- •Векторный анализ
- •1. Вектор-функция скалярного аргумента
- •Рассмотрим два вектора
- •2. Скалярные и векторные поля. Основные дифференциальные операции в декартовой системе координат
- •3. Криволинейный интеграл II рода. Формула Грина
- •3.1. Криволинейный интеграл II рода
- •3.2. Формула Грина
- •4. Поток векторного поля. Теоремы Гаусса-Остроградского и Стокса
- •4.1. Поток векторного поля
- •Основные свойства потока векторного поля
- •4.2. Теорема Гаусса-Остроградского
- •4.3. Теорема Стокса
- •5. Потенциальное поле Векторное поле
- •6. Оператор Гамильтона
- •6.1. Понятие оператора Гамильтона
- •6.2. Дифференциальные операции 1-го порядка Пользуясь свойствами векторных операций, получим
- •6.3. Дифференциальные операции 2-го порядка
- •7.3. Инвариантное определение ротора и дивергенции
5. Потенциальное поле Векторное поле
называется потенциальным, если вектор является градиентом некоторой скалярной функции , имеющей непрерывные частные производные
. (1)
Функцию u в этом случае называют потенциалом векторного поля .
Напомним, что работой A поля вдоль пути L называется криволинейный интеграл
.
Здесь , −скалярное произведение векторов и .
Работа векторного поля не зависит от пути интегрирования, если для любых точек M1 и M2 и любых двух путей L1 и L2, соединяющих эти точки
.
Область G трехмерного пространства называется односвязной, если на любой замкнутый контур, лежащий в этой области, можно натянуть поверхность, целиком лежащую в области G.
Например, все трехмерное пространство, внутренность сферы являются односвязными областями.
Необходимым и достаточным условием потенциальности дважды дифференцируемого векторного поля в односвязной области является равенство нулю ротора этого поля:
. (2)
Векторное поле, удовлетворяющее (2), называется безвихревым.
Отметим основные свойства потенциального векторного поля:
1) Криволинейный интеграл II рода от потенциального поля , взятый между двумя точками А и В, не зависит от пути интегрирования и равен разности значений потенциала поля в конце и начале пути интегрирования:
, (3)
поскольку
;
2) Циркуляция потенциального векторного поля по замкнутому контуру (L), целиком лежащему в области непрерывности поля, равна нулю:
;
3) Потенциал может быть вычислен по формуле:
, (4)
где .
Для вычисления интеграла (4) выбирается самый простой путь, например, тот, в котором точки 0 и М соединены ломаной со звеньями, параллельными осям координат. В качестве точки 0 выбирают либо начало координат, либо любую другую точку, лежащую в области непрерывности поля.
Пример. Доказать, что поле
потенциально, найти его потенциал и вычислить работу поля по перемещению материальной точки из точки M1(1,0,1) в точку .
Решение. Поскольку
,
то, согласно условию (2), поле является потенциальным.
Найдем его потенциал по формуле (4). За путь интегрирования выбираем ломаную ОАВМ, где О(0,0,0), А(X,0,0), В(X,Y,0), M(X,Y,Z) (рис. 15).
Рис. 15
Тогда получим
,
.
Так как на отрезке ОА: , , то
.
На отрезке АВ имеем: , , , и поэтому .
Наконец, на отрезке ВМ: , , , и, следовательно, .
Таким образом, или
.
Сделаем проверку, согласно определению потенциала должно выполняться равенство (1). Имеем
.
Найдем работу A по перемещению материальной точки в поле из т. M1(1,0,1) в т. М2(1,,2). Согласно формуле (3)
.
6. Оператор Гамильтона
6.1. Понятие оператора Гамильтона
Рассмотрим символический оператор «набла», называемый оператором Гамильтона:
.
Многие операции векторного анализа можно выразить с помощью оператора Гамильтона, которому присущи как дифференциальные, так и векторные свойства, и это позволяет упростить громоздкие выкладки. Например, если в области пространства задана скалярная дифференцируемая функция , то, умножая «вектор» на скаляр u, получим
.
Если в пространстве задана вектор-функция , где P, Q, R – дифференцируемые функции, то умножая скалярно на , получим
.
Для векторного произведения имеем
.