Лекции Матан / Глава 5. Числовые ряды
.docТеперь приведенные рассуждения можно провести еще раз, поменяв ряды и местами, и получить, что . Поэтому . ■
Замечание 1
Теперь можно составить алгоритм исследования знакопостоянного ряда на сходимость.
п. 4 Знакопеременные ряды
Определение 1
Ряд называется знакопеременным, если каждый его член имеет произвольный знак.
Определение 2
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из модулей его членов.
Определение 3
Ряд называют условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд , составленный из модулей его членов, расходится.
Теорема 1
Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.
Доказательство:
Пусть ряд сходится абсолютно. Тогда сходится ряд . Отсюда имеем, что ряд тоже сходится. Рассмотрим ряд . Заметим, что . Следовательно, по теореме о мажоранте ряд сходится. Но ряд . Значит, что сходится и ряд . ■
Теорема 2 Теорема Римана
Пусть - некоторое число и ряд - сходится условно. Тогда члены ряда можно представить так, что его сумма равна .
Доказательство:
Для доказательства теоремы используем следующую лемму.
Лемма
Пусть ряд является условно сходящимся. Тогда его можно представить в виде суммы двух рядов , где - ряд с неотрицательными членами, а - ряд с отрицательными членами, причем оба ряда расходятся.
{*Пусть . Рассмотрим ряд . По условию ряд - расходится, тогда хотя бы один из рядов ( или ) должен расходиться.
*}.
Пусть число - для определенности неотрицательное . По лемме его () можно записать в виде: , где - ряд, составленный из неотрицательных членов ряда, а - ряд, составленный из отрицательных членов ряда.
По лемме ряды и - расходятся. Выберем из ряда подряд столько членов, чтобы их сумма превышала и чтобы меньшее число таких членов не превышало , т.е. выберем число такое, что:
. Это можно сделать, так как ряд - расходится, т.е. .
Выберем число таким, что , . Это можно сделать, так как ряд - расходится, т.е. .
Выберем число таким, что , .
Выберем число таким, что … и т. д. Получим ряд: .
Рассмотрим последовательность его частичных сумм: , , , …, , … , , … Причем отклонение от числа каждой из частичных сумм не превышает ее последнего члена по модулю, т.е. можно записать следующее неравенство . По условию ряд сходится, т.е. его общий член стремится к нулю, а это значит, что . Если взять любую частичную сумму ряда , то всегда можно найти такой номер , зависящий от , что , . По теореме о двух милиционерах получаем, что .
Пример 1
Рассмотрим ряд : . Сумму этого ряда можно ограничить так: .
,
, .
п. 5 Ряды Лейбница
Определение 1
Знакопеременный ряд вида , где - положительные члены ряда, называется знакочередующимся рядом.
Теорема 1 Признак Лейбница
Пусть знакопеременный ряд такой, что:
1) (убывание);
2) (монотонность).
Тогда ряд сходится (условно или абсолютно).
Доказательство:
Рассмотрим знакочередующийся ряд : . Тогда последовательность его частичных сумм такова, что . Так как по условию 2: , , …, то последовательность монотонно возрастает. С другой стороны, . По условию 2 , т.е. последовательность ограничена сверху. Тогда существует предел частичных сумм ряда , что означает его сходимость. ■
Пример 1 Рассмотрим ряд: .
Проверим, выполняются ли условия теоремы Лейбница:
1) ;
2).
Тогда по признаку Лейбница исходный ряд сходится. Но ряд, составленный из модулей его членов, расходится. Значит, исходный ряд сходится условно.
Пример 2 Рассмотрим ряд: .
Заметим, что нарушается условие монотонности: . Значит, ряд расходится.
Следует отметить, что исходный ряд можно представить следующим образом: , причем ряд, заключенный в первой скобке, расходится, а во второй - сходится.
Следствие 1
Сумма остатка знакочередующегося ряда по модулю меньше его первого члена: .
Замечание 1
Данное следствие позволяет находить сумму знакочередующегося ряда с любой заданной точностью.