1.3. Квантование

Амплитуды или уровни отсчетов дискретизированного или АИМ-2 сигнала (в том числе и группового АИМ-2 сигнала) образуют бесчислен­ное множество его различных реализаций. Первым шагом к уменьшению этого множества является ограничение амплитуды напряжения входных сигналов значением вероятность превышения которого не более p<0,001. Однако в реальном канале передачи (тракте, линии связи) в ре­зультате воздействия помех и различного вида искажений можно передать лишь конечное множество различных уровней (градаций) отсчетов. На приемной стороне всегда возникает неопределенность при обработке близких по уровню сигналов. При этом уровень отсчета даже при высокой разрешающей способности приемных устройств может быть известен с точностью до помехи, т.е. возникает ситуация, характеризующаяся неоп­ределенностью. Следовательно, нет необходимости передавать точные значения отсчетов АИМ-2 сигнала, их можно округлять с определенной точностью. В результате такого округления бесконечное множество ам­плитуд отсчетов заменяется счетным множеством, содержащим опреде­ленный набор разрешенных значений уровней отсчетов-дискретов. Эти разрешенные значения отсчетов называются уровнями квантования.

Замена непрерывной шкалы уровней отсчетов дискретной шкалой на­зывается квантованием по уровню. Квантование позволяет применять цифровые методы обработки отсчетов, в том числе их кодирование и ре­генерацию.

Диапазон непрерывных отсчетов лежит в пределах от до для двухполярных сигналов и в пределах от 0 додля однополярных сигналов. В процессе квантования весь диапазон изменений отсчетов де­лится на отрезки (в общем случае неравные), называемыешагами кван­тования.При попадании отсчета АИМ-2 сигнала в пределы того или иного шага квантования производится его округление до ближайшего разрешенного уровня. Если c(nзначение отсчета в момент времени n а (nзначение квантованного отсчета в момент времени n, то разность

nc(n(n(1.25)

называется ошибкой квантования или шумом квантования.

Если шаг квантования во всем диапазоне изменений амплитуд отсче­тов от до (или от 0 до) остается величиной постоянной , то такое квантование называется равномерным. Если шаг квантования меняется для различных диапазонов изменений значений отсчетов, то такое квантование называется неравномерным.

1.3.1. Равномерное квантованиеwe

Процесс квантования осуществляется квантующим устройством КУ, амплитудная характеристика которого приведена на рис. 1.12.

Амплитудная характеристика КУ представляет собой ступенчатую кривую (рис. 1.12,а). Она может быть представлена в виде сум­мы идеальной линейной АХ и характеристики, представляющей искаже­ния квантования или шумы квантования (рис. 1.12,б). Характеристика имеет две характерных части: участок квантования для и участок ограничения для . Соответственно различают шумы квантования, которые представляют случайный процесс с мгновенными значениями , и шумы ограничения.

Пусть плотность вероятности распределения мгновенных значений АИМ-2 сигнала описывается функцией w(u) (рис. 1.13) и квантование сиг­нала, как отмечено выше, осуществляется в пределах от до +для двухполярных сигналов или от 0 додля однополярных сигналов.

Рис. 1.12. Равномерное квантование

Определим среднюю мощность шума квантования на единичном со­противлении. Обозначим через ипороги квантования, т.е. границыi-го шага квантования, внутри которого располагается уровень квантования

Рис. 1.13. Плотность распределения мгновенных значений квантуемого сигнала

Ширина i-го шага квантования равна расстоянию между соответствующими порогами

Если число шагов квантования М достаточно велико, т.е. шаг кванто­вания много меньше среднеквадратического значения квантующего сиг­нала, то плотность мгновенных значений сигнала внутриi-го шага квантования без особой ошибки можно считать равномерной, т.е. заме­нить непрерывную кривую w(u) на рис. 1.13 ступенчатой с числом ступе­ней, равным числу шагов квантования М. Плотность является услов­ной (условие состоит в попадании сигнала в г'-й шаг квантования) и равна

Многочисленные теоретические и экспериментальные исследования показывают, что шумы квантования представляют стационарный и слу­чайный эргодический процесс, статистические характеристики которого, полученные путем усреднения по множеству, совпадают с аналогичными характеристиками, полученными усреднением по времени. Тогда услов­ная средняя мощность шума квантования при условии, что сигнал попада­ет в i-й шаг квантования (рис. 1.13), равна

(1.26)

Определим значение, обеспечивающее минимум. Для этого най­дем производную по и приравняем ее нулю:

Или

Практический смысл имеет только одно из двух решений

(1.27)

Легко показать, что это значение соответствует минимальной мощно­сти шума квантования (1.26). Следовательно, выгодно располагать уровень квантования посредине между границами соответствующего шага. При этом -т.е. максимальная ошибка не превышает половины шага квантования, а согласно (1.26). Усредним теперь этот результат по всем шагам квантования. Вероятность того, что сигнал попа­дает вi-й шаг, обозначим через тогда полная средняя мощность шумов квантования при числе уровней квантования М равна

(1.28)

При равномерном квантовании, т.е. когда и согласно

(1.28)

(1.29)

так как

Из последнего выражения следует, что при равномерном квантовании мощность шума не зависит от закона распределения квантуемого сигнала, а определяется только величиной шага квантования .

Находят применение два типа амплитудных характеристик КУ при равномерном симметричном квантовании (рис. 1.12).

При амплитудных характеристиках КУ первого типа (рис. 1.14,а) чис­ло уровней (шагов) квантования М четное, число интервалов - нечетное, ни один из уровней не равен нулю.

Для амплитудных характеристик КУ второго типа характерно нечет­ное число уровней (шагов) квантования и четное число интервалов, один из уровней равен нулю. Для амплитудной характеристики первого типа характерно появление на выходе КУ шумов с амплитудой и мощно­стьюпри появлении на его входе малейших шумов, так называемых шумов незанятого канала или режим молчания. Максимальная мощность шумов незанятого каналаи, следовательно, в 3 раза превышает мощность шума квантования. Для характеристики второго типа незначи­тельные флуктуации на входе КУ не приводят к появлению на выходе каких-либо шумов.

Рис. 1.14. Амплитудные характеристики квантующих устройств

Определим защищенность сигнала мощностью от шума квантова­ния мощностью, т.е.

Поскольку не зависит от величины входного сигнала, то отношение растет с увеличением мощности квантуемого сигнала, а следова­тельно растет и защищенность от шумов квантования . Однако при превышении квантуемым сигналом порога ограничения возникают иска­жения (шумы) ограничения, и защищенность от суммарного влияния шу­мов квантования и ограничения снижается.

Групповой АИМ сигнал представляет собой сигналы, поступающие от разных абонентов. Из-за различия их микрофонов, разной длины и типа абонентских линий, их состояния и других факторов эти сигналы могут значительно различаться по мощности. Поскольку параметры последую­щих узлов цифровых систем передачи при обработке всех сигналов оста­ются неизменными, то шаг квантования следует выбирать, исходя из того, чтобы шумы квантования не превышали допустимой величины при ми­нимальном сигнале. В то же время во избежание значительных шумов ограничения порог ограничения должен выбираться исходя из параметров максимального по уровню входного сигнала.

Выберем порог ограничения в к раз большим, чем среднеквадратическое значение напряжения максимального по напряжению сигнала,

т.е.

(1.30)

Если шкала квантования строится таким образом, чтобы шумы ограничения не возникали, то величина должна совпадать с пиковым мак­симальнымнапряжением сигнала. В этом случае коэффициентк по­казывает, во сколько раз пиковое значение сигнала больше его среднеквадратического значения, и численно совпадает с пик-фактором сигнала. Между , величиной шага квантованияи числом уровней квантованияМ может быть установлена следующая связь: при квантовании двухполярных отсчетов

M = ,откуда(1.31)

при квантовании однополярных отсчетов

M = ,откуда(1.32)

Подставив значения из (1.30)...(1.32) в (1.29), получим для двухполярных сигналов (отсчетов)

(1.33)

для однополярных отсчетов

(1.34)

Мощность сигнала, как случайного процесса, равна его дисперсии

(1.35)

поэтому представляет собой мощность наибольшего входного сигнала

Используя (1.33)—(1.35), находим отношение сигнал/шум квантования (ОСШК) и защищенность от шумов квантования для двухполярных сиг­налов

и

(1.36)

для однополярных сигналов

и

(1.37)

При двоичном m-разрядном кодировании число шагов квантования равно M = . Подставив это значение в (1.36) и (1.37), получим защищенность для двухполярного сигнала

(1.38)

и для однополярных отсчетов

(1.39)

Введем обозначение , под которым будем понимать

относительный уровень входного квантуемого сигнала. Из последнего

уравнения следует

Тогда полученные выражения приводятся к виду для двухполярного сигнала

(1.40)

и для однополярного сигнала

(1.41)

Значения коэффициента к для различных сигналов приведены в табл. 1.1.

Тип сигнала	Гармонический	Речевой	Многоканальный групповой телефонный	Телевизионный (однополярный)
k		5	4

Подставив в формулы (1.40) и (1.41) значения параметра к, получим формулы для оценки шумов квантования для различных сигналов.

Формулы (1.40) и (1.41) показывают, что защищенность будет мини­мальной для слабых сигналов и растет с увеличением их уровня При дальнейшем увеличении уровня входного сигнала возрастает вероятность появления шумов ограничения и снижение защищенности от суммарного влияния шумов квантования и ограничения.

Защищенность от шумов квантования как функция от уровня сигнала при фиксированном т (или М) и разных к представляет собой семейст­во параллельных прямых, что будет показано ниже.

Оценку шумов ограничения произведем для сигналов с экспоненци­альным распределением мгновенных значений со среднеквадратическим значением т.е.

(1.42)

Мгновенное значение шума ограничения а его мощность

Подставив в эту формулу (1.42) и (1.30), выполнив интегрирование и несложные преобразования, получим мощность шума ограничения

(1.43)

и защищенность от шума ограничения

(1.44)

Защищенность от шумов ограничения как функция представляет собой семейство гипербол, что будет показано ниже.

Из анализа (1.44) следует, что с защищенность растет с увеличением к, что естественно, так как при этом растет порог ограничения и, следо­вательно, уменьшается вероятность его превышения. Поскольку шумы квантования и ограничения независимы, мощность суммарного шума, возникающего при квантовании, равна сумме мощностей этих шумов (1.33) и (1.43), т.е.

(1.45)

суммарная защищенность

(1.46)

На рис. 1.15 приведены зависимости суммарной защищенности от от­носительного уровня р_с входного для различных значений к (различных сигналов, см. табл. 1.1) и M = 128 = При построении зависимостей имелось в виду, что для преобладают шумы квантования, а для быстро возрастают шумы ограничения. При преобладают шумы квантования и результирующие характеристики защищенности совпадают с соответствующими прямыми, изображающими зависимости (1.40) и (1.41). При значительную роль начинают играть шумы ограничения, и характеристика защищенности постепенно приближаясь, совпадает с одной из гипербол (1.44). Полученные зависимости имеют явно выраженные максимумы, положения которых несколько смещены от точки, гдеСледовательно, при равномерном квантовании существует оптимальный уровень входного сигналапри квантовании которого защищенность будет наибольшей. Отклонение уровня входного сигнала как в сторону уменьшения, так и в сторону уве­личения приводит к снижению защищенности.

По полученным характеристикам может быть определен диапазон уровней входных сигналов D, в пределах которого защищенность будет выше заданной величины или допустимого значения. Значение D легко может быть определено графически, как показано на рис. 1.15.