приведены динамика изменения численного состава НС, КН, ДН по результатам моделирования на основе данных, полученных сплайнаппроксимацией, и результаты численного моделирования динамики ППС на основе детализированных данных по возрастной структуре. Из графика видно, что наблюдается хорошая корелляция между интегральными данными по ППС, полученными в результате суммирования (НС + КН + ДН) моделью (11) и по результатам прямого моделирования моделью (1).

150